Spazi vettoriali e polinomi
Oggi la lezione di geometria ha avuto come argomento gli spazi vettoriali; durante la lezione tutto a posto; mentre stavo nella metropolitana mi è balenata per la mente questa brillante ca***ta.
Allora: come esempio di spazio vettoriale il professore ha portato (tra glia altri e solo accennandolo) $RR[x;y]$, volendo indicare con questo simbolo l'insieme dei polinomi nelle variabili $x$ e $y$ a coefficienti in $RR$. Nella metropolitana, non so perchè, sarà stata l'aria che si respira nel "sottosuolo", ho pensato questa cosa: siccome i coefficienti sono presi in $RR$ allora, il generico polinomio $alphax+betay+gamma$ lo posso anche prendere con $beta=0$ nel qual caso esso si riduce al polinomio $alphax+gamma$, quindi $RR[x;y]$ include anche i polinomi in una sola variabile: possibile?!
Inizialmente mi è sembrata scontata questa cosa: ho il polinomio $alphax+betay+gamma$ se è $alpha=0$ allora il polinomio di due variabili diventa un polinomio di una sola variabile, e la stessa cosa succede se $beta=0$: quindi $RR[x;y]$ comprende sia quelli di due variabili sia quelli di una e io posso fare uno spazio vettoriale sommando polinomi di una variabile con polinomi di due variabili.
Poi però mi son detto: i polinomi sono anche funzioni, quindi se dice che per $beta=0$ il polinomio $alphax+betay+gamma$ è uguale al polinomio $alphax+gamma$ allora sto dicendo che le funzioni che loro rappresentano sono uguali, cosa non vera: il codominio è lo stesso, i conti danno gli stessi risultati, ma il primo è una funzione sulle coppie, il secondo su elementi singoli.
Quindi, a questo punto, la domanda è: il polinomio in due variabili $alphax+0y+gamma$ è la stessa cosa del polinomio in una variabile $alphax+gamma$ con $alpha$ e $gamma$ uguali nelle due espressioni, cioè $RR[x;y]$ raccoglie sia i polinomi di una variabile che quelli di due?
Allora: come esempio di spazio vettoriale il professore ha portato (tra glia altri e solo accennandolo) $RR[x;y]$, volendo indicare con questo simbolo l'insieme dei polinomi nelle variabili $x$ e $y$ a coefficienti in $RR$. Nella metropolitana, non so perchè, sarà stata l'aria che si respira nel "sottosuolo", ho pensato questa cosa: siccome i coefficienti sono presi in $RR$ allora, il generico polinomio $alphax+betay+gamma$ lo posso anche prendere con $beta=0$ nel qual caso esso si riduce al polinomio $alphax+gamma$, quindi $RR[x;y]$ include anche i polinomi in una sola variabile: possibile?!
Inizialmente mi è sembrata scontata questa cosa: ho il polinomio $alphax+betay+gamma$ se è $alpha=0$ allora il polinomio di due variabili diventa un polinomio di una sola variabile, e la stessa cosa succede se $beta=0$: quindi $RR[x;y]$ comprende sia quelli di due variabili sia quelli di una e io posso fare uno spazio vettoriale sommando polinomi di una variabile con polinomi di due variabili.
Poi però mi son detto: i polinomi sono anche funzioni, quindi se dice che per $beta=0$ il polinomio $alphax+betay+gamma$ è uguale al polinomio $alphax+gamma$ allora sto dicendo che le funzioni che loro rappresentano sono uguali, cosa non vera: il codominio è lo stesso, i conti danno gli stessi risultati, ma il primo è una funzione sulle coppie, il secondo su elementi singoli.
Quindi, a questo punto, la domanda è: il polinomio in due variabili $alphax+0y+gamma$ è la stessa cosa del polinomio in una variabile $alphax+gamma$ con $alpha$ e $gamma$ uguali nelle due espressioni, cioè $RR[x;y]$ raccoglie sia i polinomi di una variabile che quelli di due?
Risposte
E' un abuso di linguaggio dire che $RR[x,y]$ raccoglie anche i polinomi di una variabile, ma il senso e' quello, ovviamente, ponendo $\beta=0$.
ps: occhio alla specializzazione del prof che hai di fronte quando dici che i polinomi sono funzioni
.
ps: occhio alla specializzazione del prof che hai di fronte quando dici che i polinomi sono funzioni
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"TomSawyer":
E' un abuso di linguaggio dire che $RR[x,y]$ raccoglie anche i polinomi di una variabile, ma il senso e' quello, ovviamente, ponendo $\beta=0$.
Quindi formalmente un polinomio di due variabili del tipo $alphax+0y+gamma$ non è uguale al polinomio $alphax+gamma$? Il primo ha due variabili mentre il secondo una sola e il trucco sta nel fatto che quello in due variabili è "travestito" da polinomio in una variabile?
"tomSawyer":
ps: occhio alla specializzazione del prof che hai di fronte quando dici che i polinomi sono funzioni
Perdonami ma non l'ho capita
"WiZaRd":
Poi però mi son detto: i polinomi sono anche funzioni, quindi se dice che per $beta=0$ il polinomio $alphax+betay+gamma$ è uguale al polinomio $alphax+gamma$ allora sto dicendo che le funzioni che loro rappresentano sono uguali, cosa non vera: il codominio è lo stesso, i conti danno gli stessi risultati, ma il primo è una funzione sulle coppie, il secondo su elementi singoli.
Non sono d'accordo: cos'ha che non va, per esempio, la funzione $RR^2 \to RR$, $(x,y) \mapsto x+1$ ?
Un polinomio non identifica una funzione, per avere una funzione bisogna specificare dominio e codominio.
"Martino":
[quote="WiZaRd"]Poi però mi son detto: i polinomi sono anche funzioni, quindi se dice che per $beta=0$ il polinomio $alphax+betay+gamma$ è uguale al polinomio $alphax+gamma$ allora sto dicendo che le funzioni che loro rappresentano sono uguali, cosa non vera: il codominio è lo stesso, i conti danno gli stessi risultati, ma il primo è una funzione sulle coppie, il secondo su elementi singoli.
Non sono d'accordo: cos'ha che non va, per esempio, la funzione $RR^2 \to RR$, $(x,y) \mapsto x+1$ ?
Un polinomio non identifica una funzione, per avere una funzione bisogna specificare dominio e codominio.[/quote]
Effettivamente hai ragione.
Ma continuo a non capire:
1) Un polinomio di una variabile $alphax+gamma$ e un polinomio di due variabili $alphax+0y+gamma$ sono proprio lo stesso polinomio?
2) $RR[x,y]$ raccoglie anche quelli di una variabile se $alphax+gamma$ e $alphax+0y+gamma$ sono proprio uguali? E a questo punto non sarebbe più corretto parlare di $RR[x,y]$ come dell'insieme dei polinomio in una variabile ($x$ o $y$) o in due variabili $x$ e $y$)?
"WiZaRd":
1) Un polinomio di una variabile $alphax+gamma$ e un polinomio di due variabili $alphax+0y+gamma$ sono proprio lo stesso polinomio?
2) $RR[x,y]$ raccoglie anche quelli di una variabile se $alphax+gamma$ e $alphax+0y+gamma$ sono proprio uguali? E a questo punto non sarebbe più corretto parlare di $RR[x,y]$ come dell'insieme dei polinomio in una variabile ($x$ o $y$) o in due variabili $x$ e $y$)?
1) Non è formalmente esatto dire che sono uguali, però sono identificabili.
2) Non è che $RR[X,Y]$ "contiene" i polinomi in una variabile, ma piuttosto $RR[X]$ si identifica in modo canonico con l'insieme che consiste di quei polinomi di $RR[X,Y]$ che hanno il coefficiente di $y^i$ uguale a zero per ogni i.
Detto questo, probabilmente potresti domandarti: ma che cos'è un polinomio? (non è semplice trovare una risposta esauriente
)
"Martino":
1) Non è formalmente esatto dire che sono uguali, però sono identificabili.
Quindi non sbaglio se dico che, volendo essere rigorosi fino alla nausea, il polinomio in due variabili $alphax+0y+gamma$ non è uguale al polinomio in una variabile $alphax+gamma$, ma $alphax+0y+gamma$ è "travestito" da $alphax+gamma$?
"Martino":
2) Non è che $RR[X,Y]$ "contiene" i polinomi in una variabile, ma piuttosto $RR[X]$ si identifica in modo canonico con l'insieme che consiste di quei polinomi di $RR[X,Y]$ che hanno il coefficiente di $y^i$ uguale a zero per ogni i.
Quindi $RR[x,y]$ non contiene anche $RR[x]$ o $RR[y]$, ma alcuni dei polinomi di $RR[x,y]$ sono "camuffati" da polinomi di $RR[x]$ o $RR[y]$?
"Martino":
Detto questo, probabilmente potresti domandarti: ma che cos'è un polinomio? (non è semplice trovare una risposta esauriente
Tu cosa proponi come definizione?
Sì, puoi pensarli come "camuffati" (anche se io preferirei il termine "identificati", ma poco importa).
Tu cosa proponi come definizione?[/quote]
La definizione che preferisco è la seguente:
Un polinomio in n variabili a coefficienti in $RR$ è una funzione $f:\ NN^n \to RR$ tale che l'insieme $\{a \in NN^n\ |\ f(a) \ne 0\}$ sia finito.
bellissima.
"WiZaRd":
[quote="Martino"]
Detto questo, probabilmente potresti domandarti: ma che cos'è un polinomio? (non è semplice trovare una risposta esauriente
Tu cosa proponi come definizione?[/quote]
La definizione che preferisco è la seguente:
Un polinomio in n variabili a coefficienti in $RR$ è una funzione $f:\ NN^n \to RR$ tale che l'insieme $\{a \in NN^n\ |\ f(a) \ne 0\}$ sia finito.
bellissima.
"Martino":
Sì, puoi pensarli come "camuffati" (anche se io preferirei il termine "identificati", ma poco importa).
[quote="WiZaRd"]
[quote="Martino"]
Detto questo, probabilmente potresti domandarti: ma che cos'è un polinomio? (non è semplice trovare una risposta esauriente
Tu cosa proponi come definizione?[/quote]
La definizione che preferisco è la seguente:
Un polinomio in n variabili a coefficienti in $RR$ è una funzione $f:\ NN^n \to RR$ tale che l'insieme $\{a \in NN^n\ |\ f(a) \ne 0\}$ sia finito.
bellissima.[/quote]Sì, identificabili suona meglio.
La definizione mi piace: aggiudicata
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