Spazio duale e base duale..
salve a tutti..ho un problema con la base duale di uno spazio
Io so che se B=(u1....un) è un riferimento di V, le forme u*1.....u*n definite da u*i(uj)=(delta)ij costituiscono un riferimento di V* (dove (delta)ij è il simbolo di Kroneker
ma perchè?? mi è stato detto che posso dirlo grazie al teorema dell'estensione lineare però io non riesco a capire bene il motivo..
Io so che se B=(u1....un) è un riferimento di V, le forme u*1.....u*n definite da u*i(uj)=(delta)ij costituiscono un riferimento di V* (dove (delta)ij è il simbolo di Kroneker
ma perchè?? mi è stato detto che posso dirlo grazie al teorema dell'estensione lineare però io non riesco a capire bene il motivo..
Risposte
Ciao,
il problema che proponi è abbastanza tecnico, e forse per essere compreso in pieno richiederebbe qlc nozione di analisi funzionale.
V* rappresenta lo spazio duale di V, cioè lo spazio dei funzionali lineari di V (le applicazioni lineari di V in R).
Il fatto che V, in questo caso, abbia dimensione finita, facilità le cose in quanto anche il suo duale ha dimensione finita. Le u* ora sono una base di qst spazio ed essendo lineari (u*(uj+uk)=u*(uj)+u*(uk)) (e anche continue, in quanto un funzionale lineare è continuo se e solo se è limitato, e le u* lo sono; qst informazione per i nostri scopi è inutile ma tanto vale dir tutto) verificano direttamente le ipotesi del teorema da te citato. In casi più generali si ricorre al teorema di Hahn-Banach.
Ti lascio un link che ho trovato in internet:
http://en.wikipedia.org/wiki/Continuous ... _extension
Spero che il link riesca a chiarire i tuoi dubbi più di quello che ho scritto, sperando che almeno sia comprensibile.
il problema che proponi è abbastanza tecnico, e forse per essere compreso in pieno richiederebbe qlc nozione di analisi funzionale.
V* rappresenta lo spazio duale di V, cioè lo spazio dei funzionali lineari di V (le applicazioni lineari di V in R).
Il fatto che V, in questo caso, abbia dimensione finita, facilità le cose in quanto anche il suo duale ha dimensione finita. Le u* ora sono una base di qst spazio ed essendo lineari (u*(uj+uk)=u*(uj)+u*(uk)) (e anche continue, in quanto un funzionale lineare è continuo se e solo se è limitato, e le u* lo sono; qst informazione per i nostri scopi è inutile ma tanto vale dir tutto) verificano direttamente le ipotesi del teorema da te citato. In casi più generali si ricorre al teorema di Hahn-Banach.
Ti lascio un link che ho trovato in internet:
http://en.wikipedia.org/wiki/Continuous ... _extension
Spero che il link riesca a chiarire i tuoi dubbi più di quello che ho scritto, sperando che almeno sia comprensibile.
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