Spazi vettoriali,basi,generatori
Ho il seguente esercizio:
Determinare la dimensione dello spazio $$ generato da S per ciascun insieme S proposto.
Devo considerare per primo l'insieme $S={(1,-1,2),(2,-3,3),(0,1,1)}$
Io ho ragionato così,ditemi se e dove sbaglio:
dalla traccia devo considerare lo spazio $S$ così fatto:
$S=<(1,-1,2),(2,-3,3),(0,1,1)>$
cioè lo spazio generato dai vettori sopra scritti.
innanzitutto controllo se i 3 vettori sono linearmente indipendenti:
$(1,-1,2)=alpha(2,-3,3)+beta(0,1,1)$
dal sistema ricavato da esso trovo che:
$ { ( alpha=1/2 ),( beta=1/2 ):} $
da cui deduco che i 3 vettori sono linearmente dipendenti,posso quindi riscrivere $S$ come:
$S=<(2,-3,3),(0,1,1)>$
andando a guardare i due vettori che compaiono sopra e procedendo come sopra noto che essi sono linearmente indipendenti.
Ma ora come vado a discutere la dimensione di $S$?ad occhio vedendo che ogni vettore è costituito da 3 coordinate direi che la sua dimensione è 3,ma io penso che andrebbe trovata una base per $S$ cioè un insieme di n vettori linearmente indipendenti;nel mio caso ne ho due non dovrei trovarne un terzo?se si come procedo?
datemi qualche dritta vi prego,so che magari sarà un qualcosa di banale ma evidentemente mi manca qualche meccanismo
Determinare la dimensione dello spazio $
Devo considerare per primo l'insieme $S={(1,-1,2),(2,-3,3),(0,1,1)}$
Io ho ragionato così,ditemi se e dove sbaglio:
dalla traccia devo considerare lo spazio $S$ così fatto:
$S=<(1,-1,2),(2,-3,3),(0,1,1)>$
cioè lo spazio generato dai vettori sopra scritti.
innanzitutto controllo se i 3 vettori sono linearmente indipendenti:
$(1,-1,2)=alpha(2,-3,3)+beta(0,1,1)$
dal sistema ricavato da esso trovo che:
$ { ( alpha=1/2 ),( beta=1/2 ):} $
da cui deduco che i 3 vettori sono linearmente dipendenti,posso quindi riscrivere $S$ come:
$S=<(2,-3,3),(0,1,1)>$
andando a guardare i due vettori che compaiono sopra e procedendo come sopra noto che essi sono linearmente indipendenti.
Ma ora come vado a discutere la dimensione di $S$?ad occhio vedendo che ogni vettore è costituito da 3 coordinate direi che la sua dimensione è 3,ma io penso che andrebbe trovata una base per $S$ cioè un insieme di n vettori linearmente indipendenti;nel mio caso ne ho due non dovrei trovarne un terzo?se si come procedo?
datemi qualche dritta vi prego,so che magari sarà un qualcosa di banale ma evidentemente mi manca qualche meccanismo
Risposte
per trovare il terzo vettore ho ragionato così:
ragionando riguardo i sistemi lineari ho pensato che la matrice dei coefficienti:
$ A= ( ( 2 , -3 , 3 ),( 0 , 1 , 1 ) ) $
ha $rang A=2$ poichè il minore $ A'=( ( 2 , -3 ),( 0 , 1 ) ) $ ha determinante non nullo.
quindi per Rochè-Capelli affichè nn vi siano soluzioni e quindi il terzo vettore generico $(a,b,c)$ sia linearmente indipendente con gli altri due,deve essere il rango della matrice completa diverso da due,quindi 3:
$A^c= ( ( a , b , c ),( 2 , -3 , 3 ),( 0 , 1 , 1 ) ) $
quindi il suo determinate deve essere diverso da zero:
$-6a-2b+2c!=0 --> c!=3a+b$
quindi il terzo vettore sarà un qualsiasi vettore del tipo:
$(a,b,c)$ con a$,b,c in R$ e $c!=3a+b$
un caso particolare può essere il vettore $(1,2,6)$
ditemi se c'èq ualcosa di sbagliato sull'ultimo procedimento o riguardo il post precedente...grazie!
ragionando riguardo i sistemi lineari ho pensato che la matrice dei coefficienti:
$ A= ( ( 2 , -3 , 3 ),( 0 , 1 , 1 ) ) $
ha $rang A=2$ poichè il minore $ A'=( ( 2 , -3 ),( 0 , 1 ) ) $ ha determinante non nullo.
quindi per Rochè-Capelli affichè nn vi siano soluzioni e quindi il terzo vettore generico $(a,b,c)$ sia linearmente indipendente con gli altri due,deve essere il rango della matrice completa diverso da due,quindi 3:
$A^c= ( ( a , b , c ),( 2 , -3 , 3 ),( 0 , 1 , 1 ) ) $
quindi il suo determinate deve essere diverso da zero:
$-6a-2b+2c!=0 --> c!=3a+b$
quindi il terzo vettore sarà un qualsiasi vettore del tipo:
$(a,b,c)$ con a$,b,c in R$ e $c!=3a+b$
un caso particolare può essere il vettore $(1,2,6)$
ditemi se c'èq ualcosa di sbagliato sull'ultimo procedimento o riguardo il post precedente...grazie!
non risponde nessuno?
Non vorrei sbagliarmi, però se i tre vettori sono lin. dipendenti, allora la dimensione è $2$, e una possibile base è ${(2,-3,3),(0,1,1)}$
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