Spazio isomorfo a $CC$

[thedarkhero]

Sia V spazio vettoriale di dimensione 2 e sia $*:V->V$ compatibile con il prodotto per scalari e che rende V un campo. Allora V è isomorfo a $CC$.

Dimostrazione
Sia u l'elemento neutro per il prodotto di V.
Si tratta di dimostrare che esiste v in V tale che $v^2=-u$ e che $V=$, che corrisponde a dire che $CC=<1,i>$.
Sia w in V tale che $V=$.
Allora $w^2=alphau+betaw$.
Sia ora $t=w+xu$ con $x\inRR$. Si può scegliere x in modo tale che $t^2=cu$ con $c\inRR$.
Questo ultimo passaggio non mi è chiaro, perchè un elemento nella forma $w+xu$ elevato al quadrato, per un certo x, è nella forma $cu$?

[gugo82]

Beh, da [tex]t=w+xu[/tex] e [tex]w^2=\alpha u+\beta w[/tex] ricavi:

[tex]t^2=w^2+2xu\cdot w+x^2u^2=(\alpha u +\beta w)+2x w +x^2 u=(\alpha +x^2) u+(\beta +2x)w[/tex],

quindi basta scegliere [tex]x[/tex] in modo che [tex]\beta +2x=0[/tex]...

Ricorda che [tex]\alpha ,\beta[/tex] sono fissati e non dipendono da [tex]x[/tex].

[thedarkhero]

Grazie, chiarissimo!
Continuando la dimostrazione...
$V=$
Ora si dice che $t^2=cu$ con c negativo (perchè?) e che di conseguenza esiste $t_0=1/sqrt(abs(c))t$ tale che $V=$ e $t_0^2=-u$.
Non mi è chiaro perchè c sia necessariamente negativo e soprattutto perchè quel $t_0$ si ottiene in quel modo.