Spazi vettoriali e campi vettoriali

[magliocurioso]

Uno spazio vettoriale se non sbaglio è un generico campo $K$ dove sono definite le "solite" 8 proprietà [4 per l'operato di somma e altre 4 per l'operatore di prodotto] e alla fine parecchie cose possono essere considerate come elementi di uno spazio vettoriale [vettori, matrici, polinomi, ecc ecc]. Però nel contempo anche un campo vettoriale è un qualcosa che associa ad ogni elemento di uno spazio euclideo [che se non sbaglio in senso lato è anch'esso uno spazio vettoriale] un vettore dello spazio stesso.
Forse ho fatto una confusione mostrusa ma... qual è quindi la differenza tra spazio vettoriale e campo vettoriale? C'è qualche esperto fra voi che gentilmente mi chiarisce le idee? Ringrazio anticipatamente tutti quelli che risponderanno

[dissonance]

mah, penso che l'analogia stia solo nel nome. Che io sappia "campo vettoriale" è un termine usato in fisica per indicare una funzione $RR^3\toRR^3$.

[magliocurioso]

"dissonance":mah, penso che l'analogia stia solo nel nome

Direi che l'analogia nel nome è fortissima Ma lo è anche nel significato?

[dissonance]

"magliocurioso":Uno spazio vettoriale se non sbaglio è un generico campo $K$

Forse ho capito perché ti sembra che ci sia analogia. La frase che ho riportato sopra non è corretta: uno spazio vettoriale non è mica detto che sia un campo, in senso algebrico.
Dico questo perché sinceramente "campo vettoriale" e "spazio vettoriale" sono due cose proprio diverse... La prima è una applicazione, la seconda una struttura algebrica. No, secondo me è una coincidenza che i nomi si assomiglino.

[magliocurioso]

"dissonance":La frase che ho riportato sopra non è corretta: uno spazio vettoriale non è mica detto che sia un campo, in senso algebrico

scusa, ma un campo non è una struttura algebrica nella quale sono definite le operazioni di somma e prodotto e in cui il prodotto rispetta la proprietà commutativa e l'esistenza dell'inverso?

[Studente Anonimo]

In geometria differenziale (che io sappia) un campo vettoriale su una varietà Q è una sezione della proiezione canonica $TQ to Q$, ovvero una regola che associa ad un punto un vettore tangente nel punto, cioè un elemento dello spazio tangente nel punto (quest'ultimo è uno spazio vettoriale).

@magliocurioso: attento, in uno spazio vettoriale non è definito nessun prodotto interno a priori.

[magliocurioso]

Scusate ma veniamo subito al dunque: spazi vettoriali e campi vettoriali sono o non sono la stessa cosa?

[Studente Anonimo]

"magliocurioso":Scusate ma veniamo subito al dunque: spazi vettoriali e campi vettoriali sono o non sono la stessa cosa?

No.

Secondo me la confusione nasce dal fatto che il termine "campo" vuol dire più cose. In algebra è un anello commutativo con gli inversi. Allora il campo di questo tipo lo chiamerò "campo algebrico".

Uno spazio vettoriale è un gruppo additivo abeliano dotato di un'azione compatibile di un dato campo algebrico, detta "moltiplicazione per scalare".

Un campo vettoriale su una varietà è una regola che associa ad ogni punto un vettore tangente nel punto.

Rimarco: uno spazio vettoriale non ammette un prodotto interno a priori, quindi domandarsi se uno spazio vettoriale è un campo algebrico non ha senso, a meno che non si sia già dotato in precedenza di un prodotto interno.
Rimarco: campo algebrico e campo vettoriale sono due cose distinte e non paragonabili.

Il fatto che per campo algebrico e campo vettoriale venga usato lo stesso termine "campo" è una coincidenza.

Un esempio di spazio vettoriale è $RR^4$.
Un esempio di campo vettoriale è una qualsiasi funzione $RR^4 to RR^4$ a entrate $C^{oo}$ se lo si vuole regolare.

[magliocurioso]

"Sergio":[quote="Martino"]Secondo me la confusione nasce dal fatto che il termine "campo" vuol dire più cose.

Infatti.
Distinguerei due "rami":
a) in algebra, un campo è la ben nota struttura algebrica;
b) in analisi (e altre cosacce che si studiano dopo), un campo è una funzione, e si distingue tra:
--- campo scalare: una funzione che associa uno scalare ad ogni punto di uno spazio;
--- campo vettoriale: una funzione che associa un vettore ad ogni punto di uno spazio;
--- campo tensoriale: una funzione che associa un tensore ad ogni punto di uno spazio[/quote]

Quindi avevo confuso un'argomento di algebra con uno di analisi [come si suol dire di tutta l'erba un fascio] Infatti c'era qualcosa che non mi tornava. Cmq GRAZIE a voi tutti, mi avete chiarito un profondo dubbio