Spazio tangente
Ho un libro su cui mostra una superficie toccata da un piano in un un punto \(p\). Attraverso questo disegno l'autore definisce intuitivamente lo spazio tangente \(T_{p}\mathbb{R}^{n}\) che approfondisce in seguito (per le varietà, li dove non sono ancora arrivato a studiare).
Anche quest'altra cosa la spiega sempre a parole, ovvero dice che lo spazio tangente di un punto \(p\) di \(\mathbb{R}^{n}\) geometricamente è l'insieme delle frecce che hanno origine dal punto, al che mi viene da pensare che siano la stessa cosa, boh. Cioè che la base sia la stessa.
Consideriamo lo spazio vettoriale \(D_{p}\mathbb{R}^{n}\) sulle applicazioni \(C_{p}^{\infty}\mathbb{R}^{n}\) (definito come)
\[
\begin{split}
\mbox{***spoiler }
D_{v}f&=\sum v^{i}\frac{\partial f}{\partial x^{i}} \\
(D_{v_{1}}+D_{v_{2}})(f)&=D_{v_{1}}f+D_{v_{2}}f \\
(\alpha D_{v})(f)&=(D_{v})(\alpha f) \\
v &\in T_{p}\mathbb{R^{n}}
\mbox{ spoiler***}
\end{split}
\]
Si dimostra che \(\varphi : T_{p}\mathbb{R}^{n}\rightarrow D_{p}\mathbb{R}^{n}:v\rightarrow D_{v}\) è un isomorfismo e che posso identificare la base canonica di \(T_{p}\mathbb{R}^{n}\) con \(\partial /\partial x^{i}|_{p}\) base per \(D_{p}\mathbb{R}^{n}\), se ho capito bene. Arriviamo al punto. Campo vettoriale e campo covettoriale sono definiti come
\[
\begin{split}
X_{p}:\mathbb{R}^{n}\supseteq U\rightarrow T_{p}\mathbb{R}^{n} \\
\omega_{p}:\mathbb{R}^{n} \supseteq U\rightarrow T_{p}^{*}\mathbb{R}^{n} \\
\end{split}
\]
Una funzione del secondo tipo è (il libro non la scrive esplicitamente ma credo sia questa)
\[
p\rightarrow df_{p}:=D_{v}f| _{p}
\]
Il problema è in parte la definizione di una base per lo spazio cotangente dove si usa l'isomorfismo \(T_{p}\mathbb{R}^{n} \simeq D_{p}\mathbb{R}^{n}\) citato prima. If \(x^{1},...,x^{n}\) are the standard coordiantes on \(\mathbb{R}^{n}\), then at each point \(p \in \mathbb{R}^{n}\) \(\{dx^{1}|_{p},...,dx^{n}|_{p}\}\) is the basis for the cotangent space \(T_{p}^{*}\mathbb{R}^{n}\) dual to the basis \(\{\partial /\partial x^{1},...,\partial /\partial x^{n}\}\) for \(T_{p}\mathbb{R}^{n}\).
Prima di scrivere la brevissima dimostrazione (perché anche per quella ho una domanda) mi chiedo già, come fanno questi vettori ad essere una base per il duale dello spazio tangente se non li ho definiti come applicazioni nello spazio tangente? Lo so che \(df_{p}\) dipende da tante variabili, ma se il libro mi dice che questa applicazione è un campo covettoriale subito dopo non la può considerare
\[
v\rightarrow df_{p}:=D_{v}f| _{p}
\]
una applicazione dello spazio cotangente! Come dire, sono prodotti cartesiani differenti no? Cosa non ho capito?
Loring W. Tu, An Introduction to Manifolds, Second Edition, pag 35
Anche quest'altra cosa la spiega sempre a parole, ovvero dice che lo spazio tangente di un punto \(p\) di \(\mathbb{R}^{n}\) geometricamente è l'insieme delle frecce che hanno origine dal punto, al che mi viene da pensare che siano la stessa cosa, boh. Cioè che la base sia la stessa.
Consideriamo lo spazio vettoriale \(D_{p}\mathbb{R}^{n}\) sulle applicazioni \(C_{p}^{\infty}\mathbb{R}^{n}\) (definito come)
\[
\begin{split}
\mbox{***spoiler }
D_{v}f&=\sum v^{i}\frac{\partial f}{\partial x^{i}} \\
(D_{v_{1}}+D_{v_{2}})(f)&=D_{v_{1}}f+D_{v_{2}}f \\
(\alpha D_{v})(f)&=(D_{v})(\alpha f) \\
v &\in T_{p}\mathbb{R^{n}}
\mbox{ spoiler***}
\end{split}
\]
Si dimostra che \(\varphi : T_{p}\mathbb{R}^{n}\rightarrow D_{p}\mathbb{R}^{n}:v\rightarrow D_{v}\) è un isomorfismo e che posso identificare la base canonica di \(T_{p}\mathbb{R}^{n}\) con \(\partial /\partial x^{i}|_{p}\) base per \(D_{p}\mathbb{R}^{n}\), se ho capito bene. Arriviamo al punto. Campo vettoriale e campo covettoriale sono definiti come
\[
\begin{split}
X_{p}:\mathbb{R}^{n}\supseteq U\rightarrow T_{p}\mathbb{R}^{n} \\
\omega_{p}:\mathbb{R}^{n} \supseteq U\rightarrow T_{p}^{*}\mathbb{R}^{n} \\
\end{split}
\]
Una funzione del secondo tipo è (il libro non la scrive esplicitamente ma credo sia questa)
\[
p\rightarrow df_{p}:=D_{v}f| _{p}
\]
Il problema è in parte la definizione di una base per lo spazio cotangente dove si usa l'isomorfismo \(T_{p}\mathbb{R}^{n} \simeq D_{p}\mathbb{R}^{n}\) citato prima. If \(x^{1},...,x^{n}\) are the standard coordiantes on \(\mathbb{R}^{n}\), then at each point \(p \in \mathbb{R}^{n}\) \(\{dx^{1}|_{p},...,dx^{n}|_{p}\}\) is the basis for the cotangent space \(T_{p}^{*}\mathbb{R}^{n}\) dual to the basis \(\{\partial /\partial x^{1},...,\partial /\partial x^{n}\}\) for \(T_{p}\mathbb{R}^{n}\).
Prima di scrivere la brevissima dimostrazione (perché anche per quella ho una domanda) mi chiedo già, come fanno questi vettori ad essere una base per il duale dello spazio tangente se non li ho definiti come applicazioni nello spazio tangente? Lo so che \(df_{p}\) dipende da tante variabili, ma se il libro mi dice che questa applicazione è un campo covettoriale subito dopo non la può considerare
\[
v\rightarrow df_{p}:=D_{v}f| _{p}
\]
una applicazione dello spazio cotangente! Come dire, sono prodotti cartesiani differenti no? Cosa non ho capito?
Loring W. Tu, An Introduction to Manifolds, Second Edition, pag 35
Risposte
Stai usando una definizione errata: una funzione del secondo tipo è una aplicazione $p\mapsto d_p f$ dove $(d_p f)(v)=D_v f|_p=\sum v^i(p) {\partial f}/{\partial x^i}(p)$. Questo vuol dire che $d_p f=\sum a_i \omega^i$ dove $\omega^i$ formano una base dello spazio cotangente e, in particolare, devono avere la proprietà che $\omega^i(\partial_j)=\delta_j^i$, essendo $\partial_j$ gli elementi di una base dello spazio tangente.
NOTA: ti ho fatto la versione molto spicciola e diretta della cosa, visto che sono le 3 di notte e sto cascando dal sonno. Se vuoi, appena ho un po' di tempo e più calma, ti spiego più in dettaglio la questione.
NOTA: ti ho fatto la versione molto spicciola e diretta della cosa, visto che sono le 3 di notte e sto cascando dal sonno. Se vuoi, appena ho un po' di tempo e più calma, ti spiego più in dettaglio la questione.
Dimmi solamente qual è la definizione errata e ci penso sopra, perché non ho capito bene. Cioè mi sembra di avere scritto la stessa cosa.
Tu confondi le applicazioni. Un vettore cotangente è dato da una allplicazione $p\mapsto d_p f$ la quale si definisce su un vettore $v$ come $(d_p f)(v)$ eccetera... Per cui non è $D_v f|_p$ il vettore cotangente.
Sono confuso. \(f \in T^{*}_{p}\mathbb{R}^{n}\) cioè \(f:T_{p}\mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{R}\) e lineare è un vettore dello spazio cotangente mentre \(f:\mathbb{R}^{n}\supseteq U\rightarrow T^{*}_{p}\mathbb{R}^{n}\) è un vettore del campo covettoriale o \(1\)-forma differenziale.
Edit: Considero fissato \(f\in C_{p}^{\infty}\) l'applicazione
\[
df_{p}:T_{p}\mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{R}:v\rightarrow D_{v}f\ |_{p}
\]
Se \(f=x^{i}\) t.c. \(x^{i}(p)=x^{i}\in \mathbb{R}\) restituisce la coordinata i-esima, sia \(g\in T^{*}_{p}\mathbb{R}^{n}\)
\begin{split}
g(v)
&=g(v^{i}e_{i}) \\
&=v^{i}g(e_{i}) \\
&=g(e_{i})dx^{i} \\
\end{split}
E si prova anche l'indipendenza lineare di \(\{dx^{1}|_{p},...,dx^{n}|_{p}\}\). Se è effettivamente così, non capisco nel calcolo appena sopra il passaggio implicito
\begin{split}
v^{j}\partial_{x^{j}}x^{i}=v^{i}
\end{split}
infatti se \(p\) è fissato allora lo sono anche le sue coordinate. La derivata di una costante è nulla quindi
\begin{split}
v^{j}\partial_{x^{j}}x^{i}=0
\end{split}
ma se così fosse allora \(df_{p}=0 \forall v \in T_{p}\mathbb{R}^{n}\) mi sa quindi devo pensarci un poco sopra. Huh?
Edit: Considero fissato \(f\in C_{p}^{\infty}\) l'applicazione
\[
df_{p}:T_{p}\mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{R}:v\rightarrow D_{v}f\ |_{p}
\]
Se \(f=x^{i}\) t.c. \(x^{i}(p)=x^{i}\in \mathbb{R}\) restituisce la coordinata i-esima, sia \(g\in T^{*}_{p}\mathbb{R}^{n}\)
\begin{split}
g(v)
&=g(v^{i}e_{i}) \\
&=v^{i}g(e_{i}) \\
&=g(e_{i})dx^{i} \\
\end{split}
E si prova anche l'indipendenza lineare di \(\{dx^{1}|_{p},...,dx^{n}|_{p}\}\). Se è effettivamente così, non capisco nel calcolo appena sopra il passaggio implicito
\begin{split}
v^{j}\partial_{x^{j}}x^{i}=v^{i}
\end{split}
infatti se \(p\) è fissato allora lo sono anche le sue coordinate. La derivata di una costante è nulla quindi
\begin{split}
v^{j}\partial_{x^{j}}x^{i}=0
\end{split}
ma se così fosse allora \(df_{p}=0 \forall v \in T_{p}\mathbb{R}^{n}\) mi sa quindi devo pensarci un poco sopra. Huh?
No dai, mi sento abbastanza sicuro ora, anche perché torna lo sviluppo del differenziale di una funzione
\begin{split}
v\rightarrow df_{p}
&=v^{i}\partial_{x^{i}}f \\
&=\partial_{x^{i}}fdx^{i} \\
&=a^{i}dx^{i} \\
\end{split}
\begin{split}
v\rightarrow df_{p}
&=v^{i}\partial_{x^{i}}f \\
&=\partial_{x^{i}}fdx^{i} \\
&=a^{i}dx^{i} \\
\end{split}
A posto? Comunque, se vuoi, ti passo una roba che avevo mandato anche a dissonance tempo fa. Potrebbe esserti d'aiuto. Se ti interessa, contattami in MP
Si, su questa parte direi che ci sono. Ok ma non se ti fa perdere tempo 
Scrivo qui per chiedere un'altra cosa. \(dx^{i}\) è comunque l'applicazione dello spazio duale \(V^{V}\) che manda ad un vettore di \(V\) la sua coordinata \(i\)-esima, cioè la solita applicazione che si introduce quando si mostra una base per lo spazio duale, solo che è scritta in altra forma, no?
In un libro di Analisi II che ho infatti chiama \(\alpha^{1} (x^{1}e_{1}+x^{2}e_{2})=x^{1}\) non \(\alpha^{i}\) ma \(dx^{i}\) ben prima di introdurre i concetti di derivate direzionali e senza che siano presenti nel capitolo cenni a spazi tangenti etc...
Scrivo qui per chiedere un'altra cosa. \(dx^{i}\) è comunque l'applicazione dello spazio duale \(V^{V}\) che manda ad un vettore di \(V\) la sua coordinata \(i\)-esima, cioè la solita applicazione che si introduce quando si mostra una base per lo spazio duale, solo che è scritta in altra forma, no?
In un libro di Analisi II che ho infatti chiama \(\alpha^{1} (x^{1}e_{1}+x^{2}e_{2})=x^{1}\) non \(\alpha^{i}\) ma \(dx^{i}\) ben prima di introdurre i concetti di derivate direzionali e senza che siano presenti nel capitolo cenni a spazi tangenti etc...
Sì, sono la stessa cosa. In particolare si indicano con $dx^i$ gli elementi della base duale se stai usando, come riferimento sugli aperti, quelli delle coordinate naturali indotte dagli omomorfismi con gli aperti di $RR^n$.
In generale, però, è possibile definire un riferimento per lo spazio tangente e quello cotangente a prescindere dalle coordinate locali, e questa è la forma "generale" con cui si introducono i concetti di fibrato tangente e cotangente su una varietà. Comunque non ti arrovellare troppo: segui l'ordine di quello che trovi scritto che poi ci arriverai.
In generale, però, è possibile definire un riferimento per lo spazio tangente e quello cotangente a prescindere dalle coordinate locali, e questa è la forma "generale" con cui si introducono i concetti di fibrato tangente e cotangente su una varietà. Comunque non ti arrovellare troppo: segui l'ordine di quello che trovi scritto che poi ci arriverai.
Ok, grazie.
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