Spazi vettoriali
Sto studiando da 2 giorni gli spazi vettoriali ripetutamente e riesco a fissare solo i concetti teorici in testa ma non riesco ad applicare nulla agli esercizi.
Vi prego aiutatemi a risolvere questi uno di questi esercizi o anche tutti sperando che io possa capire e farne altri.
1.
Si verifichi che il campo C dei numeri complessi è uno spazio vettoriale sul campo R dei numeri reali rispetto alle usuali operazioni di addizione e di moltiplicazione per un numero reale.
2.
Si verifichi che l'insieme
V={(x1, x2, x3) appartenente a Q3 | x1 + 2(x2) - 3(x3) = 0}
è uno spazio vettoriale sul campo Q dei numeri razionali rispetto alle usuali operazioni di addizione e di moltiplicazione per uno scalare.
3.
Determinare il sottospazio di R3 (R) generato dai vettori (1,2,0), (1,1,1) e (0,-1,1). Determinare inoltre la dimensione di tale sottospazio
4.
Si dimostri che, comunque si scelgano gli scalari a, b e c, i vettori (1, a, b), (0,1,c) e (0,0,1) costituiscono una base di R3 (R)[/img][/quote]
Vi prego aiutatemi a risolvere questi uno di questi esercizi o anche tutti sperando che io possa capire e farne altri.
1.
Si verifichi che il campo C dei numeri complessi è uno spazio vettoriale sul campo R dei numeri reali rispetto alle usuali operazioni di addizione e di moltiplicazione per un numero reale.
2.
Si verifichi che l'insieme
V={(x1, x2, x3) appartenente a Q3 | x1 + 2(x2) - 3(x3) = 0}
è uno spazio vettoriale sul campo Q dei numeri razionali rispetto alle usuali operazioni di addizione e di moltiplicazione per uno scalare.
3.
Determinare il sottospazio di R3 (R) generato dai vettori (1,2,0), (1,1,1) e (0,-1,1). Determinare inoltre la dimensione di tale sottospazio
4.
Si dimostri che, comunque si scelgano gli scalari a, b e c, i vettori (1, a, b), (0,1,c) e (0,0,1) costituiscono una base di R3 (R)[/img][/quote]
Risposte
Per quanto riguarda il 4 esercizio,devi dimostrare che $x_1=((1),(a),(b))$ $x_2=((0),(1),(c))$ e $x_3((0),(0),(1))$ sono linearmente indipendenti e che siano generatori di $R^3$.. Quindi devi vedere che la combinazione lineare $alphax_1+betax_2+cx_3=0$ è possibile solo se $alpha=beta=c=0$.
per il terzo esercizio,se tali vettori fossero indipendenti,genererebbero tutto $R^3$,quindi un suo sottospazio "banale". Se sono dipendenti invece, vuol dire che uno si può scrivere come combinazione degli altri due, e che gli altri due,che sono indipendenti,sono una base di un sottospazio di $R^3$ che deve soddisfare a 1 sola equazione lineare. (perchè due vettori in uno spazio tri-dimensionale)
per il terzo esercizio,se tali vettori fossero indipendenti,genererebbero tutto $R^3$,quindi un suo sottospazio "banale". Se sono dipendenti invece, vuol dire che uno si può scrivere come combinazione degli altri due, e che gli altri due,che sono indipendenti,sono una base di un sottospazio di $R^3$ che deve soddisfare a 1 sola equazione lineare. (perchè due vettori in uno spazio tri-dimensionale)
per quanto riguarda il primo devi verificare che $CC$ é
1)chiuso rispetto l'operazione di somma: $AAa,b in CC$ si ha che $a+b in CC$
2)chiuso rispetto l'operazione di moltiplicazione per un numero reale(detta anche prodotto esterno): $AA a in CC$ , $AA h in RR$ si ha che $ha in CC$
Ovviamente nel punto 1) devi verificare anche che valgono le usuali proprietà della somma e la proprietà distributiva del prodotto rispetto la somma.
1)chiuso rispetto l'operazione di somma: $AAa,b in CC$ si ha che $a+b in CC$
2)chiuso rispetto l'operazione di moltiplicazione per un numero reale(detta anche prodotto esterno): $AA a in CC$ , $AA h in RR$ si ha che $ha in CC$
Ovviamente nel punto 1) devi verificare anche che valgono le usuali proprietà della somma e la proprietà distributiva del prodotto rispetto la somma.
Scusami kekko89
puoi spiegarmi come si dimostra che i vettori x1 x2 e x3 generano l'intero spazio R3?
So che le condizioni da soddisfare per far si che una base esista sono l'indipendenza lineare dei suoi vettori e che appunto questi generino R3 per combinazione lineare.
Scusami me lo dimostri tu per favore?
puoi spiegarmi come si dimostra che i vettori x1 x2 e x3 generano l'intero spazio R3?
So che le condizioni da soddisfare per far si che una base esista sono l'indipendenza lineare dei suoi vettori e che appunto questi generino R3 per combinazione lineare.
Scusami me lo dimostri tu per favore?
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