Spazio proiettivo
Ho qualche problema a capire cosa sia esattamente lo spazio proiettivo.
Io so che lo spazio proiettivo è uno spazio euclideo a cui vengono aggiunti i punti all'infinito,
e questa definizione mi risulta molto utile in quanto posso passare da
$F:X\rightarrow \mathbb{P}^1(\mathbb{C})$ olomorfa con $X$ sup. di Riemann
a
$F:X- {F^{-1}(\infty)}\rightarrow \mathbb{C}$ meromorfa su $X$.
Ma non riesco a figurarmi esattamente di cosa si tratti. Cosa significa che ci aggiungo i punti all'infinito? Graficamente come lo posso immaginare?
Io so che lo spazio proiettivo è uno spazio euclideo a cui vengono aggiunti i punti all'infinito,
e questa definizione mi risulta molto utile in quanto posso passare da
$F:X\rightarrow \mathbb{P}^1(\mathbb{C})$ olomorfa con $X$ sup. di Riemann
a
$F:X- {F^{-1}(\infty)}\rightarrow \mathbb{C}$ meromorfa su $X$.
Ma non riesco a figurarmi esattamente di cosa si tratti. Cosa significa che ci aggiungo i punti all'infinito? Graficamente come lo posso immaginare?
Risposte
Penso che l'andarti letteralmente a vedere la compattificazione di Alexandroff di \(\mathbb{R}\) e \(\mathbb{C}\) possa chiarirti le idee sulle rette proiettive reali \(\mathbb{P}^1(\mathbb{R})\) e complessa \(\mathbb{P}^1(\mathbb{C})\).
Purtroppo non ho dei buoni riferimenti bibliografici!
Se, invece, vuoi studiare cosa sono gli spazi proiettivi su un campo... non mi viene nulla in mente come libro di testo.
Purtroppo non ho dei buoni riferimenti bibliografici!
Se, invece, vuoi studiare cosa sono gli spazi proiettivi su un campo... non mi viene nulla in mente come libro di testo.
ok, grazie
Posso chiederti esattamente che cosa studi? E' più facile dare suggerimenti mirati in tal caso. Sembrerebbe che tu sia un* studente / studentessa di Fisica e che segui un corso di superfici di Riemann per (ad occhio) una triennale. E' così?
Studentessa di matematica, esame annuale di Geometria superiore (che indicativamente comprende teoria sui fibrati, coomologia, teoria di morse, superfici di riemann, geodediche) primo anno delle specialistica e basi scarsissime di geometria.
ah dimenticavo, per completezza dovrei aggiungere che non ho mai seguito corsi di analisi complessa
Ok, ho toppato tutto, ti chiedo scusa 
. E' solo che mi sembra strano che tu non abbia mai incontrato la definizione formale dello spazio proiettivo (come spazio algebrico e come varietà differenziabile) in altri corsi!
Ok, un riferimento standard per la costruzione algebrica del proiettivo è il Beltrametti, ma questo non tratta l'aspetto differenziabile. A malincuore, mi sa che devo rimandarti al libro di Sernesi, Geometria 2. E' l'unico che mi viene in mente adesso che lo sviluppa con i dettagli. In ogni caso, la costruzione algebrica è importante pure lei, perché altrimenti non si capisce la rappresentazione dei suoi elementi!
Poi, questo è un argomento su cui potrei iniziare a parlare e non finire più, ma ti sommergerei solo di dettagli che probabilmente ti sarebbero inutili in questo frangente. In sintesi, ci sono due modi di costruire il proiettivo algebricamente: o aggiungi i punti all'infinito (costruzione quasi mai affrontata; si trova, come costruzione alternativa, nel Sernesi Geometria 1 spiegata in una maniera che ricordo come incomprensibile, o sul Nacinovich, ma ti consiglio di non provare il suo testo a meno di non avere i forti istinti masochistici del sottoscritto). L'altro modo è quello che troverai praticamente ovunque, come quoziente di [tex]\mathbb C^n \setminus \{0\}[/tex] per la relazione di dipendenza lineare: in pratica, l'idea che devi avere in testa, è che i punti del tuo proiettivo sono le rette dello spazio vettoriale soprastante.
Purtroppo ci vuole il suo tempo per riuscire a riappacificare le due costruzioni, quindi, probabilmente, il consiglio di Armando è il migliore. Bada bene, quello funziona solo in dimensione 1, però!
. E' solo che mi sembra strano che tu non abbia mai incontrato la definizione formale dello spazio proiettivo (come spazio algebrico e come varietà differenziabile) in altri corsi!Ok, un riferimento standard per la costruzione algebrica del proiettivo è il Beltrametti, ma questo non tratta l'aspetto differenziabile. A malincuore, mi sa che devo rimandarti al libro di Sernesi, Geometria 2. E' l'unico che mi viene in mente adesso che lo sviluppa con i dettagli. In ogni caso, la costruzione algebrica è importante pure lei, perché altrimenti non si capisce la rappresentazione dei suoi elementi!
Poi, questo è un argomento su cui potrei iniziare a parlare e non finire più, ma ti sommergerei solo di dettagli che probabilmente ti sarebbero inutili in questo frangente. In sintesi, ci sono due modi di costruire il proiettivo algebricamente: o aggiungi i punti all'infinito (costruzione quasi mai affrontata; si trova, come costruzione alternativa, nel Sernesi Geometria 1 spiegata in una maniera che ricordo come incomprensibile, o sul Nacinovich, ma ti consiglio di non provare il suo testo a meno di non avere i forti istinti masochistici del sottoscritto). L'altro modo è quello che troverai praticamente ovunque, come quoziente di [tex]\mathbb C^n \setminus \{0\}[/tex] per la relazione di dipendenza lineare: in pratica, l'idea che devi avere in testa, è che i punti del tuo proiettivo sono le rette dello spazio vettoriale soprastante.
Purtroppo ci vuole il suo tempo per riuscire a riappacificare le due costruzioni, quindi, probabilmente, il consiglio di Armando è il migliore. Bada bene, quello funziona solo in dimensione 1, però!
Ah figurati! Grazie per la disponibilità!
Ho editato, ho aggiunto qualche piccolo dettaglio. 
Se hai dubbi sulla sua costruzione esplicita, non esitare a chiedere!
Mi sono lasciato prendere dalla foga: ho visto "proiettivo" e non ho capito più nulla.
Sì, a te serve solo [tex]\mathbb P^1_\mathbb{C}[/tex], quindi la compattificazione di Alexadroff è perfetta. In sostanza, pensalo come una sfera!
Se hai dubbi sulla sua costruzione esplicita, non esitare a chiedere!
Mi sono lasciato prendere dalla foga: ho visto "proiettivo" e non ho capito più nulla.
Sì, a te serve solo [tex]\mathbb P^1_\mathbb{C}[/tex], quindi la compattificazione di Alexadroff è perfetta. In sostanza, pensalo come una sfera!
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