Spazio metrico connesso è non numerabile
Ciao a tutti ragazzi!
ho una soluzione ad un esercizio di topologia da proporvi, l'esercizio:
Si dimostri che dato uno spazio X con più di un punto, se questo è connesso e nella topologia metrica, esso non è numerabile.
io ho pensato di risolvere così:
[tex]A = \{ d(x,y) | x,y \in X \}[/tex]
Se invece X è finito o numerabile, A è al più numerabile. Questo significa che esisterà un reale [tex]\lambda[/tex] tale che, fissato a in X, non esista un b a distanza lambda da a.
Sia adesso [tex]B = B(a,\lambda)[/tex], la palla aperta in a raggio $lambda$. Adesso dimostro X/B essere aperto:
sia b in X/B. [tex]d = d(a,b) > \lambda[/tex] allora la palla centro in b e raggio [tex]\frac{d - \lambda}{2}[/tex] è un intorno aperto di b in X/B.
B e X/B sono due separazioni di X.
Pensate vada bene?
ho una soluzione ad un esercizio di topologia da proporvi, l'esercizio:
Si dimostri che dato uno spazio X con più di un punto, se questo è connesso e nella topologia metrica, esso non è numerabile.
io ho pensato di risolvere così:
[tex]A = \{ d(x,y) | x,y \in X \}[/tex]
Se invece X è finito o numerabile, A è al più numerabile. Questo significa che esisterà un reale [tex]\lambda[/tex] tale che, fissato a in X, non esista un b a distanza lambda da a.
Sia adesso [tex]B = B(a,\lambda)[/tex], la palla aperta in a raggio $lambda$. Adesso dimostro X/B essere aperto:
sia b in X/B. [tex]d = d(a,b) > \lambda[/tex] allora la palla centro in b e raggio [tex]\frac{d - \lambda}{2}[/tex] è un intorno aperto di b in X/B.
B e X/B sono due separazioni di X.
Pensate vada bene?
Risposte
"DeppeP":
Se invece X è finito o numerabile, A è al più numerabile. Questo significa che esisterà un reale λ tale che, fissato a in X, non esista un b a distanza lambda da a.
se $X$ è finito ok, ma se $X$ è numerabile come fai ad affermare che quel $\lambda$ esiste? Ma esiste? Prova a pensare nel caso che $X=Q$ l'insieme dei numeri razionali (i puntini sono vicini vicini
) ...
se l'insieme è numerabile certamente ci sarà un [tex]\lambda[/tex] irrazionale adatto all'uso 
Aaahhh non avevo capito che dicevi questo, pensavo dicessi che $B(a,\lambda)$ conteneva solo $a$ Scusa 
ma scusa di che, perplesso ! 
! cosa ne pensi ora?
! cosa ne pensi ora?
Ottimo. 
Un altro modo per farlo poteva essere scomodare il teorema dei valori intermedi. Supponi $X$ connesso e fissa un punto $x_0$ e quindi considera la funzione $f: y \in X \rightarrow d(x_0,y) \in R$ Questa è una funzione continua con dominio connesso e $f(x_0)=0$ Inoltre per ipotesi esiste un altro punto $y \ne x_0$ tale che $f(y) = d(x_0,y) > 0$, allora per il teorema dei valori intermedi $f$ assume tutti i valori nell'intervallo $[0,f(y)]$ che non è numerabile. Quindi $X$ è più che numerabile (sempre se non dico cazzate )
Un altro modo per farlo poteva essere scomodare il teorema dei valori intermedi. Supponi $X$ connesso e fissa un punto $x_0$ e quindi considera la funzione $f: y \in X \rightarrow d(x_0,y) \in R$ Questa è una funzione continua con dominio connesso e $f(x_0)=0$ Inoltre per ipotesi esiste un altro punto $y \ne x_0$ tale che $f(y) = d(x_0,y) > 0$, allora per il teorema dei valori intermedi $f$ assume tutti i valori nell'intervallo $[0,f(y)]$ che non è numerabile. Quindi $X$ è più che numerabile (sempre se non dico cazzate )
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