Spazi vettoriali su campi
Problema n.2
Si considerino l'insieme dei numeri razionali Q, l'insieme dei numeri reali Re l'insieme dei numeri complessi C, dotati delle usuali operazioni di somma e prodotto che rendono tali insiemi dei campi.Dire, giustificando adeguatamente la risposta, se le seguenti affermazioni sono vere oppure false:1. R è uno spazio vettoriale sul campo Q,2. Q e uno spazio vettoriale sul campo R,3. Q è uno spazio vettoriale sul campo Q,4. C è uno spazio vettoriale sul campo R.
Cosa vuol dire uno spazio vettoriale su un campo?
Si considerino l'insieme dei numeri razionali Q, l'insieme dei numeri reali Re l'insieme dei numeri complessi C, dotati delle usuali operazioni di somma e prodotto che rendono tali insiemi dei campi.Dire, giustificando adeguatamente la risposta, se le seguenti affermazioni sono vere oppure false:1. R è uno spazio vettoriale sul campo Q,2. Q e uno spazio vettoriale sul campo R,3. Q è uno spazio vettoriale sul campo Q,4. C è uno spazio vettoriale sul campo R.
Cosa vuol dire uno spazio vettoriale su un campo?
Risposte
Se $\mathbb{F}$ e' un campo, uno spazio vettoriale $V$ su $\mathbb{F}$ e' un insieme $V$ che soddisfa gli assiomi di uno spazio vettoriale in cui, come campo degli scalari, prendi proprio $\mathbb{F}$; piu' precisamente e' definita una operazione di prodotto (per scalare) tra gli elementi del tuo insieme $V$ e gli elementi di $\mathbb{F}$ che restituisce elementi di $V$.
Ah ho capito, però non capisco come rispondere alla domanda Dell esercizio, io ho fatto solo definizione di campo e spazi vettoriale e non capisco come numericizzare il tutto....
Aspetta forse ho capito allora r su q è spazio vettoriale perché r*q=r,
Q su r non è spazio vettoriale perché sempre per lo stesso motivo,
q su q lo è q*q=q ,ho un dubbio per l'ultimo:c su q è uguale a c giusto?
Q su r non è spazio vettoriale perché sempre per lo stesso motivo,
q su q lo è q*q=q ,ho un dubbio per l'ultimo:c su q è uguale a c giusto?
Considerando che l'esercizio chiede di "giustificare adeguatamente la risposta", quello che hai scritto risolve poco o nulla.
Comunque l'idea sembra giusta, devi solo provare a formalizzare il procedimento dando un senso generale alla cosa. Provo a farlo io con il primo caso:
$\mathbb{R}$ e' uno spazio vettoriale su $\mathbb{Q}$, con la moltiplicazione per scalare definita come segue: se $q \in \mathbb{Q}$ e $r \in \mathbb{R}$, allora definisco $q \cdot r = qr$ (intendendo a sinistra il prodotto che definisce la struttura di spazio vettoriale e a destra il prodotto tra due elementi di $\mathbb{R}$, visto che $q\in \mathbb{Q}$ implica $q \in \mathbb{R}$). E' facile osservare che questa operazione, insieme alla naturale operazione di somma in $\mathbb{R}$ definisce su $\mathbb{R}$ una struttura di spazio vettoriale su $\mathbb{Q}$.
Con un ragionamento analogo si risolvono anche gli altri casi.
Comunque l'idea sembra giusta, devi solo provare a formalizzare il procedimento dando un senso generale alla cosa. Provo a farlo io con il primo caso:
$\mathbb{R}$ e' uno spazio vettoriale su $\mathbb{Q}$, con la moltiplicazione per scalare definita come segue: se $q \in \mathbb{Q}$ e $r \in \mathbb{R}$, allora definisco $q \cdot r = qr$ (intendendo a sinistra il prodotto che definisce la struttura di spazio vettoriale e a destra il prodotto tra due elementi di $\mathbb{R}$, visto che $q\in \mathbb{Q}$ implica $q \in \mathbb{R}$). E' facile osservare che questa operazione, insieme alla naturale operazione di somma in $\mathbb{R}$ definisce su $\mathbb{R}$ una struttura di spazio vettoriale su $\mathbb{Q}$.
Con un ragionamento analogo si risolvono anche gli altri casi.
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