Spazio vettoriale delle funzioni differenziabili
Ciao a tutti, avrei bisogno di una mano con un esercizio riguardante gli spazi vettoriali di funzioni.
1. Provare che l'insieme di tutte le funzioni differenziabili \(\displaystyle f:(0,1) \rightarrow \mathbb{R} \) è uno spazio vettoriale reale.
2. Considerando i polinomi di ogni grado, possiamo mostrare che questo spazio vettoriale non è di dimensione finita?
(premetto che è la prima volta che incontro esercizi del genere quindi perdonate la mia incompetenza in merito e siate brutali nella correzione hahaha, ne ho davvero bisogno).
Partirei dal punto 1.
Affinchè una funzione in una variabile sia differenziabile devono valere queste proprietà:
Additività: \(\displaystyle f(a+b)=f(a)+f(b) \)
Omogeneità: \(\displaystyle f(ax) = af(x) \)
Giusto? So che esistono definizioni molto più formali, ma sono uno studente al primo anno di ingegneria, quindi mi devo accontentare di questa per ora (sempre se non ho scritto una cavolata).
Ora, per verificare che questo insieme è un \(\displaystyle \mathbb{R} \)-spazio vettoriale devono essere definite le operazioni di somma e prodotto e devono valere le seguenti proprietà:
Definita la somma: \(\displaystyle \forall \mathrm{f_1}, \mathrm{f_2} \in (0,1) \Rightarrow (\mathrm{f_1} + \mathrm{f_2})(x) = \mathrm{f_1}(x)+\mathrm{f_2}(x)\)
- proprietà commutativa: \(\displaystyle \forall \mathrm{f_1} , \mathrm{f_2} \in (0,1) \Rightarrow \mathrm{f_1} + \mathrm{f_2} = \mathrm{f_2} + \mathrm{f_1}\)
- proprietà associativa della somma: \(\displaystyle \forall \mathrm{f_1} , \mathrm{f_2}, \mathrm{f_3} \in (0,1) \Rightarrow (\mathrm{f_1} + \mathrm{f_2}) + \mathrm{f_3} = \mathrm{f_1} + (\mathrm{f_2} + \mathrm{f_3})\)
- esistenza dell'elemento neutro per la somma: \(\displaystyle \forall \mathrm{f} \in (0,1), \exists 0_V : \mathrm{f} + 0_V = \mathrm{f} \)
- esistenza dell'elemento opposto per la somma: \(\displaystyle \forall \mathrm{f} \in (0,1), \exists -\mathrm{f} : \mathrm{f} + (-\mathrm{f}) = \mathrm{f} - \mathrm{f} = 0_V \)
(Si potrebbe anche dire, in sintesi, che questo insieme costituisce un gruppo abeliano per la somma?)
Definito il prodotto per scalare: \(\displaystyle \forall \mathrm{f} \in (0,1), \forall a \in \mathbb{R} \Rightarrow (a\mathrm{f})(x) = a\mathrm{f}(x) \)
- proprietà associativa rispetto al prodotto per scalare: \(\displaystyle \forall \mathrm{f} \in (0,1) , \forall a,b \in \mathbb{R} \Rightarrow a(b\mathrm{f}) = ab(\mathrm{f}) \)
- esistenza dell'elemento neutro per il prodotto per scalare: \(\displaystyle \forall \mathrm{f} \in (0,1) , \exists 1 \in \mathbb{R} : 1\mathrm{f} = \mathrm{f} \)
- proprietà distributiva a dx del prodotto per scalare: \(\displaystyle \forall a \in \mathbb{R} , \forall \mathrm{f_1},\mathrm{f_2} \in (0,1) \Rightarrow a(\mathrm{f_1} + \mathrm{f_2}) = a\mathrm{f_1} + a\mathrm{f_2}\)
- proprietà distributiva a sx del prodotto per scalare: \(\displaystyle \forall a,b \in \mathbb{R} , \forall \mathrm{f} \in (0,1) \Rightarrow (a+b)\mathrm{f} = a\mathrm{f} + b\mathrm{f}\)
Le proprietà che dovrei verificare sono queste, è esatto? Ma ora come si procede? Non capisco...
Vale in generale la seguente proprietà?
Sia \(\displaystyle V \) uno spazio vettoriale e sia \(\displaystyle A \) un qualunque insieme non vuoto. Allora, l'insieme di tutte le funzioni \(\displaystyle f:A\rightarrow V \), con le operazioni di somma e prodotto per scalare, è uno spazio vettoriale.
Se questa proprietà vale non sarebbe sufficiente dimostrare questa piuttosto che il caso specifico? Come potrebbe essere dimostrata?
Ma una domanda, in questo caso, l'elemento neutro per la somma, non sarebbe la funzione \(\displaystyle \mathrm{f}(x)=0 \)?
Ma in questo caso appartiene all'insieme? Non sto capendo proprio, spero possiate aiutarmi, grazie tante della disponibilità...
Cordialmente Cristian
1. Provare che l'insieme di tutte le funzioni differenziabili \(\displaystyle f:(0,1) \rightarrow \mathbb{R} \) è uno spazio vettoriale reale.
2. Considerando i polinomi di ogni grado, possiamo mostrare che questo spazio vettoriale non è di dimensione finita?
(premetto che è la prima volta che incontro esercizi del genere quindi perdonate la mia incompetenza in merito e siate brutali nella correzione hahaha, ne ho davvero bisogno).
Partirei dal punto 1.
Affinchè una funzione in una variabile sia differenziabile devono valere queste proprietà:
Additività: \(\displaystyle f(a+b)=f(a)+f(b) \)
Omogeneità: \(\displaystyle f(ax) = af(x) \)
Giusto? So che esistono definizioni molto più formali, ma sono uno studente al primo anno di ingegneria, quindi mi devo accontentare di questa per ora (sempre se non ho scritto una cavolata).
Ora, per verificare che questo insieme è un \(\displaystyle \mathbb{R} \)-spazio vettoriale devono essere definite le operazioni di somma e prodotto e devono valere le seguenti proprietà:
Definita la somma: \(\displaystyle \forall \mathrm{f_1}, \mathrm{f_2} \in (0,1) \Rightarrow (\mathrm{f_1} + \mathrm{f_2})(x) = \mathrm{f_1}(x)+\mathrm{f_2}(x)\)
- proprietà commutativa: \(\displaystyle \forall \mathrm{f_1} , \mathrm{f_2} \in (0,1) \Rightarrow \mathrm{f_1} + \mathrm{f_2} = \mathrm{f_2} + \mathrm{f_1}\)
- proprietà associativa della somma: \(\displaystyle \forall \mathrm{f_1} , \mathrm{f_2}, \mathrm{f_3} \in (0,1) \Rightarrow (\mathrm{f_1} + \mathrm{f_2}) + \mathrm{f_3} = \mathrm{f_1} + (\mathrm{f_2} + \mathrm{f_3})\)
- esistenza dell'elemento neutro per la somma: \(\displaystyle \forall \mathrm{f} \in (0,1), \exists 0_V : \mathrm{f} + 0_V = \mathrm{f} \)
- esistenza dell'elemento opposto per la somma: \(\displaystyle \forall \mathrm{f} \in (0,1), \exists -\mathrm{f} : \mathrm{f} + (-\mathrm{f}) = \mathrm{f} - \mathrm{f} = 0_V \)
(Si potrebbe anche dire, in sintesi, che questo insieme costituisce un gruppo abeliano per la somma?)
Definito il prodotto per scalare: \(\displaystyle \forall \mathrm{f} \in (0,1), \forall a \in \mathbb{R} \Rightarrow (a\mathrm{f})(x) = a\mathrm{f}(x) \)
- proprietà associativa rispetto al prodotto per scalare: \(\displaystyle \forall \mathrm{f} \in (0,1) , \forall a,b \in \mathbb{R} \Rightarrow a(b\mathrm{f}) = ab(\mathrm{f}) \)
- esistenza dell'elemento neutro per il prodotto per scalare: \(\displaystyle \forall \mathrm{f} \in (0,1) , \exists 1 \in \mathbb{R} : 1\mathrm{f} = \mathrm{f} \)
- proprietà distributiva a dx del prodotto per scalare: \(\displaystyle \forall a \in \mathbb{R} , \forall \mathrm{f_1},\mathrm{f_2} \in (0,1) \Rightarrow a(\mathrm{f_1} + \mathrm{f_2}) = a\mathrm{f_1} + a\mathrm{f_2}\)
- proprietà distributiva a sx del prodotto per scalare: \(\displaystyle \forall a,b \in \mathbb{R} , \forall \mathrm{f} \in (0,1) \Rightarrow (a+b)\mathrm{f} = a\mathrm{f} + b\mathrm{f}\)
Le proprietà che dovrei verificare sono queste, è esatto? Ma ora come si procede? Non capisco...
Vale in generale la seguente proprietà?
Sia \(\displaystyle V \) uno spazio vettoriale e sia \(\displaystyle A \) un qualunque insieme non vuoto. Allora, l'insieme di tutte le funzioni \(\displaystyle f:A\rightarrow V \), con le operazioni di somma e prodotto per scalare, è uno spazio vettoriale.
Se questa proprietà vale non sarebbe sufficiente dimostrare questa piuttosto che il caso specifico? Come potrebbe essere dimostrata?
Ma una domanda, in questo caso, l'elemento neutro per la somma, non sarebbe la funzione \(\displaystyle \mathrm{f}(x)=0 \)?
Ma in questo caso appartiene all'insieme? Non sto capendo proprio, spero possiate aiutarmi, grazie tante della disponibilità...
Cordialmente Cristian
Risposte
Beh si, in effetti non è il massimo detta così ahahahah va bene dai, grazie tante, ora sembra essermi chiaro
"megas_archon":non penso sia sufficiente come risposta...Questo è il (un?) problema dell'educazione indiretta scolastica: la risposta facile "non vale" perché non hai fatto fatica, non hai espiato. E' una cosa molto cattolica se ci pensi.
Su questo sono d'accordo con te.
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