Spazi vettoriali,dubbi per l'esame
Salve a tutti inizio con scusarmi con il forum per il fatto che sono sparito per un certo periodo a causa del trasloco.Tralasciando questo avrei alcune domande fa farvi per l'esame di domani che vorrei passare
1)Io ho un ${(u,u^2,u+v):u,v e R$} come faccio a verificare che è un sottospazio?..Il problema è che vorrei portarlo in una forma del tipo ${(x,y,z):equazio}$ho un modo per risolverlo?
----------------
2)Come faccio a verificare che dei determinati vettori generano R3
3)Come faccio a vedere se sono linearmente indipendenti?
Vi prego aiutatemi vi ringrazio molte...
1)Io ho un ${(u,u^2,u+v):u,v e R$} come faccio a verificare che è un sottospazio?..Il problema è che vorrei portarlo in una forma del tipo ${(x,y,z):equazio}$ho un modo per risolverlo?
----------------
2)Come faccio a verificare che dei determinati vettori generano R3
3)Come faccio a vedere se sono linearmente indipendenti?
Vi prego aiutatemi vi ringrazio molte...
Risposte
1) Io non credo che quello sia un sottospazio. Secondo la definizione, prendendo $u=1, v=0$, ottieni il vettore $((1),(1),(1))$. Se fosse un $\mathbb{R}$-sottospazio vettoriale di $\mathbb{R}^3$, dovresti avere che i multipli di questo vettore stanno ancora nel sottospazio. Tuttavia $-1*((1),(1),(1))=((-1),(-1),(-1))$ non ci sta, perché non esiste, in $\mathbb{R}$, alcun $u$ tale che $u^2=-1$.
In generale, per vedere che un insieme $S$ è un sottospazio vettoriale del $\mathbb{K}$-spazio vettoriale $V$ devi mostrare che
a) $0\in S$
b) presi due generici $a,b\in S$ si ha $a+b\in S$
c) preso due generici $\lambda\in\mathbb{K},a\in S$ si ha $\lambda a\in S$
2) Li metti come righe o colonne di una matrice e verifichi che essa abbia rango $3=dim(\mathbb{R}^3)$
3) Per vedere se $k$ vettori sono linearmente indipendenti, li metti come righe di una matrice (che può anche non venire quadrata, naturalmente) e verifichi che essa abbia rango $k$.
Paola
In generale, per vedere che un insieme $S$ è un sottospazio vettoriale del $\mathbb{K}$-spazio vettoriale $V$ devi mostrare che
a) $0\in S$
b) presi due generici $a,b\in S$ si ha $a+b\in S$
c) preso due generici $\lambda\in\mathbb{K},a\in S$ si ha $\lambda a\in S$
2) Li metti come righe o colonne di una matrice e verifichi che essa abbia rango $3=dim(\mathbb{R}^3)$
3) Per vedere se $k$ vettori sono linearmente indipendenti, li metti come righe di una matrice (che può anche non venire quadrata, naturalmente) e verifichi che essa abbia rango $k$.
Paola
Grazie mille per la risposta tempestiva..Veramente...
Avrei un'altra domanda se posso approfittare ancora della disponibilità..
Come faccio a fare il passaggio da cartesiano a parametrico di questo sottospazio?
$V={(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5):x_1+2x_2+x_3=0,x_3-x_4=0}$con una sola equazione è semplice ma con 2 non so come iniziare..Grazie mille ancora
Avrei un'altra domanda se posso approfittare ancora della disponibilità..
Come faccio a fare il passaggio da cartesiano a parametrico di questo sottospazio?
$V={(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5):x_1+2x_2+x_3=0,x_3-x_4=0}$con una sola equazione è semplice ma con 2 non so come iniziare..Grazie mille ancora
Il procedimento standard è: ridurre il sistema a $k$ eq. indipendenti (in questo caso sei già a posto), porre arbitrariamente $n-k$ incognite uguali ad altrettanti parametri (dove $n$ è la dimensione dello spazio ambiente, 5 in questo caso) e ricavare tutte le altre in funzione dei parametri. In questo caso:
$n-k=3$
$\{(x_1=-2k-r),(x_2 = k),(x_3 = r),(x_4=r),(x_5=s):}$
dove naturalmente $k,r,s$ sono i nomi che ho dato ai parametri.
Paola
$n-k=3$
$\{(x_1=-2k-r),(x_2 = k),(x_3 = r),(x_4=r),(x_5=s):}$
dove naturalmente $k,r,s$ sono i nomi che ho dato ai parametri.
Paola
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo