Spazi vettoriali su corpi
Ragazzi ovviamente se un campo vettoriale è definito su di un campo banalmente è bilatero, ma vale il viceversa?
Risposte
Ovviamente no, basta che tu consideri un corpo non commutativo come modulo su sé stesso!
Oppure non ho capito la domanda!?
Oppure non ho capito la domanda!?
Ammesso che un campo vettoriale sia questo (è così?), cos'è un campo vettoriale bilatero? Su wikipedia non trovo niente.
Modifico: Ok, penso che Armando abbia ragione, intendi moduli (ma allora perché scrivi "spazi vettoriali"?). A quanto ne so un modulo si dice bilatero se l'anello sotto è commutativo. Quindi non capisco la tua domanda.
Modifico: Ok, penso che Armando abbia ragione, intendi moduli (ma allora perché scrivi "spazi vettoriali"?). A quanto ne so un modulo si dice bilatero se l'anello sotto è commutativo. Quindi non capisco la tua domanda.
No ragazzi non so cosa sia un modulo! :O
Quello che intendo è una struttua fatta da una quaterna $ (V,+,*,K) $ dove $(V,+)$ è un gruppo abeliano $*$ è un operazione esterna con operatori in $K$ e dove $K$ è però un corpo e devono valere alcune proprietà sulla dstributività, se volete le scrivo. Ora ovviamente che succede che posso definire uno spazio vettoriale che può essere sinistro o destro, se è sia sinistro che destro si dice bilatero. Non so se sono stato chiaro!
Quello che intendo è una struttua fatta da una quaterna $ (V,+,*,K) $ dove $(V,+)$ è un gruppo abeliano $*$ è un operazione esterna con operatori in $K$ e dove $K$ è però un corpo e devono valere alcune proprietà sulla dstributività, se volete le scrivo. Ora ovviamente che succede che posso definire uno spazio vettoriale che può essere sinistro o destro, se è sia sinistro che destro si dice bilatero. Non so se sono stato chiaro!
[xdom="Martino"]Sposto in Algebra Lineare. Attenzione alla sezione in futuro, grazie.[/xdom]
Pensavo stesse meglio qui!
Se conosci gli spazi vettoriali puoi tranquillamente studiare la definizione di modulo su un anello; inoltre, ciò che puoi fare coi moduli destri lo puoi fare coi moduli sinistri, in particolare puoi definire dei modulo che a seconda della notazione utilizzata risultano destri oppure sinistri.
In questo momento mi viene in mente solo un esempio con le varietà differenziabili di cui mi astengo, per adesso, dall'esporlo!
In questo momento mi viene in mente solo un esempio con le varietà differenziabili
di cui mi astengo, per adesso, dall'esporlo!
Capisco! 
Grazie!
Grazie!
"Mrhaha":Cerco di interpretare la domanda. Tu hai per esempio uno spazio vettoriale sinistro [tex]V[/tex] sul corpo (skew field, anello con divisione, division ring) [tex]C[/tex] e a questo [tex]V[/tex] dai anche una struttura di spazio vettoriale destro sempre su [tex]C[/tex] (che a priori è del tutto scollegata dall'azione da sinistra).
Ragazzi ovviamente se un campo vettoriale è definito su di un campo banalmente è bilatero, ma vale il viceversa?
Ora, correggimi se sbaglio, tu chiedi se è vero che [tex]vc=cv[/tex] per ogni [tex]v \in V[/tex], [tex]c \in C[/tex]. Beh, in generale no, per l'esempio che ti ha fatto Armando: se prendi [tex]V=C[/tex] con le due azioni ovvie di moltiplicazione ottieni un controesempio.
Ma non credo che questo chiarisca i tuoi dubbi, ed è per questo che non capisco la tua domanda.
L'essere sinistro significa questo:
Prendiamo $C$ corpo e $(V,+)$ gruppo abeliano e "*" una moltiplicazione esterna, se valgono le seguenti:
(i) $(a+b)u=au+bu$
(ii) $a(u+v)=au+av$
(iii) Se $1$ è l'elemente identico del corpo si ha $1*u=u$
(iv) Se a(bu)=(ab)u
se valgono per ogni $a,b$ in $C$ e per ogni $u,v$ in $V$, allora la struttura $(V,+,*,C)$ è detta spazio vettoriale sinistro. Parliamo invece di destro se valgono tutte le precedenti sostituendo alla (iv) questa:
$(ua)b=u(ab)$ e questo deve valere per ogni $u in V$ e per ogni $a,e in C$. Quindi non chiedo quello che chiedi tu Martino, ma che $(ab)u=u(ab)$ giusto?
Prendiamo $C$ corpo e $(V,+)$ gruppo abeliano e "*" una moltiplicazione esterna, se valgono le seguenti:
(i) $(a+b)u=au+bu$
(ii) $a(u+v)=au+av$
(iii) Se $1$ è l'elemente identico del corpo si ha $1*u=u$
(iv) Se a(bu)=(ab)u
se valgono per ogni $a,b$ in $C$ e per ogni $u,v$ in $V$, allora la struttura $(V,+,*,C)$ è detta spazio vettoriale sinistro. Parliamo invece di destro se valgono tutte le precedenti sostituendo alla (iv) questa:
$(ua)b=u(ab)$ e questo deve valere per ogni $u in V$ e per ogni $a,e in C$. Quindi non chiedo quello che chiedi tu Martino, ma che $(ab)u=u(ab)$ giusto?
Nella (iii) intendo elemento identico del corpo rispetto al prodotto!
"Mrhaha":Questa uguaglianza è in generale falsa per l'esempio che ti ha fatto j18eos. Cerco di esplicitarlo. Prendi [tex]C[/tex] corpo non commutativo e prendi [tex]V=C[/tex]. Considera le due strutture naturali di spazio vettoriale di [tex]C[/tex] su se stesso (moltiplicazione da sinistra e moltiplicazione da destra). Prendi [tex]a,u \in C[/tex] tali che [tex]au \neq ua[/tex] e prendi [tex]b=1[/tex]. Allora ovviamente [tex](ab)u \neq u(ab)[/tex]. Questo risponde alla tua domanda?
non chiedo quello che chiedi tu Martino, ma che $(ab)u=u(ab)$
Ragazzi ovviamente se un campo vettoriale è definito su di un campo banalmente è bilatero, ma vale il viceversa?Sembra che consideri l'essere "bilatero" una proprietà intrinseca di uno spazio vettoriale. Non è così: non puoi aspettarti compatibilità tra due azioni (destra e sinistra) che sono a priori del tutto casuali e scorrelate. Se vuoi della compatibilità la devi richiedere tu.
Forse per te uno spazio vettoriale bilatero è un gruppo abeliano [tex](V,+)[/tex] dotato di struttura di spazio vettoriale a sinistra e di spazio vettoriale a destra su uno stesso corpo [tex]C[/tex] con la proprietà di compatibilità seguente: [tex]av=va[/tex] per ogni [tex]a \in C[/tex], [tex]v \in V[/tex] (osserva però che questa richiesta di compatibilità è priva di interesse perché fa degenerare la definizione). Se questo è quello che intendi, allora è vero che [tex]C[/tex] risulta essere commutativo, infatti dati [tex]a,b \in C[/tex] e [tex]v \in V[/tex] diverso da 0 si ha [tex](ab)v = a(bv) = (bv)a = b(va) = (ba)v[/tex] e quindi [tex](ab-ba)v=0[/tex], da cui [tex]ab=ba[/tex] (se non fosse così si potrebbe moltiplicare a sinistra per l'inverso di [tex]ab-ba[/tex] ottenendo [tex]v=0[/tex]).
Certo, ora mi è chiaro! Martino avevo un attimino confuso la definizione stessa! L'errore che facevo ero considerarla come dicevi tu una proprietà intrinseca! Grazie ad entrambi!
Prego Ferdinando.
E grazie anche a te Martino, che ho memorizzato una nuova denominazione.
E grazie anche a te Martino, che ho memorizzato una nuova denominazione.
Prego Ferdinando, ciao!
@Armando: skew field?
@Armando: skew field?
Yes, it is!
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