Spazi vettoriali
Siano $S={(x,y,z) in RR^3: x-2y+2z=0}$ e $T={(x,y,z) in RR^3: -2x+y+2z=0}$ sottospazi di $RR^3$. Determinare $S nn T$.
Un vettore (x,y.z) di $RR^3$ appartiene ad $S nn T$ se, e solo se:
$(x,y,z)=a(x,y,y-x/2) + b(x,y,x-y/2)$
Sostituendo alle ultime terne due vettori qualunque rispettivamente di S e di T si ottiene:
$(x,y,z)=a(1,0,-1/2) + b(0,1,-1/2)$
Quindi si ha, infine: $(x,y,z)=(a,b,-1/2a-1/2b)$
A questo punto come continuo? L'insieme intersezione volendo me lo potrei ricavare con la relazione di Grassmann, oppure?
Grazie
Un vettore (x,y.z) di $RR^3$ appartiene ad $S nn T$ se, e solo se:
$(x,y,z)=a(x,y,y-x/2) + b(x,y,x-y/2)$
Sostituendo alle ultime terne due vettori qualunque rispettivamente di S e di T si ottiene:
$(x,y,z)=a(1,0,-1/2) + b(0,1,-1/2)$
Quindi si ha, infine: $(x,y,z)=(a,b,-1/2a-1/2b)$
A questo punto come continuo? L'insieme intersezione volendo me lo potrei ricavare con la relazione di Grassmann, oppure?
Grazie
Risposte
Rieccomi dopo aver dato altri esami. Ora mi dedico ad algebra.
Il mio problema stavolta è rivolto al calcolarmi l'equazione caratteristica di un sottospazio. Vi faccio un esempio.
$S=L(v_1,v_2)$ in cui $v_1, v_2$ vettori di $RR^3$ sono noti.
Per calcolarmi l'equazione caratteristica a partire da $v_1$ e $v_2$ mi costruisco una matrice in cui nelle prime due righe inserisco le rispettive componenti dei due vettori, e nell'ultima riga i parametri dell'equazione cercata: $x, y, z$.
Adesso riduco per righe.
Adesso mi chiedo: qual è la definizione esatta di riduzione per righe e di riduzione per colonne?
Una matrice $((1,2,1), (2,0,1), (0,1,0))$ è una matrice ridotta per righe? La definizione trovata sul mio libro è che a partire da un certo $a_(ij)$ compaiono sotto questo $a_(ij)$ solo zeri. Questo vale anche per la riduzione a colonne?
Appena trovo il quaderno vi faro' vedere l'esercizio che mi turba. In ogni caso qualcuno di voi conosce qualche link in cui è spiegato il procedimento per trovare l'equazione caratteristica di un sottospazio generato da n vettori?
Grazie, a dopo
Il mio problema stavolta è rivolto al calcolarmi l'equazione caratteristica di un sottospazio. Vi faccio un esempio.
$S=L(v_1,v_2)$ in cui $v_1, v_2$ vettori di $RR^3$ sono noti.
Per calcolarmi l'equazione caratteristica a partire da $v_1$ e $v_2$ mi costruisco una matrice in cui nelle prime due righe inserisco le rispettive componenti dei due vettori, e nell'ultima riga i parametri dell'equazione cercata: $x, y, z$.
Adesso riduco per righe.
Adesso mi chiedo: qual è la definizione esatta di riduzione per righe e di riduzione per colonne?
Una matrice $((1,2,1), (2,0,1), (0,1,0))$ è una matrice ridotta per righe? La definizione trovata sul mio libro è che a partire da un certo $a_(ij)$ compaiono sotto questo $a_(ij)$ solo zeri. Questo vale anche per la riduzione a colonne?
Appena trovo il quaderno vi faro' vedere l'esercizio che mi turba. In ogni caso qualcuno di voi conosce qualche link in cui è spiegato il procedimento per trovare l'equazione caratteristica di un sottospazio generato da n vettori?
Grazie, a dopo
Sernesi: testo avanzatissimo!
Io che sono neofita in algebra devo rafforzare prima le fondamenta...
In $RR^3$ sono dati i vettori $v_1=(2,-1,2), v_2=(-2,1,1)$. Posto $S=L(v_1,v_2)$ determinare le equazioni caratteristiche di S.
$((2,-1,2),(-2,1,1),(x,y,z)) -> ((2,-1,2), (0,0,3), (0,0,z+2y))$
[dopo varie riduzioni per righe.
Poiché i vettori della base sono due, cioè la dimensione è due, imponiamo alla matrice ridotta che abbi arango 2. Pertanto l'equ. caratteristica di S è $z+2y$.
Quadra secondo te, Sergio? (domanda rivolta a tutti of course
)
Io che sono neofita in algebra devo rafforzare prima le fondamenta...
In $RR^3$ sono dati i vettori $v_1=(2,-1,2), v_2=(-2,1,1)$. Posto $S=L(v_1,v_2)$ determinare le equazioni caratteristiche di S.
$((2,-1,2),(-2,1,1),(x,y,z)) -> ((2,-1,2), (0,0,3), (0,0,z+2y))$
[dopo varie riduzioni per righe.
Poiché i vettori della base sono due, cioè la dimensione è due, imponiamo alla matrice ridotta che abbi arango 2. Pertanto l'equ. caratteristica di S è $z+2y$.
Quadra secondo te, Sergio? (domanda rivolta a tutti of course
)
Non mi riferivo alla matrice ridotta nel dire che il Sernesi è un testo molto avanzato 
Guarda, ho provato a cercare una definizione sul web ma non si trova, eppure è citata in molti programmi accademici di algebra e geometria.
Guarda, ho provato a cercare una definizione sul web ma non si trova, eppure è citata in molti programmi accademici di algebra e geometria.
Perfetto, proprio ora ho visto che taluni lo chiamano così... a dire il vero la maggior parte dei testi.
Ora, che ci siamo intesi, è giusto quanto fatto da me per ricavarmi il polinomio o equ. caratteristica?
Ora, che ci siamo intesi, è giusto quanto fatto da me per ricavarmi il polinomio o equ. caratteristica?
Ti farò sapere meglio... Grazie Sergio
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