Spazio vettoriale complesso

[GraDam91]

Scusate il disturbo, sono un utente registrato da poco sul forum, volevo chiedervi un aiuto per un esercizio ho già provato a vedere sul forum o in altri siti ma non ho trovato niente che possa essermi d'aiuto. L'esercizio è il seguente: sia V uno spazio vettoriale reale. Definiamo una struttura di spazio vettoriale complesso (che denotiamo Vc) sul prodotto cartesiano $V*V$ nel seguente modo:
$(u1; u2) + (v1; v2) = (u1 + v1; u2 + v2)$
$( α + β*i) * (u; v) = (α*u - β*v; α*v + β*u )$
(1) Vericare che Vc così denito è uno spazio vettoriale complesso.
(2) Determinare la dimensione di Vc.
Io ho pensato di provare se verifica le 8 proprietà degli spazi vettoriali, altre idee non mi sono venute; confido in voi se potete datemi una mano.

[_Matteo_C1]

Volevo fare la stessa domanda... Io ho provato a vedere se verifica le proprietà di uno spazio vettoriale e le verifica. Ora però c'è il problema di determinare la dimensione: Ho pensato prima in $RR$. Supponiamo che $dim_(RR)V = n$, e che una sua base sia ${v_1, v_2,...,v_n}$. Allora una base in $VxV$ sarà del tipo ${((v_1),(v_1)),((v_1),(v_2)),(...),((v_1),(v_n)),((v_2),(v_1)),((v_2),(v_2)),(...),((v_2),(v_n)),(...)(...),((v_n),(v_n))}$, ossia di $nxn$ elementi. Tutto questo in $RR$ però. Come si ragiona con i complessi?
In generale mi è stato detto che uno spazio vettoriale in $CC$ ha dimensione la metà dello stesso spazio in $RR$. Non riesco però a capacitarmene... cioè e se la dimensione su $RR$ fosse dispari?

[_Matteo_C1]

up:)

[dissonance]

Non fare UP prima di 24 ore dall'ultimo post. Vedi regolamento 3.4.

[GraDam91]

La traccia dell'esercizio era sbagliata l'ho saputo oggi dal professore se a qualcuno può interessare poi inserisco la soluzione della seconda parte dato che quello della prima domanda è quello di verificare le 8 proprietà degli spazi vettoriali. Modifico direttamente il post all'inizio.