Spazio affine - spazio vettoriale
Perdonate la domanda forse banale, ma perchè l'insieme di tutti i punti del piano non costituisce uno spazio vettoriale?
Mi hanno detto che si chiama spazio affine e che se fisso un'"origine" (ciò privilegio un punto rispetto agli altri) ottengo uno spazio vettoriale.
Se non sbaglio, inoltre, ogni spazio vettoriale è anche affine, ma non vale il viceversa. Che cosa manca dunque all'insieme dei punti del piano per diventare spazio vettoriale?
Grazie per i chiarimenti.
Mi hanno detto che si chiama spazio affine e che se fisso un'"origine" (ciò privilegio un punto rispetto agli altri) ottengo uno spazio vettoriale.
Se non sbaglio, inoltre, ogni spazio vettoriale è anche affine, ma non vale il viceversa. Che cosa manca dunque all'insieme dei punti del piano per diventare spazio vettoriale?
Grazie per i chiarimenti.
Risposte
Credo che non costituisca uno spazio vettoriale per il semplice motivo che un vettore è fatto da delle componenti, essendo queste componenti legate strettamente ad un punto di partenza (senza il quale non ci si potrebbe regolare) l'insieme dei punti del piano senza un'origine non sarebbe in grado di assicurare le coordinate del vettore e di conseguenza di individuare un vettore...
L'insieme dei punti del piano è in corrispondenza biunivoca con i vettori da $0$ a quel punto. Quello è uno spazio vettoriale. E' anche uno spazio euclideo ed affine ma penso che dovresti leggerti le definizioni...
"Riuzaki":
Credo che non costituisca uno spazio vettoriale per il semplice motivo che un vettore è fatto da delle componenti, essendo queste componenti legate strettamente ad un punto di partenza (senza il quale non ci si potrebbe regolare) l'insieme dei punti del piano senza un'origine non sarebbe in grado di assicurare le coordinate del vettore e di conseguenza di individuare un vettore...
Ma di che stai parlando? Per essere uno spazio vettoriale basta che soddisfi gli assiomi. La tua comunque mi sembra quasi una definizione da scuole superiori.Quello a cui ti riferisci tu è lo spazio affine penso.
Hai già ricevuto delle risposte ma credo di non confondere troppo le acque se aggiungo la mia opinione. Nel seguito faccio riferimento allo spazio fisico, tridimensionale, invece che al piano; così possiamo riciclare la nozione di vettore che ci viene dalla Fisica.
Informalmente, uno spazio vettoriale è una struttura nella quale è possibile prendere combinazioni lineari. Allora, se volessi rendere lo spazio fisico uno spazio vettoriale, dovresti introdurre una definizione di "combinazione lineare" di due o più punti.
Non che non si possa fare: ad esempio potresti dichiarare che la combinazione lineare di un qualunque insieme di punti, con qualunque scelta dei coefficienti, è un punto fissato dello spazio, che so, l'ombelico di Ratzinger. Non ho verificato (!), ma probabilmente lo spazio fisico, equipaggiato con questa operazione, è uno spazio vettoriale.
Chiaramente questa è solo la caricatura di uno spazio vettoriale: infatti nello spazio fisico è già definito in modo naturale un concetto di "vettore", inteso come "segmento orientato congiungente due punti"; questi possono essere combinati linearmente e sarebbe cosa gradita se questo concetto di combinazione lineare e quello introdotto tra i punti fossero compatibili.
Più precisamente, noi vorremo che dati punti $P_1, P_2$ e coefficienti reali $lambda_1, lambda_2$, risulti che comunque si scelga un'origine $O$ il vettore posizione della combinazione lineare sia la combinazione lineare dei vettori di posizione:
$\vec{O(\lambda_1P_1+\lambda_2P_2)}=\lambda_1\vec{OP_1}+\lambda_2\vec{OP_2}$.
E questo proprio non si riesce a fare. Infatti la combinazione lineare a secondo membro di questa equazione dipende irrimediabilmente dalla scelta di $O$ ([size=75]tranne in un caso molto particolare: quello in cui $lambda_1+lambda_2=1$[/size]); è questo il senso della frase "lo spazio fisico non ha un punto privilegiato".
Consiglio per ulteriori informazioni la lettura di Gallier, capitolo 2: Basics of Affine Geometry.
[edit]Più precisamente ti serve leggere solo il primo paragrafo, che nella numerazione del pdf è il §4.1. Non capisco il perché di quel 4, visto che è il secondo capitolo, ma vedo che nella nuova versione (2010) è così. Boh, bisognerebbe chiedere a Gallier.
Informalmente, uno spazio vettoriale è una struttura nella quale è possibile prendere combinazioni lineari. Allora, se volessi rendere lo spazio fisico uno spazio vettoriale, dovresti introdurre una definizione di "combinazione lineare" di due o più punti.
Non che non si possa fare: ad esempio potresti dichiarare che la combinazione lineare di un qualunque insieme di punti, con qualunque scelta dei coefficienti, è un punto fissato dello spazio, che so, l'ombelico di Ratzinger. Non ho verificato (!), ma probabilmente lo spazio fisico, equipaggiato con questa operazione, è uno spazio vettoriale.
Chiaramente questa è solo la caricatura di uno spazio vettoriale: infatti nello spazio fisico è già definito in modo naturale un concetto di "vettore", inteso come "segmento orientato congiungente due punti"; questi possono essere combinati linearmente e sarebbe cosa gradita se questo concetto di combinazione lineare e quello introdotto tra i punti fossero compatibili.
Più precisamente, noi vorremo che dati punti $P_1, P_2$ e coefficienti reali $lambda_1, lambda_2$, risulti che comunque si scelga un'origine $O$ il vettore posizione della combinazione lineare sia la combinazione lineare dei vettori di posizione:
$\vec{O(\lambda_1P_1+\lambda_2P_2)}=\lambda_1\vec{OP_1}+\lambda_2\vec{OP_2}$.
E questo proprio non si riesce a fare. Infatti la combinazione lineare a secondo membro di questa equazione dipende irrimediabilmente dalla scelta di $O$ ([size=75]tranne in un caso molto particolare: quello in cui $lambda_1+lambda_2=1$[/size]); è questo il senso della frase "lo spazio fisico non ha un punto privilegiato".
Consiglio per ulteriori informazioni la lettura di Gallier, capitolo 2: Basics of Affine Geometry.
[edit]Più precisamente ti serve leggere solo il primo paragrafo, che nella numerazione del pdf è il §4.1. Non capisco il perché di quel 4, visto che è il secondo capitolo, ma vedo che nella nuova versione (2010) è così. Boh, bisognerebbe chiedere a Gallier.
Per prima cosa, un grazie a vict e riuzaki per i loro interventi.
Quanto a te, dissonance, sei sempre il solito (sei un grande!
): riesci sempre a spalancarmi orizzonti immensi. Grazie mille per il tuo post. Commento di seguito:
Ho capito.
Ah, ecco. Capisco.
Se non sbaglio, si chiamano combinazioni lineari convesse (le citò una volta il prof d'analisi), dico bene?
L'ho visto e mi sembra molto ben fatto: darò una lettura, ti ringrazio molto anche per il riferimento bibliografico.
Grazie ancora.
Quanto a te, dissonance, sei sempre il solito (sei un grande!
): riesci sempre a spalancarmi orizzonti immensi. Grazie mille per il tuo post. Commento di seguito:"dissonance":
Hai già ricevuto delle risposte ma credo di non confondere troppo le acque se aggiungo la mia opinione. Nel seguito faccio riferimento allo spazio fisico, tridimensionale, invece che al piano; così possiamo riciclare la nozione di vettore che ci viene dalla Fisica.
Informalmente, uno spazio vettoriale è una struttura nella quale è possibile prendere combinazioni lineari. Allora, se volessi rendere lo spazio fisico uno spazio vettoriale, dovresti introdurre una definizione di "combinazione lineare" di due o più punti.
Non che non si possa fare: ad esempio potresti dichiarare che la combinazione lineare di un qualunque insieme di punti, con qualunque scelta dei coefficienti, è un punto fissato dello spazio, che so, l'ombelico di Ratzinger. Non ho verificato (!), ma probabilmente lo spazio fisico, equipaggiato con questa operazione, è uno spazio vettoriale.
Ho capito.
Chiaramente questa è solo la caricatura di uno spazio vettoriale: infatti nello spazio fisico è già definito in modo naturale un concetto di "vettore", inteso come "segmento orientato congiungente due punti"; questi possono essere combinati linearmente e sarebbe cosa gradita se questo concetto di combinazione lineare e quello introdotto tra i punti fossero compatibili.
Più precisamente, noi vorremo che dati punti $P_1, P_2$ e coefficienti reali $lambda_1, lambda_2$, risulti che comunque si scelga un'origine $O$ il vettore posizione della combinazione lineare sia la combinazione lineare dei vettori di posizione:
$\vec{O(\lambda_1P_1+\lambda_2P_2)}=\lambda_1\vec{OP_1}+\lambda_2\vec{OP_2}$.
E questo proprio non si riesce a fare. Infatti la combinazione lineare a secondo membro di questa equazione dipende irrimediabilmente dalla scelta di $O$
Ah, ecco. Capisco.
([size=75]tranne in un caso molto particolare: quello in cui $lambda_1+lambda_2=1$[/size]);
Se non sbaglio, si chiamano combinazioni lineari convesse (le citò una volta il prof d'analisi), dico bene?
Consiglio per ulteriori informazioni la lettura di Gallier, capitolo 2: Basics of Affine Geometry.
[edit]Più precisamente ti serve leggere solo il primo paragrafo, che nella numerazione del pdf è il §4.1. Non capisco il perché di quel 4, visto che è il secondo capitolo, ma vedo che nella nuova versione (2010) è così. Boh, bisognerebbe chiedere a Gallier.
L'ho visto e mi sembra molto ben fatto: darò una lettura, ti ringrazio molto anche per il riferimento bibliografico.
Grazie ancora.
Sono molto contento che il mio intervento ti piaccia, comunque andando avanti con gli studi vedrai che diventerà per te una ovvietà. Per quanto riguarda
Questo concetto è fisicamente importante perché se prendi $P_1 \ldots P_n$ punti nello spazio fisico (che è il prototipo di spazio affine) e piazzi in ogni punto una massa $m_1 \ldots m_n$ (eventualmente una massa nulla, ma mai una massa negativa che non ha significato fisico) , come sai resta individuato un unico punto dello spazio che si chiama centro di massa e il cui vettore di posizione rispetto ad una origine $O$ è
$vec {OC}= sum_{k=1}^n (\frac{m_k}{sum_{j=1}^n m_j})\vec{OP_k}$;
(remark: il vettore di posizione dipende dalla scelta di $O$ ma il punto $C$ no)
e puoi vedere facilmente che si tratta di una combinazione lineare convessa dei vettori di posizione. Se la somma $sum_{j=1}^n m_j$ fosse uguale ad $1$ (cosa che si può sempre ottenere a patto di scegliere una diversa unità di misura), scriveremmo
$vec {OC}= sum_{k=1}^n m_k\vec{OP_k}$ ;
ma, visto che il punto $C$ è individuato univocamente dai punti $P_k$ e dalle masse $m_k$, tanto vale scrivere
$C=m_1P_1+...+m_nP_n$.
E qui finisce la Fisica, ma attacca la Geometria. Infatti questa idea viene ripresa in un generico spazio affine (reale o complesso): si dimostra che, presi punti $P_1\ldots P_n$ in uno spazio affine e associati a ciascuno di essi degli scalari $m_1 \ldots m_n$, positivi e tali che $m_1+...+m_n=1$, la combinazione convessa
$vec {OC}= sum_{k=1}^n m_k\vec{OP_k}$
dei vettori di posizione individua un unico punto dello spazio, che chiameremo combinazione convessa dei punti $P_1\ldotsP_n$ e indicheremo con
$C=m_1P_1+...+m_nP_n$.
Nel caso in cui lo spazio affine sia lo spazio fisico, la combinazione convessa viene a coincidere con il centro di massa. Ma adesso che ci siamo scollegati dalla realtà fisica, abbiamo maggiore libertà: perché richiedere che gli scalari $m_1\ldots m_n$ siano positivi? Non serve: anche con scalari negativi si potrebbe fare un discorso perfettamente analogo. E anzi, alzando ancora il livello di astrazione, non serve nemmeno che gli scalari siano reali. Andranno bene anche scalari in un altro campo, uno qualsiasi. Questo porta al concetto più generale di combinazione affine:
dati punti $P_1\ldotsP_n$ in uno spazio affine, e associando a ciascuno di essi scalari $m_1\ldots m_n$ tali che $m_1+...+m_n=1$ (nota che questo ha senso: in un campo puoi sommare e sicuramente esiste $1$, l'elemento neutro rispetto al prodotto) resta individuato da questi un unico punto $C=m_1P_1+...+m_nP_n$ che prende il nome di combinazione affine dei punti $P_k$ a coefficienti $m_k$.
Ok, direi che può bastare. E' un argomento molto interessante che trovi spiegato ottimamente sul Gallier, ma che sicuramente verrà affrontato nel dettaglio nei tuoi corsi universitari.
Se non sbaglio, si chiamano combinazioni lineari convesse (le citò una volta il prof d'analisi), dico bene?Dici quasi bene. Intanto le combinazioni lineari convesse sono, appunto, combinazioni lineari che si formano negli spazi vettoriali: se $V$ è uno spazio vettoriale reale (o anche complesso se vuoi), $v_1 \ldots v_n$ sono vettori e $lambda_1\ldots lambda_n$ sono scalari positivi la cui somma è $1$, allora la combinazione lineare $lambda_1 v_1+\ldots+lambda_n v_n$ prende il nome di combinazione lineare convessa.
Questo concetto è fisicamente importante perché se prendi $P_1 \ldots P_n$ punti nello spazio fisico (che è il prototipo di spazio affine) e piazzi in ogni punto una massa $m_1 \ldots m_n$ (eventualmente una massa nulla, ma mai una massa negativa che non ha significato fisico) , come sai resta individuato un unico punto dello spazio che si chiama centro di massa e il cui vettore di posizione rispetto ad una origine $O$ è
$vec {OC}= sum_{k=1}^n (\frac{m_k}{sum_{j=1}^n m_j})\vec{OP_k}$;
(remark: il vettore di posizione dipende dalla scelta di $O$ ma il punto $C$ no)
e puoi vedere facilmente che si tratta di una combinazione lineare convessa dei vettori di posizione. Se la somma $sum_{j=1}^n m_j$ fosse uguale ad $1$ (cosa che si può sempre ottenere a patto di scegliere una diversa unità di misura), scriveremmo
$vec {OC}= sum_{k=1}^n m_k\vec{OP_k}$ ;
ma, visto che il punto $C$ è individuato univocamente dai punti $P_k$ e dalle masse $m_k$, tanto vale scrivere
$C=m_1P_1+...+m_nP_n$.
E qui finisce la Fisica, ma attacca la Geometria. Infatti questa idea viene ripresa in un generico spazio affine (reale o complesso): si dimostra che, presi punti $P_1\ldots P_n$ in uno spazio affine e associati a ciascuno di essi degli scalari $m_1 \ldots m_n$, positivi e tali che $m_1+...+m_n=1$, la combinazione convessa
$vec {OC}= sum_{k=1}^n m_k\vec{OP_k}$
dei vettori di posizione individua un unico punto dello spazio, che chiameremo combinazione convessa dei punti $P_1\ldotsP_n$ e indicheremo con
$C=m_1P_1+...+m_nP_n$.
Nel caso in cui lo spazio affine sia lo spazio fisico, la combinazione convessa viene a coincidere con il centro di massa. Ma adesso che ci siamo scollegati dalla realtà fisica, abbiamo maggiore libertà: perché richiedere che gli scalari $m_1\ldots m_n$ siano positivi? Non serve: anche con scalari negativi si potrebbe fare un discorso perfettamente analogo. E anzi, alzando ancora il livello di astrazione, non serve nemmeno che gli scalari siano reali. Andranno bene anche scalari in un altro campo, uno qualsiasi. Questo porta al concetto più generale di combinazione affine:
dati punti $P_1\ldotsP_n$ in uno spazio affine, e associando a ciascuno di essi scalari $m_1\ldots m_n$ tali che $m_1+...+m_n=1$ (nota che questo ha senso: in un campo puoi sommare e sicuramente esiste $1$, l'elemento neutro rispetto al prodotto) resta individuato da questi un unico punto $C=m_1P_1+...+m_nP_n$ che prende il nome di combinazione affine dei punti $P_k$ a coefficienti $m_k$.
Ok, direi che può bastare. E' un argomento molto interessante che trovi spiegato ottimamente sul Gallier, ma che sicuramente verrà affrontato nel dettaglio nei tuoi corsi universitari.
Visto che ti stai interessando alla questione "combinazioni affini e convesse", ti propongo un link che possibilmente ti piacerà:
http://www.tanyakhovanova.com/coffins.html
E' il sito della matematica russa Tanya Khovanova. Si parla di coffin problems: problemi apparentemente semplici, ma in realtà molto difficili, che gli esaminatori sovietici proponevano agli studenti sgraditi per poterli espellere dalle loro Università. Nella pagina linkata c'è un sample problem, il 31-esimo. E' un problema di geometria solida, risolubile appunto facendo ricorso al concetto di "centro di massa". Se hai tempo lo puoi consultare, tanto per avere un assaggio della potenza geometrica di questo concetto.
http://www.tanyakhovanova.com/coffins.html
E' il sito della matematica russa Tanya Khovanova. Si parla di coffin problems: problemi apparentemente semplici, ma in realtà molto difficili, che gli esaminatori sovietici proponevano agli studenti sgraditi per poterli espellere dalle loro Università. Nella pagina linkata c'è un sample problem, il 31-esimo. E' un problema di geometria solida, risolubile appunto facendo ricorso al concetto di "centro di massa". Se hai tempo lo puoi consultare, tanto per avere un assaggio della potenza geometrica di questo concetto.
Ti ringrazio molto ancora una volta, dissonance.
Ah ok, grazie per la fondamentale precisazione.
Non me ne parlare
Sto studiando Fisica I, oggi ho proprio visto la lezione sul centro di massa, sul suo moto etc... Ah come preferisco la matematica!
Si, ho capito.
Molto esauriente, davvero. Ora sono stanco e penso andrò a dormire ma sicuramente domani pomeriggio darò uno sguardo al Gallier con calma e mi leggerò il capitolo che mi dici. Una curiosità ancora se posso: quando si studiano questi argomenti? Geometria 2?
Grazie ancora.
P.S. Ti ringrazio anche per l'altro link, che mi pare molto bello.
Per davvero ? Wow, allucinante...
Avrei qualche collega da spedire in Russia
(si scherza ovviamente)
Grazie ancora
"dissonance":Se non sbaglio, si chiamano combinazioni lineari convesse (le citò una volta il prof d'analisi), dico bene?Dici quasi bene. Intanto le combinazioni lineari convesse sono, appunto, combinazioni lineari che si formano negli spazi vettoriali: se $V$ è uno spazio vettoriale reale (o anche complesso se vuoi), $v_1 \ldots v_n$ sono vettori e $lambda_1\ldots lambda_n$ sono scalari positivi la cui somma è $1$, allora la combinazione lineare $lambda_1 v_1+\ldots+lambda_n v_n$ prende il nome di combinazione lineare convessa.
Ah ok, grazie per la fondamentale precisazione.
Questo concetto è fisicamente importante perché se prendi $P_1 \ldots P_n$ punti nello spazio fisico (che è il prototipo di spazio affine) e piazzi in ogni punto una massa $m_1 \ldots m_n$ (eventualmente una massa nulla, ma mai una massa negativa che non ha significato fisico) , come sai resta individuato un unico punto dello spazio che si chiama centro di massa e il cui vettore di posizione rispetto ad una origine $O$ è
$vec {OC}= sum_{k=1}^n (\frac{m_k}{sum_{j=1}^n m_j})\vec{OP_k}$;
(remark: il vettore di posizione dipende dalla scelta di $O$ ma il punto $C$ no)
e puoi vedere facilmente che si tratta di una combinazione lineare convessa dei vettori di posizione. Se la somma $sum_{j=1}^n m_j$ fosse uguale ad $1$ (cosa che si può sempre ottenere a patto di scegliere una diversa unità di misura), scriveremmo
$vec {OC}= sum_{k=1}^n m_k\vec{OP_k}$ ;
ma, visto che il punto $C$ è individuato univocamente dai punti $P_k$ e dalle masse $m_k$, tanto vale scrivere
$C=m_1P_1+...+m_nP_n$.
Non me ne parlare
Sto studiando Fisica I, oggi ho proprio visto la lezione sul centro di massa, sul suo moto etc... Ah come preferisco la matematica!
E qui finisce la Fisica, ma attacca la Geometria. Infatti questa idea viene ripresa in un generico spazio affine (reale o complesso): si dimostra che, presi punti $P_1\ldots P_n$ in uno spazio affine e associati a ciascuno di essi degli scalari $m_1 \ldots m_n$, positivi e tali che $m_1+...+m_n=1$, la combinazione convessa
$vec {OC}= sum_{k=1}^n m_k\vec{OP_k}$
dei vettori di posizione individua un unico punto dello spazio, che chiameremo combinazione convessa dei punti $P_1\ldotsP_n$ e indicheremo con
$C=m_1P_1+...+m_nP_n$.
Nel caso in cui lo spazio affine sia lo spazio fisico, la combinazione convessa viene a coincidere con il centro di massa.
Si, ho capito.
Ma adesso che ci siamo scollegati dalla realtà fisica, abbiamo maggiore libertà: perché richiedere che gli scalari $m_1\ldots m_n$ siano positivi? Non serve: anche con scalari negativi si potrebbe fare un discorso perfettamente analogo. E anzi, alzando ancora il livello di astrazione, non serve nemmeno che gli scalari siano reali. Andranno bene anche scalari in un altro campo, uno qualsiasi. Questo porta al concetto più generale di combinazione affine:
dati punti $P_1\ldotsP_n$ in uno spazio affine, e associando a ciascuno di essi scalari $m_1\ldots m_n$ tali che $m_1+...+m_n=1$ (nota che questo ha senso: in un campo puoi sommare e sicuramente esiste $1$, l'elemento neutro rispetto al prodotto) resta individuato da questi un unico punto $C=m_1P_1+...+m_nP_n$ che prende il nome di combinazione affine dei punti $P_k$ a coefficienti $m_k$.
Ok, direi che può bastare. E' un argomento molto interessante che trovi spiegato ottimamente sul Gallier, ma che sicuramente verrà affrontato nel dettaglio nei tuoi corsi universitari.
Molto esauriente, davvero. Ora sono stanco e penso andrò a dormire ma sicuramente domani pomeriggio darò uno sguardo al Gallier con calma e mi leggerò il capitolo che mi dici. Una curiosità ancora se posso: quando si studiano questi argomenti? Geometria 2?
Grazie ancora.
P.S. Ti ringrazio anche per l'altro link, che mi pare molto bello.
"dissonance":
E' il sito della matematica russa Tanya Khovanova. Si parla di coffin problems: problemi apparentemente semplici, ma in realtà molto difficili, che gli esaminatori sovietici proponevano agli studenti sgraditi per poterli espellere dalle loro Università.
Per davvero
? Wow, allucinante... Avrei qualche collega da spedire in Russia
(si scherza ovviamente)
Grazie ancora
"Paolo90":Eh, ti capisco! Ma è un errore snobbare la Fisica, come pure tutte le discipline applicate. Io l'ho fatto questo errore, nel mio corso di studi, ecco perché ne parlo con cognizione di causa. Prendi questo argomento, così tra l'altro non andiamo OT. Si potrebbe benissimo studiare in modo astratto:
Non me ne parlare
Sto studiando Fisica I, oggi ho proprio visto la lezione sul centro di massa, sul suo moto etc... Ah come preferisco la matematica!
Definizione. Sia $A$ uno spazio affine su uno spazio vettoriale $V$ e un campo $K$. Dati punti $P_1...P_n$ e scalari $m_1...m_n$ tali che $m_1+...+m_n=1$ definiamo combinazione affine blablabla.
Teorema 1. La combinazione affine verifica questo e quello.
Dimostrazione del teorema 1.
Teorema 2.
Eccetera. Ora un lettore non lobotomizzato si porrà le domande: si ok ma da dove viene fuori questa nozione? perché la somma degli scalari deve essere proprio $1$? come visualizzare intuitivamente tutto questo? Se uno conosce il concetto di centro di massa, gli verrà in mente e si accenderanno molte lampadine. Altrimenti, dovrà spendere molto tempo e molte energie mentali per trovare le risposte.
Molto esauriente, davvero. Ora sono stanco e penso andrò a dormire ma sicuramente domani pomeriggio darò uno sguardo al Gallier con calma e mi leggerò il capitolo che mi dici. Una curiosità ancora se posso: quando si studiano questi argomenti? Geometria 2?Questo dipende dal programma dei tuoi corsi. Fa parte del capitolo "Geometria affine" che dovrebbe essere secondo semestre del primo anno, grossomodo. Però ora che ci penso non tutti i testi usano le combinazioni affini come strumento principale, cosa che fa Gallier. Che riferimenti bibliografici ha lasciato il tuo professore di Geometria?
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