Spazio dei polinomi

[maxpix]

Buongiorno a tutti, sto cercando di far chiarezza con un esercizio.

Eccolo,

Prendiamo lo spazio dei polinomi e consideriamo i seguenti polinomi $p(x)=2x^3+x^2+1$ e $(-x+1)$.
La domanda è: Quali dei seguenti sottoinsiemi è un sottospazio vettoriale?

1) $<2x^3 + x^2 +x, 2x^3 + x^2 - x + 2> U {p(x)} U {q(x)}$.
2) $p(x) U {x^3+1}$
3) $<2x^3+x^2-x+2, x^3+1> U {p(x), q(x)}$
4) $q(x) U <1, x^2+x^3>$

Il primo dubbio è: quando viene scritto <> significa che siamo in presenza di un sottospazio generato dalle componenti interne a <>. Ma il risultato di <> che cosa rappresenta? Prendendo i vettori (2, 1, 1) e (2, 1, -1) arrivo alla conclusione che la dimensione del sottospazio da essi generato è 2, e poi? (significano che generano tutto R^3?)

Iniziamo con questo dubbi gli altri li paleserò in seguito magari...

Grazie

[killing_buddha]

Lo spazio dei polinomi di grado minore di 4 ha dimensione 4 (una sua base è \(\{1,X,X^2,X^3\}\)).

Provo a riscrivere il testo nei termini della identificazione \(K[X]_{< 4}\cong K^4\):

Consideriamo i vettori \(v=\left(\begin{smallmatrix}2\\1\\0\\1\end{smallmatrix}\right)\) e \(w=\left(\begin{smallmatrix} 0\\0\\-1\\1\end{smallmatrix}\right)\).

Quali dei seguenti sottoinsiemi sono un sottospazio vettoriale?

1) \(\left\langle \left(\begin{smallmatrix}2\\1\\1\\0\end{smallmatrix}\right), \left(\begin{smallmatrix}2\\1\\-1\\2\end{smallmatrix}\right) \right\rangle \cup \{v,w\}\).
2) \(\{v\}\cup \left\{ \left(\begin{smallmatrix}1\\0\\0\\1\end{smallmatrix}\right) \right\}\)
3) ...
4) ...

Spero tu abbia capito come si fa la traduzione, ora.