Spazio non paracompatto
Ciao, stavo cercando un esempio di spazio non paracompatto e mi è venuto qualcosa in mente, volevo chiedervi se secondo voi è corretto.
Prendo l' insieme $NN$ dei naturali e considero come topologia quella generata da tutti gli aperti del tipo
${0,n}$ al variare di n (ogni insieme di questo tipo contiene 2 elementi, non l intervallo)
Ora prendo questa collezione come ricoprimento aperto, ogni sottoricoprimento deve contenere tutti gli n, quindi sono costretto a prendere infiniti insiemi di questo tipo, e il raffinamento in questione non è localmente finito in 0.
quindi lo spazio non è paracompatto.
Inoltre questo esempio mi ha fatto venire un dubbio. Per costruirlo ho dovuto usare il fatto che 0 e ogni altro n fossero indistinguibili. Esiste forse un implicazione $T_0$ => paracompatto?
Prendo l' insieme $NN$ dei naturali e considero come topologia quella generata da tutti gli aperti del tipo
${0,n}$ al variare di n (ogni insieme di questo tipo contiene 2 elementi, non l intervallo)
Ora prendo questa collezione come ricoprimento aperto, ogni sottoricoprimento deve contenere tutti gli n, quindi sono costretto a prendere infiniti insiemi di questo tipo, e il raffinamento in questione non è localmente finito in 0.
quindi lo spazio non è paracompatto.
Inoltre questo esempio mi ha fatto venire un dubbio. Per costruirlo ho dovuto usare il fatto che 0 e ogni altro n fossero indistinguibili. Esiste forse un implicazione $T_0$ => paracompatto?
Risposte
"Daniele Florian":Questa è la topologia discreta...
...Prendo l' insieme $ NN $ dei naturali e considero come topologia quella generata da tutti gli aperti del tipo
$ {0,n} $ al variare di n (ogni insieme di questo tipo contiene 2 elementi, non l intervallo)...
Se vuoi un esempio di spazio non paracompatto ti basta \(\mathbb{R}\) con la topologia naturale, e consideri il ricoprimento aperto \(]n;n+2[\) con \(n\in\mathbb{Z}\)!
mmm... no, aspetta... sono d accordo che l mio esempi non va bene (errore stupido, tra l altro), però neanche il tuo 
per la paracompattezza basta che esista un raffinamento localmente finito, e il tuo ricoprimento lo ammette, cioè sè stesso...
per la paracompattezza basta che esista un raffinamento localmente finito, e il tuo ricoprimento lo ammette, cioè sè stesso...
Forse ho capito: ho usato una diversa definizione di paracompattezza... Tu usi questa; e in questa pagina trovi esempi non proprio banali! 
@j18eos: Secondo la tua notazione che cos'è uno spazio paracompatto?
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo