Spazio proiettivo P_n(R)
lo spazio proiettivo è una varietà analitica differenziabile?
Risposte
Dagli appunti che ho sì!
Indicate con [tex]$[x_0;...;x_n]$[/tex] le generiche coordinate omogenee, siano [tex]$\forall k\in\{0;...;n\},\,U_k=\{[x_0;...;x_n]\in\mathbb{P}_n(\mathbb{R})\mid x_k\neq0\};\,\varphi_k:[x_0;...;x_n]\in U_k\to\bigg(\frac{x_0}{x_k};...;\frac{x_{k-1}}{x_k};\frac{x_{k+1}}{x_k};...\frac{x_n}{x_k}\bigg)\in\mathbb{R}^n$[/tex] allora [tex]$\{(U_k;\varphi_k)\}_k$[/tex] è un atlante!
Indicate con [tex]$[x_0;...;x_n]$[/tex] le generiche coordinate omogenee, siano [tex]$\forall k\in\{0;...;n\},\,U_k=\{[x_0;...;x_n]\in\mathbb{P}_n(\mathbb{R})\mid x_k\neq0\};\,\varphi_k:[x_0;...;x_n]\in U_k\to\bigg(\frac{x_0}{x_k};...;\frac{x_{k-1}}{x_k};\frac{x_{k+1}}{x_k};...\frac{x_n}{x_k}\bigg)\in\mathbb{R}^n$[/tex] allora [tex]$\{(U_k;\varphi_k)\}_k$[/tex] è un atlante!
"j18eos":
Dagli appunti che ho sì!
Indicate con [tex]$[x_0;...;x_n]$[/tex] le generiche coordinate omogenee, siano [tex]$\forall k\in\{0;...;n\},\,U_k=\{[x_0;...;x_n]\in\mathbb{P}_n(\mathbb{R})\mid x_k\neq0\};\,\varphi_k:[x_0;...;x_n]\in U_k\to\bigg(\frac{x_0}{x_k};...;\frac{x_{k-1}}{x_k};\frac{x_{k+1}}{x_k};...\frac{x_n}{x_k}\bigg)\in\mathbb{R}^n$[/tex] allora [tex]$\{(U_k;\varphi_k)\}_k$[/tex] è un atlante!
Ma le mappe [tex]$\varphi_k$[/tex] sono analitiche?
Riassumo, pregando ciampax e Armando di correggermi se dico fesserie. \( \mathbb{P}^n(\mathbb{R})\) è una varietà analitica se esiste almeno un atlante analitico, ovvero una collezione di carte locali i cui domini ricoprono lo spazio totale e le cui applicazioni di transizione sono analitiche. Se è questo il caso l'atlante analitico può essere esteso ad un unico atlante analitico massimale che determina la struttura analitica della varietà in questione.
Ora la collezione di carte indicata da Armando è un atlante analitico. Difatti è ovvio che i domini \(U_k\) ricoprono lo spazio totale e inoltre le funzioni \( \varphi_k \circ \varphi_h^{-1} \) hanno espressione
\[(\varphi_k \circ \varphi_h^{-1}) (x_1 \ldots x_n) = \left(\frac{x_1}{x_h} \ldots \frac{1}{x_h} \ldots 1 \ldots \frac{x_n}{x_h}\right), \quad x_k, x_h \ne 0 \]
e pertanto esse sono analitiche nel loro insieme di definizione.
Ora la collezione di carte indicata da Armando è un atlante analitico. Difatti è ovvio che i domini \(U_k\) ricoprono lo spazio totale e inoltre le funzioni \( \varphi_k \circ \varphi_h^{-1} \) hanno espressione
\[(\varphi_k \circ \varphi_h^{-1}) (x_1 \ldots x_n) = \left(\frac{x_1}{x_h} \ldots \frac{1}{x_h} \ldots 1 \ldots \frac{x_n}{x_h}\right), \quad x_k, x_h \ne 0 \]
e pertanto esse sono analitiche nel loro insieme di definizione.
scusate l'ignoranza, ma non riesco a leggere le espressioni matematiche che scrivete,vedo i simboli(parentesi, linee, etc)..serve un particolare programma? illuminatemi.
Nessuna fesseria Giuseppe. 
aram sarà un problema tecnico se non leggi bene le espressioni.
aram sarà un problema tecnico se non leggi bene le espressioni.
Ottimo dissonance!
Mi chiedevo, però... adesso che abbiamo la struttura analitica, come definiamo il fibrato tangente?
Voglio dire, prendiamo un punto \(p \in \mathbb{P}^n(\mathbb{R})\) e pensiamo alla struttura differenziabile solita, non alla struttura analitica. Allora un vettore \(X_p\) tangente la varietà \(M=\mathbb{P}^n(\mathbb{R})\) è una applicazione di \(C^\infty(p)\) [size=85](*)[/size] in sé tale che
[list=1][*:250340n2]\(X_p(\alpha f+\beta g)=\alpha X_pf+\beta X_pg\quad\) (chiamiamola proprietà di linearità, anche se \(C^\infty(p)\) non è un vero spazio vettoriale);[/*:m:250340n2]
[*:250340n2]\(X_p(fg)=f(p)X_pg+g(p)X_pf\quad \) (regola di Leibniz).[/*:m:250340n2][/list:o:250340n2]
Come si trasferisce questa costruzione ad una varietà analitica? Si deve ripetere questa costruzione pedissequamente, semplicemente sostituendo le funzioni analitiche alle funzioni differenziabili?
__________________________
[size=85](*)[/size] Insieme delle funzioni reali differenziabili definite in un intorno di \(p\).
Voglio dire, prendiamo un punto \(p \in \mathbb{P}^n(\mathbb{R})\) e pensiamo alla struttura differenziabile solita, non alla struttura analitica. Allora un vettore \(X_p\) tangente la varietà \(M=\mathbb{P}^n(\mathbb{R})\) è una applicazione di \(C^\infty(p)\) [size=85](*)[/size] in sé tale che
[list=1][*:250340n2]\(X_p(\alpha f+\beta g)=\alpha X_pf+\beta X_pg\quad\) (chiamiamola proprietà di linearità, anche se \(C^\infty(p)\) non è un vero spazio vettoriale);[/*:m:250340n2]
[*:250340n2]\(X_p(fg)=f(p)X_pg+g(p)X_pf\quad \) (regola di Leibniz).[/*:m:250340n2][/list:o:250340n2]
Come si trasferisce questa costruzione ad una varietà analitica? Si deve ripetere questa costruzione pedissequamente, semplicemente sostituendo le funzioni analitiche alle funzioni differenziabili?
__________________________
[size=85](*)[/size] Insieme delle funzioni reali differenziabili definite in un intorno di \(p\).
Sostanzialmente sì. Diciamo che in linea di massima potresti scrivere "varietà di classe $C^a$" dove con $a$ stai ad indicare, di volta in volta, un numero naturale, infinito, oppure $omega$ (per rappresentare le varie classi di differenziabilità). Lo so che fa un po' "schifo", ma sostanzialmente quello che si fa è ripetere le stesse considerazioni che puoi fare con classe $C^k$ tenendo conto delle "ulteriori proprietà" degli spazi dove definisci le funzioni. Questa cosa è scritta, in modo abbastanza "rapido", sul libro di Gentili, Podestà, Vesentini "Lezioni di Geometria differenziale" e, in modo un po' meno veloce e con qualche "suggerimento" in più su quello di Boothby "An introduction to differentiable manifolds and Riemannian geometry". (in realtà, è scritto in dettaglio sul Kobayashi-Nomizu, ma quel libro è terribile da leggere, quindi te lo sconsiglio!) 
"ciampax":
Kobayashi-Nomizu
Per l'amor di Dio! Qualche volta ho provato pure io a leggerlo ma è veramente pesantissimo.
Grazie dei suggerimenti!
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