Spazio Omogeneo e/o Isotropo...?
Buonasera ragazzi, so che è un orario insolito, ma volevo chiedere una definizione matematicamente rigorosa di "Spazio omogeneo" e "Spazio isotropo". In particolare vorrei un esempio di spazio che sia omogeneo E isotropo, e un esempio di spazio che sia omogeneo MA NON isotropo. Se poteste anche motivare il perché tali spazi sono omogenei e/o isotropi vi sarei infinitamente grato, ma sono anche disposto a scervellarmi da solo!
Risposte
Sono termini generici che non hanno una definizione universalmente accettata. Devi dare più contesto, dove li hai incontrati? Cosa stai leggendo?
A livello intuitivo uno spazio è "omogeneo" se tutti i suoi punti sono indistinguibili, mentre esso è "isotropo" se tutte le direzioni sono indistinguibili. Questo ha varie realizzazioni; ad esempio, si usa dire di uno spazio metrico \(M\), con gruppo di isometrie \(G\), che esso è "omogeneo" se verifica la proprietà
\[
\forall x, y\in M,\ \exists g\in G\ \text{tale che }gx=y.\]
(Se ti piace l'algebra, questo significa esattamente che l'azione di \(G\) su \(M\) è transitiva). Aggiungo che il "gruppo di isometrie" di uno spazio metrico è l'insieme delle applicazioni bigettive di \(M\) in sé che preservano la distanza, e l'operazione di gruppo è la composizione. Quindi, se \(d\colon M\times M\to [0, \infty)\) è la funzione distanza, una mappa bigettiva \(g\colon M\to M\) è una isometria se e solo se
\[
d(gx, gy)=d(x, y)\, \qquad \forall x, y\in M.\]
A livello intuitivo uno spazio è "omogeneo" se tutti i suoi punti sono indistinguibili, mentre esso è "isotropo" se tutte le direzioni sono indistinguibili. Questo ha varie realizzazioni; ad esempio, si usa dire di uno spazio metrico \(M\), con gruppo di isometrie \(G\), che esso è "omogeneo" se verifica la proprietà
\[
\forall x, y\in M,\ \exists g\in G\ \text{tale che }gx=y.\]
(Se ti piace l'algebra, questo significa esattamente che l'azione di \(G\) su \(M\) è transitiva). Aggiungo che il "gruppo di isometrie" di uno spazio metrico è l'insieme delle applicazioni bigettive di \(M\) in sé che preservano la distanza, e l'operazione di gruppo è la composizione. Quindi, se \(d\colon M\times M\to [0, \infty)\) è la funzione distanza, una mappa bigettiva \(g\colon M\to M\) è una isometria se e solo se
\[
d(gx, gy)=d(x, y)\, \qquad \forall x, y\in M.\]
Ciao, intanto grazie per la risposta. Li ho incontrati in Elettromagnetismo, sia insieme che separatamente e questo mi ha causato un po' di dubbi. Conoscevo la definizione che hai dato sia in termini meno formali che formali, ma non mi convince granché nessuna delle due definizioni. Cerco di essere più chiaro: uno spazio affine euclideo è omogeneo e isotropo in quanto, in termini intutivi, non esistoni né punti né direzioni privilegiate. Da un punto di vista matematico lo spazio affine euclideo è omogeneo per traslazioni perché presi comunque due punti dello spazio esiste una traslazione che porti l'uno nell'altro. È omogeneo per rotazioni (isotropo) perché presi comunque due punti dello spazio esiste una rotazione attorno ad un punto (ad esempio attorno al punto medio della congiungente dei due punti) che porta l'uno nell'altro. Una delle cose che non capisco allora è perché una circonferenza dovrebbe essere isotropa ma non omogenea per traslazioni, presi due punti della circonferenza li posso connettere mediante una traslazione a patto di spostare il centro della circonferenza (che è un punto privilegiato, il quale non viene toccato per rotazioni attorno a sé stesso, motivo per cui la circonferenza è isotropa). È questo il problema? Che non mi è consentito spostare questo fantomatico punto privilegiato? Se così fosse non capisco perché nella definizione matematica di "Spazio Omogeneo rispetto all'azione di un gruppo" non si faccia riferimento al fatto che qualcosa debba rimanere invariato (nel caso della circonferenza la posizione del centro della circoferenza). Per questo ho chiesto una definizione il più possibile completa e rigorosa, perché non vedo perché mediante la definizione a me nota la circonferenza non debba essere omogenea per traslazioni (che so essere assurdo). Potresti dirmi cosa sbaglio?
Le due nozioni, di spazio omogeneo nel senso di una azione di gruppo, e di spazio omogeneo nel senso di spazio fisico omogeneo, non sono necessariamente correlate.
Se ti è chiara la definizione matematica di spazio omogeneo, ossia un insieme/spazio topologico dove un gruppo \(G\) agisce transitivamente, puoi provare a vedere se uno "spazio fisico", intendendo con questo uno spazio euclideo, o un fibrato in spazi euclidei, o pseudo-riemanniani, o altro a seconda dei casi, ha un'azione, sperabilmente che sia canonicamente scelta, e transitiva, del suo gruppo delle isometrie.
Se ti è chiara la definizione matematica di spazio omogeneo, ossia un insieme/spazio topologico dove un gruppo \(G\) agisce transitivamente, puoi provare a vedere se uno "spazio fisico", intendendo con questo uno spazio euclideo, o un fibrato in spazi euclidei, o pseudo-riemanniani, o altro a seconda dei casi, ha un'azione, sperabilmente che sia canonicamente scelta, e transitiva, del suo gruppo delle isometrie.
@Yvorion
Non so, ma questa discussione mi fa pensare al Principio Cosmologico https://it.wikipedia.org/wiki/Principio_cosmologico
Se sei un fisico (come penso tu sia), assumere che uno spazio sia omogeneo e isotropo implica che gode di tutte le simmetrie...e questo porta a soluzioni particolari del modello standard.
Ovvio che le assunzioni non sono mai state fortemente corroborate dai risultati sperimentali.
E' anche vero che, sempre assumendo le medesime condizioni, per risolvere le discrepanze fra dati osservabili e modello standard viene assunta come reale la "materia oscura".
Ma è vero anche che ci sono critiche sostanziali sul modello standard stesso e l'ulteriore ipotesi della materia oscura: tradotto, l'universo potrebbe non avere una densità di materia così uniforme come ci si vorrebbe attendere.
Non so, ma questa discussione mi fa pensare al Principio Cosmologico https://it.wikipedia.org/wiki/Principio_cosmologico
Se sei un fisico (come penso tu sia), assumere che uno spazio sia omogeneo e isotropo implica che gode di tutte le simmetrie...e questo porta a soluzioni particolari del modello standard.
Ovvio che le assunzioni non sono mai state fortemente corroborate dai risultati sperimentali.
E' anche vero che, sempre assumendo le medesime condizioni, per risolvere le discrepanze fra dati osservabili e modello standard viene assunta come reale la "materia oscura".
Ma è vero anche che ci sono critiche sostanziali sul modello standard stesso e l'ulteriore ipotesi della materia oscura: tradotto, l'universo potrebbe non avere una densità di materia così uniforme come ci si vorrebbe attendere.
Sì, sono un fisico (sono ancora uno studente, ma hai capito cosa intendo). Il problema che mi affligge è che non vedo il senso di specificare "omogeneo E isotropo", in sostanza non riesco ad immaginare uno spazio che sia omogeneo MA NON isotropo. Questo aldilà del principio cosmologico.
"Yvorion":
non vedo il senso di specificare "omogeneo E isotropo", in sostanza non riesco ad immaginare uno spazio che sia omogeneo MA NON isotropo. Questo aldilà del principio cosmologico.
Qui ci sono un paio di esempi: https://en.m.wikipedia.org/wiki/Isotropic_manifold
Lo spazio-tempo di Minkowski non è isotropo. Anche intuitivamente, non può essere isotropo, perché la direzione di propagazione della luce è speciale e non è assimilabile alle altre.
"dissonance":
Lo spazio-tempo di Minkowski non è isotropo. Anche intuitivamente, non può essere isotropo, perché la direzione di propagazione della luce è speciale e non è assimilabile alle altre.
???
Lo spazio-tempo di Minkowski È isotropo (ovviamente in RR), se accendi una lampadina la luce mica si propaga in una sola direzione.
Per quanto riguarda la domanda in OP, Ancona una risposta l'ha già data e benché non ti sconsiglio di guardarla penso che forse preferiresti una risposta più pratica.
Pensa ad un cilindro (infinito) cioè $S^1\times RR$, è abbastanza evidente che sia omogeneo (ad esempio perché prodotto di spazi omogenei). Ma non è isotropo perché in ogni punto c'è una direzione a curvatura nulla mentre le altre hanno curvatura positiva, un altro modo di vederlo (probabilmente più da fisico) è che c'è una direzione che se percorri, dopo un po' torni al punto di partenza, mentre tutte le altre non hanno questa proprietà.
Queste incomprensioni accadono quando non ci sono definizioni precise sul tavolo. Ma purtroppo la fisica è così, le definizioni sono un lusso da matematici.
Quando ho detto che Minkowski non è isotropo mi riferivo alla cosa seguente. Matematicamente, lo spazio tempo di Minkowski è lo spazio vettoriale \(\mathbb R^{3+1}\) munito del prodotto scalare
\[
\langle (\mathbf x, t), (\mathbf y, s)\rangle = ts- \mathbf x\cdot \mathbf y .\]
(Ovviamente, \(\mathbb R^{3+1}\) è lo stesso di \(\mathbb R^4\), ma scritto così è un po’ più espressivo). Questo prodotto scalare ha vettori *isotropi*, ovvero vettori non nulli ma di lunghezza nulla.
Quando ho detto che Minkowski non è isotropo mi riferivo alla cosa seguente. Matematicamente, lo spazio tempo di Minkowski è lo spazio vettoriale \(\mathbb R^{3+1}\) munito del prodotto scalare
\[
\langle (\mathbf x, t), (\mathbf y, s)\rangle = ts- \mathbf x\cdot \mathbf y .\]
(Ovviamente, \(\mathbb R^{3+1}\) è lo stesso di \(\mathbb R^4\), ma scritto così è un po’ più espressivo). Questo prodotto scalare ha vettori *isotropi*, ovvero vettori non nulli ma di lunghezza nulla.
non è isotropo perché in ogni punto c'è una direzione a curvatura nulla mentre le altre hanno curvatura positiva.
Non ho capito se volessi dire il contrario: le due direzioni di cui parli, sul cilindro parametrizzato come \((u,v)\mapsto (u\cos v, u\sin v)\), sono le immagini di due rette \(u=1\) e \(v=0\); una è una retta verticale, e ha curvatura nulla così come tutte le altre parallele \(v=v_0\).
Provo a spiegarmi meglio.
Chiamando nella tua parametrizzazione "verticali" le rette con $v$ costante (che sono geodetiche) , in ogni punto passa un'unica retta del genere, che è l'unica tra tutte le geodetiche passanti per quel punto ad avere curvatura nulla. Le altre (infinite) hanno curvatura positiva.
Ora va meglio?
Chiamando nella tua parametrizzazione "verticali" le rette con $v$ costante (che sono geodetiche) , in ogni punto passa un'unica retta del genere, che è l'unica tra tutte le geodetiche passanti per quel punto ad avere curvatura nulla. Le altre (infinite) hanno curvatura positiva.
Ora va meglio?
Sì, sono d'accordo.
Grazie mille a tutti, adesso è tutto chiaro, tranne il commento di Dissonance sull'anisotropia dello spazio di Minkowsky. Non appena arriverà il momento rileggerò il commento con più attenzione, ma una cosa che ho sentito dire fino alla nausea dai miei Professori è che quello spazio è isotropo. Poi, come giustamente dice Dissonance, i fisici tendono ad essere approssimativi nelle definizioni, è una triste realtà a cui personalmente, per ciò mi riguarda, tento in tutti i modi di porre rimedio, con scherno dei colleghi fisici che la ritengono una perdita di tempo da matematici.
"dissonance":
https://www.matematicamente.it/forum/viewtopic.php?p=8391381#p8391381
Ehi ehi, mai detto di voler fare il matematico, ma è una mia opinione (impopolare) che "Fare i fisici" ed "Essere rigorosi" siano due cose conciliabili, seppur con difficoltà. Basti pensare ai testi di Fisica Matematica e Relatività del Professore Valter Moretti di Trento, delle perle a mio avviso. Certamente, come roccia, la matematica rimarrà eternamente più dura della fisica, ma questo non esclude che si possano seguire delle orme di rigore nel costruire una teoria in modo che sia il più solida e rigorosa possibile.
Quando si dice che lo spazio è omogeneo ed isotropo si intende, rispettivamente, che non esistono né punti né direzioni privilegiate. Ciò si traduce matematicamente nella modellizzazione con spazi affini dotati di prodotti scalari, in modo tale da poter formulare delle leggi (sotto forma di equazioni differenziali) che siano covarianti (ovvero che abbiano la stessa forma cambiando sistemi di coordinate) sotto traslazioni e rotazioni.
La definizione di isotropia di cui parla Dissonance (ovvero vettori isotropi nel senso di ortogonali a se stessi) non centra niente!
Quindi se ti servono degli esempi di spazi omogenei ma non isotropi o viceversa puoi pensare rispettivamente ad un cilindro o ad una sfera in $\mathbb{R}^3$
La definizione di isotropia di cui parla Dissonance (ovvero vettori isotropi nel senso di ortogonali a se stessi) non centra niente!
Quindi se ti servono degli esempi di spazi omogenei ma non isotropi o viceversa puoi pensare rispettivamente ad un cilindro o ad una sfera in $\mathbb{R}^3$
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