Spazi vettoriali
Siano $S={(x,y,z) in RR^3: x-2y+2z=0}$ e $T={(x,y,z) in RR^3: -2x+y+2z=0}$ sottospazi di $RR^3$. Determinare $S nn T$.
Un vettore (x,y.z) di $RR^3$ appartiene ad $S nn T$ se, e solo se:
$(x,y,z)=a(x,y,y-x/2) + b(x,y,x-y/2)$
Sostituendo alle ultime terne due vettori qualunque rispettivamente di S e di T si ottiene:
$(x,y,z)=a(1,0,-1/2) + b(0,1,-1/2)$
Quindi si ha, infine: $(x,y,z)=(a,b,-1/2a-1/2b)$
A questo punto come continuo? L'insieme intersezione volendo me lo potrei ricavare con la relazione di Grassmann, oppure?
Grazie
Un vettore (x,y.z) di $RR^3$ appartiene ad $S nn T$ se, e solo se:
$(x,y,z)=a(x,y,y-x/2) + b(x,y,x-y/2)$
Sostituendo alle ultime terne due vettori qualunque rispettivamente di S e di T si ottiene:
$(x,y,z)=a(1,0,-1/2) + b(0,1,-1/2)$
Quindi si ha, infine: $(x,y,z)=(a,b,-1/2a-1/2b)$
A questo punto come continuo? L'insieme intersezione volendo me lo potrei ricavare con la relazione di Grassmann, oppure?
Grazie
Risposte
In addition, avrei bisogno di un altro chiarimento:
S e T sono due sottospazi di $RR^3$ tali che
$S=<{(1,1,0), (2,1,3)}>$ e $T=<{(2,1,0), (-4,2,0)}>$. (Col simbolo <> indica i generatori, anche se non ne sono sicurissimo poiché l'eserciziario che utilizzo non chiarisce cosa intenda con quel simbolo)
Risulta evidente che il secondo generatore di T risulta essere combinazione lineare del primo. Quando mi vado a trovare un vettore qualunque del tipo (x, y, z) che appartenga a T devo agire così:
$(x,y,z)=a(2,1,0)$ escludendo il secondo vettore di T perché multiplo dell'altro. Giusto? Come si spiega cio' in maniera meno pratica e più teorica?
S e T sono due sottospazi di $RR^3$ tali che
$S=<{(1,1,0), (2,1,3)}>$ e $T=<{(2,1,0), (-4,2,0)}>$. (Col simbolo <> indica i generatori, anche se non ne sono sicurissimo poiché l'eserciziario che utilizzo non chiarisce cosa intenda con quel simbolo)
Risulta evidente che il secondo generatore di T risulta essere combinazione lineare del primo. Quando mi vado a trovare un vettore qualunque del tipo (x, y, z) che appartenga a T devo agire così:
$(x,y,z)=a(2,1,0)$ escludendo il secondo vettore di T perché multiplo dell'altro. Giusto? Come si spiega cio' in maniera meno pratica e più teorica?
Attento, stai facendo un po' di confusione 
Alt: questo che dici non va bene. Quello che hai trovato tu non è niente in particolare. Non puoi sostituire arbitrariamente dei valori di x e y. E la scrittura $(x,y,z)=a(x,y,y-x/2) + b(x,y,x-y/2)$ non c'entra molto con quello che stai facendo (dovresti distinguere le x,y del membro di sinistra con le x,y di quello di destra: non sono supposte essere le stesse!). Inoltre una combinazione lineare di un elemento di T e uno di S non produce un elemento qualunque dell'intersezione, ma un elemento qualunque del sottospazio generato da T e S.
Invece fai così: un vettore (x,y,z) sta in $S nn T$ se e solo se verifica l'equazione di S e l'equazione di T, ovvero verifica il sistema:
${(x-2y+2z=0),(-2x+y+2z=0):}$
E da qui prosegui.
Non così evidente
Controlla meglio.
"Bob_inch":
Siano $S={(x,y,z) in RR^3: x-2y+2z=0}$ e $T={(x,y,z) in RR^3: -2x+y+2z=0}$ sottospazi di $RR^3$. Determinare $S nn T$.
Un vettore (x,y.z) di $RR^3$ appartiene ad $S nn T$ se, e solo se:
$(x,y,z)=a(x,y,y-x/2) + b(x,y,x-y/2)$
Sostituendo alle ultime terne due vettori qualunque rispettivamente di S e di T si ottiene:
$(x,y,z)=a(1,0,-1/2) + b(0,1,-1/2)$
Quindi si ha, infine: $(x,y,z)=(a,b,-1/2a-1/2b)$
Alt: questo che dici non va bene. Quello che hai trovato tu non è niente in particolare. Non puoi sostituire arbitrariamente dei valori di x e y. E la scrittura $(x,y,z)=a(x,y,y-x/2) + b(x,y,x-y/2)$ non c'entra molto con quello che stai facendo (dovresti distinguere le x,y del membro di sinistra con le x,y di quello di destra: non sono supposte essere le stesse!). Inoltre una combinazione lineare di un elemento di T e uno di S non produce un elemento qualunque dell'intersezione, ma un elemento qualunque del sottospazio generato da T e S.
Invece fai così: un vettore (x,y,z) sta in $S nn T$ se e solo se verifica l'equazione di S e l'equazione di T, ovvero verifica il sistema:
${(x-2y+2z=0),(-2x+y+2z=0):}$
E da qui prosegui.
"Bob_inch":
Risulta evidente che il secondo generatore di T risulta essere combinazione lineare del primo.
Non così evidente
Controlla meglio.
"Martino":
Alt: questo che dici non va bene. Quello che hai trovato tu non è niente in particolare. Non puoi sostituire arbitrariamente dei valori di x e y. E la scrittura $(x,y,z)=a(x,y,y-x/2) + b(x,y,x-y/2)$ non c'entra molto con quello che stai facendo (dovresti distinguere le x,y del membro di sinistra con le x,y di quello di destra: non sono supposte essere le stesse!). Inoltre una combinazione lineare di un elemento di T e uno di S non produce un elemento qualunque dell'intersezione, ma un elemento qualunque del sottospazio generato da T e S.
Risolvendo il sistema mi viene un vettore del tipo $(-7/3t, -2/3t, t), t in RR$. Questo sarebbe il generico elemento appartenente a $S nn T$. No? L'esercizio è finito?
Dipendendo da un solo parametro $dim (S nn T)=1$.
"Martino":
Non così evidente
Controlla meglio.
Ho sbagliato a scrivere il secondo vettore. Era: $(-4,-2,0)$. Ti rilancio, Martino, la domanda fatta nel post precendente...
Il mio libro, Procesi Ciampi - Rota, fa le intersezioni con la seguente tecnica:
-si trova il generico vettore del primo sottospazio (in dipendenza dei parametri)
-si trova il generico vettore del secondo sottospazio (in dipendenza dei parametri)
-mette a sistema i parametri e li calcola
-così infine puo' scrivere il vettore dell'intersezione
Perfetto, tranne l'ultimissimo passaggio:
Direi piuttosto che il risultato è $((2),(2),(1))$.
In definitiva $S nn T = <((2),(2),(1))>$.
"Sergio":
$2((0),(1),(1))-((-2),(0),(1))=2((1),(0),(1))-((0),(-2),(1))=((2),(2),(0))$
Direi piuttosto che il risultato è $((2),(2),(1))$.
In definitiva $S nn T = <((2),(2),(1))>$.
Grazie Sergio e Martino! Bene, adesso ho capito
"Bob_inch":
Siano $S={(x,y,z) in RR^3: x-2y+2z=0}$ e $T={(x,y,z) in RR^3: -2x+y+2z=0}$ sottospazi di $RR^3$. Determinare $S nn T$.
E se invece in T comparisse una seconda equazione, ad es. $T={(x,y,z) in RR^3: x-y+z=0, 3x+3y-z=0}$;
Si ricavano i vettori di $RR^3$ soluzione delle due equazioni. E poi?
Si trovano due basi, una per ogni equazione.. ??
"Bob_inch":
[quote="Bob_inch"]Siano $S={(x,y,z) in RR^3: x-2y+2z=0}$ e $T={(x,y,z) in RR^3: -2x+y+2z=0}$ sottospazi di $RR^3$. Determinare $S nn T$.
E se invece in T comparisse una seconda equazione, ad es. $T={(x,y,z) in RR^3: x-y+z=0, 3x+3y-z=0}$;
Si ricavano i vettori di $RR^4$ soluzione delle due equazioni. E poi?
Si trovano due basi, una per ogni equazione.. ??[/quote]Guarda, il metodo piu indolore a mio avviso è appunto quello di mettere le equazioni a sistema. Se hai quindi
$S={(x,y,z) in RR^3: x-2y+2z=0}$
$T={(x,y,z) in RR^3: x-y+z=0, 3x+3y-z=0}$
allora semplicemente
$S nn T ={(x,y,z) in RR^3: x-2y+2z=0,\ x-y+z=0,\ 3x+3y-z=0}$
Per trovare dei generatori basta quindi che risolvi il sistema
${(x-2y+2z=0),(x-y+z=0),(3x+3y-z=0):}$
Dalla seconda $x=y-z$ e quindi dalla prima $z=y$ e allora $x=0$. Da $z=3y$ segue allora $y=z=0$, quindi in questo caso
$S nn T = {((0),(0),(0))} = <((0),(0),(0))>$
Cio' capita perché le tre equazioni sono tra loro indipendenti, ovvero la matrice dei coefficienti è invertibile.
Altrimenti, lavorando diversamente non se ne usciva più.
Ora voglio calcolarmi $S+T$. So che $S+T={s+t: s in S e t in T}$. I vettori di $S+T$ devono essere del tipo:
$(2y-2z, y, z)+(-1/3 z, 2/3 z, z)$.
Sbaglio?
La cosa che mi infastidisce dell'algebra è che non sono mai pienamente sicuro di quello che faccio. :S
Ora voglio calcolarmi $S+T$. So che $S+T={s+t: s in S e t in T}$. I vettori di $S+T$ devono essere del tipo:
$(2y-2z, y, z)+(-1/3 z, 2/3 z, z)$.
Sbaglio?
La cosa che mi infastidisce dell'algebra è che non sono mai pienamente sicuro di quello che faccio. :S
"Bob_inch":
Altrimenti, lavorando diversamente non se ne usciva più.
Ora voglio calcolarmi $S+T$. So che $S+T={s+t: s in S e t in T}$. I vettori di $S+T$ devono essere del tipo:
$(2y-2z, y, z)+(-1/3 z, 2/3 z, z)$.
Sbaglio?
Purtroppo si', sbagli.
Non puoi usare la stessa $z$ per il primo vettore e per il secondo. Devi usarne un'altra per il secondo (per esempio $w$). In base a cosa usi la stessa $z$?
In altre parole, siccome puoi scrivere ogni vettore di $S$ nella forma
$a((2),(1),(0))+b((-2),(0),(1))$
e ogni vettore di $T$ nella forma
$a((-1),(2),(3))$
allora evidentemente un vettore generico di $S+T$ sarà della forma
$a((2),(1),(0))+b((-2),(0),(1))+c((-1),(2),(3))$
(non posso usare $a$ per il terzo vettore solo perché l'ho usato sopra, perché se facessi cosi' creerei una dipendenza lineare!)
Ci sei?
Pardon, hai ragione!
Quindi $S+T$ da' tutti i vettori del tipo $(2a-2b-c,a+2c,b+3c)$, quindi di dimensione $3$.
E una sua basi si da fissando tre arbitrari valori ad a, b, c.
Stavo pensando: anche l'esercizo svolto da Sergio si sarebbe potuto fare alternativamente mettendo a sistema le due equazioni?
Ti Ringrazio Martino per la disponibilità..
Quindi $S+T$ da' tutti i vettori del tipo $(2a-2b-c,a+2c,b+3c)$, quindi di dimensione $3$.
E una sua basi si da fissando tre arbitrari valori ad a, b, c.
Stavo pensando: anche l'esercizo svolto da Sergio si sarebbe potuto fare alternativamente mettendo a sistema le due equazioni?
Ti Ringrazio Martino per la disponibilità..
"Bob_inch":
Pardon, hai ragione!
Quindi $S+T$ da' tutti i vettori del tipo $(2a-2b-c,a+2c,b+3c)$, quindi di dimensione $3$.
E una sua basi si da fissando tre arbitrari valori ad a, b, c.
Giusto. Ma bada che il fatto che la dimensione è 3 non segue dal fatto che ci sono tre parametri, ma dal fatto che se affianchi la base trovata di S a quella trovata di T ottieni una base di $RR^3$ (se vuoi lo puoi dedurre dalla formula di Grassman osservando che $dim(S)=2$, $dim(T)=1$ e $dim(S nn T)=0$).
"Bob_inch":
Stavo pensando: anche l'esercizo svolto da Sergio si sarebbe potuto fare alternativamente mettendo a sistema le due equazioni?
Certo. Ma credo che Sergio abbia fatto quel procedimento per mostrarti come si applica la tecnica illustrata dal tuo libro.
"Bob_inch":
Ti Ringrazio Martino per la disponibilità..
Prego
Bel lavoro Sergio
Dico anch'io la mia. Userò il teorema di omomorfismo, ma a mio avviso ne vale la pena, dato che permette di semplificare al massimo il concetto.
Dato un sistema lineare omogeneo con $n$ equazioni e $m$ incognite, la matrice $A$ dei coefficienti avrà allora $n$ righe e $m$ colonne. Sia $k$ un campo dove stanno i coefficienti. Allora possiamo vedere $A$ come la matrice di un'applicazione lineare $f:k^m to k^n$ nella base canonica.
Allora le soluzioni del sistema sono date esattamente dal sottospazio $ker(f)$ di $k^m$ (per definizione).
Ora il primo teorema di omomorfismo ci dice in particolare che $dim_k(ker(f))+dim_k(Im(f))=dim_k(k^m)=m$. Ma $r=dim_k(Im(f))$ è esattamente il rango della matrice $A$ (per definizione). Otteniamo allora immediatamente che lo spazio delle soluzioni ha dimensione $m-r$.
Sono davvero contento dell'esistenza dell'algebra lineare: permette di risolvere problemi come la comprensione dei sistemi lineari, che preannunciano a priori calcoli lunghi con indici da tutte le parti, in pochi acuti passaggi.
Dico anch'io la mia. Userò il teorema di omomorfismo, ma a mio avviso ne vale la pena, dato che permette di semplificare al massimo il concetto.
Dato un sistema lineare omogeneo con $n$ equazioni e $m$ incognite, la matrice $A$ dei coefficienti avrà allora $n$ righe e $m$ colonne. Sia $k$ un campo dove stanno i coefficienti. Allora possiamo vedere $A$ come la matrice di un'applicazione lineare $f:k^m to k^n$ nella base canonica.
Allora le soluzioni del sistema sono date esattamente dal sottospazio $ker(f)$ di $k^m$ (per definizione).
Ora il primo teorema di omomorfismo ci dice in particolare che $dim_k(ker(f))+dim_k(Im(f))=dim_k(k^m)=m$. Ma $r=dim_k(Im(f))$ è esattamente il rango della matrice $A$ (per definizione). Otteniamo allora immediatamente che lo spazio delle soluzioni ha dimensione $m-r$.
Sono davvero contento dell'esistenza dell'algebra lineare: permette di risolvere problemi come la comprensione dei sistemi lineari, che preannunciano a priori calcoli lunghi con indici da tutte le parti, in pochi acuti passaggi.
"Sergio":
[quote="Martino"]Bel lavoro Sergio
Grazie Maestro, ma il merito è tutto del pdf che mi avevi indicato
[/quote]Eh "maestro", non esageriamo
Non mi pare ci sia un unico approccio all'algebra lineare e mi pare, "a naso", che Bob_inch ne stia seguendo uno nel quale ancora non si è parlato di applicazioni lineari, omomorfismi, nuclei e immagini, spazi affini ecc.
Lo immagino anch'io. Infatti il mio era piu' un "appunto" che un consigliare un possibile punto di vista.
Grazie maestri! Per precisare: il rango della matrice ci fornisce il numero delle equazioni indipendenti?
Inoltre: se mi vengono dati due vettori $v_1, v_2$, e mi chiedono di ottenere le equazioni caratteristiche di $S=L(v_1,v_2)$, cosa potrei fare? Se mi ricavo il vettore risultato della combinazione lineare in funzione dei parametri a e b, come potrei continuare?
Per precisare: il rango della matrice ci fornisce il numero delle equazioni indipendenti?Inoltre: se mi vengono dati due vettori $v_1, v_2$, e mi chiedono di ottenere le equazioni caratteristiche di $S=L(v_1,v_2)$, cosa potrei fare? Se mi ricavo il vettore risultato della combinazione lineare in funzione dei parametri a e b, come potrei continuare?
Se ho inteso bene vuoi sapere come ottenere la rappresentazione cartesiana dello spazio $S$ generato dai due vettori $ v_1 , v_2 $ . ok ?
Il generico vettore $ s in S$ sarà del tipo : $ s = av_1+ bv_2 $ con $a,b in RR$ .
Faccio un esempio numerico :
sia $ v_1 =(1,0,2) ;v_2 =(3,1,5)$.
Quindi $ s = (a+3b, b,2a+5b)$ e pertanto ottengo il sistema
$x= a+3b$
$y=b$
$ z= 2a+5b$
Cerco ora di eliminare i parametri $a,b $ ed ottenere quindi una relazione tra $x,y,z$.
$x=a+3y$
$z= 2a+5y$
da cui : $ a= x-3y $ e infine sostituendo : $ z=2x-6y+5y$ e quindi in conclusione la relazione cercata è
$2x-y-z =0 $
Quindi il generico vettore $s in S $ si può rappresentare in forma cartesiana così : $s = ( x,y,2x-y)$.
Chiaramente lo spazio $S $ è di dimensione 2 , infatti ci sono 2 variabili indipendenti $ x,y $ mentre la terza $ z $ è appunto funzione di $x,y$.
Questa conclusione sulla dimensione era prevista in quanto lo spazio è formato dalle combinazioni lineari di due vettori tra loro linearmente indipendenti $ v_1,v_2 $ .[ se li accosti vedrai che il rango della matrice risultante è appunto 2 ].
Se vuoi considerare lo spazio $S$ come trasformazione lineare del generico vettore $ (x,y,z) $ allora puoi dare la rappresentazione matriciale $ A$ della trasformazione che sarà :
$A = ((1,0,0),(0,1,0),(2,-1,0)) $
in quanto $((1,0,0),(0,1,0),(2,-1,0)) ((x),(y),(z))= ((x),(y),(2x-y)) $.
Il generico vettore $ s in S$ sarà del tipo : $ s = av_1+ bv_2 $ con $a,b in RR$ .
Faccio un esempio numerico :
sia $ v_1 =(1,0,2) ;v_2 =(3,1,5)$.
Quindi $ s = (a+3b, b,2a+5b)$ e pertanto ottengo il sistema
$x= a+3b$
$y=b$
$ z= 2a+5b$
Cerco ora di eliminare i parametri $a,b $ ed ottenere quindi una relazione tra $x,y,z$.
$x=a+3y$
$z= 2a+5y$
da cui : $ a= x-3y $ e infine sostituendo : $ z=2x-6y+5y$ e quindi in conclusione la relazione cercata è
$2x-y-z =0 $
Quindi il generico vettore $s in S $ si può rappresentare in forma cartesiana così : $s = ( x,y,2x-y)$.
Chiaramente lo spazio $S $ è di dimensione 2 , infatti ci sono 2 variabili indipendenti $ x,y $ mentre la terza $ z $ è appunto funzione di $x,y$.
Questa conclusione sulla dimensione era prevista in quanto lo spazio è formato dalle combinazioni lineari di due vettori tra loro linearmente indipendenti $ v_1,v_2 $ .[ se li accosti vedrai che il rango della matrice risultante è appunto 2 ].
Se vuoi considerare lo spazio $S$ come trasformazione lineare del generico vettore $ (x,y,z) $ allora puoi dare la rappresentazione matriciale $ A$ della trasformazione che sarà :
$A = ((1,0,0),(0,1,0),(2,-1,0)) $
in quanto $((1,0,0),(0,1,0),(2,-1,0)) ((x),(y),(z))= ((x),(y),(2x-y)) $.
Rieccomi nuovamente. Ti ringrazio ex novo, Sergio. Mi sembra che tu sia più esaustivo del mio testo !
Anyway, oggi mi affligge questo:
Sia $V=L(v_1,v_2), v_1=(1,1,0,-1), v_2=(1,1,1,1) inn RR^4$. E' data l'applicazione lineare $f: V->RR^3$ tale che $f(v_1)=(1,0,-1), f(v_2)=(-1,1,0)$. Definire un'applicazione lineare $g: RR^4 -> RR^3$, estensione della $f$ a $RR^4$.
L'idea mia sarebbe di prendere una base A di $RR^4$ contenente la base B dei vettori $v_1, v_2$ e determinare le immagini dei vettori contenuti in A.
Riepilogo: prendo $v_1, v_2$ e altri due vettori di $RR^4$ in modo tale che essi siano linearmente indipendenti e quindi formino una base A di $RR^4$. Però come determino le immagini di questi due vettori?
Grazie
!Anyway, oggi mi affligge questo:
Sia $V=L(v_1,v_2), v_1=(1,1,0,-1), v_2=(1,1,1,1) inn RR^4$. E' data l'applicazione lineare $f: V->RR^3$ tale che $f(v_1)=(1,0,-1), f(v_2)=(-1,1,0)$. Definire un'applicazione lineare $g: RR^4 -> RR^3$, estensione della $f$ a $RR^4$.
L'idea mia sarebbe di prendere una base A di $RR^4$ contenente la base B dei vettori $v_1, v_2$ e determinare le immagini dei vettori contenuti in A.
Riepilogo: prendo $v_1, v_2$ e altri due vettori di $RR^4$ in modo tale che essi siano linearmente indipendenti e quindi formino una base A di $RR^4$. Però come determino le immagini di questi due vettori?
Grazie
Io non sono certo più bravo di te, però mi chiedo una cosa: questa parte è necessaria?
In fin dei conti, non posso mandare $v_3$ e $v_4$ entrambi in 0? Chiedo scusa se la domanda è una stupidata.
"Sergio":
Provo a ragionare un po' "al contrario".
Devo cercare quattro vettori di $RR^3$, sapendo che di essi solo 3 possono essere l.i.
Due li ho: $(1,0,-1)$ e $(-1,1,0)$. Un terzo, l.i. da questi, è facile da trovare.
Se costruisco una matrice che abbia per righe i due e la riduco a gradini ottengo (sommando la prima alla seconda):
$[(1,0,-1),(-1,1,0)] to [(1,0,-1),(0,1,-1)]$
quindi il terzo vettore può essere $(0,0,1)$.
In altri termini, ho così "completato la base" di $RR^3$.
In fin dei conti, non posso mandare $v_3$ e $v_4$ entrambi in 0? Chiedo scusa se la domanda è una stupidata.
Ho capito. Resta a questo punto da sapere cosa si intende per estensione di un'applicazione lineare. 
Grazie Sergio per la tempestiva risposta.
Da quanto mi hai spiegato, ho capito come devo muovermi. Ho visto la risoluzione dell'esercizio che ho postato e ... l'unica differenza riguarda il considerare fin da subito i vettori dell'insieme d'arrivo.
Avrei bisogno di due delucidazioni.
Pnt 1: per ottenere un terzo vettore l.ind. si sarebbe anche potuto impostare l'equazione vettoriale $av_1+bv_2+cv_3=O_v$. Risolvendo rispetto a v_3 e assegnando a=1, b=1, z=0, si sarebbe ottenuto il tuo medesimo risultato. Sbaglio?
Pnt 2: mi spieghi come hai ottenuto su due piedi il vettore l. dipendente $(1,1,1)$?
Grazie come sempre, la didattica italiana avrebbe bisogno di persone così.
Da quanto mi hai spiegato, ho capito come devo muovermi. Ho visto la risoluzione dell'esercizio che ho postato e ... l'unica differenza riguarda il considerare fin da subito i vettori dell'insieme d'arrivo.
Avrei bisogno di due delucidazioni.
Pnt 1: per ottenere un terzo vettore l.ind. si sarebbe anche potuto impostare l'equazione vettoriale $av_1+bv_2+cv_3=O_v$. Risolvendo rispetto a v_3 e assegnando a=1, b=1, z=0, si sarebbe ottenuto il tuo medesimo risultato. Sbaglio?
Pnt 2: mi spieghi come hai ottenuto su due piedi il vettore l. dipendente $(1,1,1)$?
Grazie come sempre, la didattica italiana avrebbe bisogno di persone così.
La riduzione è necessaria? L'obiettivo della riduzione è far spuntare più uni e zeri possibili, per avvantaggiare la facilità di calcolo. Queste riduzioni fanno rimanere invariato il rango.
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