Spazi proiettivi, domanda veloce.
Dato il $K-$spazio $V$ e la sua proiettivizzazione $P(V)$
Il punto $[v] inP(V)$ sarebbe $ -{0_v}$ no?
Perché oggi ho letto che $P(V)$ è l’insieme delle rette vettoriali di $V$ quando in realtà sono le rette si, ma private del vettore nullo.
Il punto $[v] inP(V)$ sarebbe $
Perché oggi ho letto che $P(V)$ è l’insieme delle rette vettoriali di $V$ quando in realtà sono le rette si, ma private del vettore nullo.
Risposte
No. Leggi qui http://www.scienzematematiche.it/forum/ ... =69&t=1170 la definizione 1.1 e l'osservazione subito seguente.
Madonna, quanti ricordi... avevo 21 anni *sospiro*
Non è passato molto in fondo 
Ecco appunto.
Dunque il vettore nullo non è contenuto in alcuna delle classi di equivalenza.
Ho provato a soffermarmi circa la questione del ‘considerarlo’.
Anche perché la relazione mette in mezzo vettori non nulli e scalari non nullo, quindi non vedo come possa venir considerato il vettore nullo.
Se la relazione fosse considerata su vettori qualsiasi, la relazione dovrebbe valere anche per il vettore nullo, ma come cambierebbero le cose?
Ecco appunto.
Dunque il vettore nullo non è contenuto in alcuna delle classi di equivalenza.
Ho provato a soffermarmi circa la questione del ‘considerarlo’.
Anche perché la relazione mette in mezzo vettori non nulli e scalari non nullo, quindi non vedo come possa venir considerato il vettore nullo.
Se la relazione fosse considerata su vettori qualsiasi, la relazione dovrebbe valere anche per il vettore nullo, ma come cambierebbero le cose?
come cambierebbero le cose?
Qual è la classe di equivalenza del vettore nullo?
Il problema vero è la topologia: tu vuoi che lo spazio proiettivo sia una varietà (differenziale, o algebrica: dipende da cosa stai facendo nella vita).
Ogni definizione reperita nei libri parla dell'insieme dei punti dello spazio proiettivo; su questo si possono mettere diverse topologie, perché basta dare il filtro degli intorni di ogni punto con le solite condizioni di compatibilità: ad esempio nello spazio proiettivo complesso, ogni punto sta in uno spazio affine e quindi si può prendere l'estensione del filtro degli intorni nello spazio affine e avere la topologia complessa.
Tra i punti non c'è il vuoto proiettivo, ovviamente.
Nello spazio dei punti, si può anche mettere la topologia come spazio quoziente di $K^{n+1}$ sotto l'azione del gruppo moltiplicativo. Questo chiaramente impone a $K$ di avere una topologia decente per poter parlare di una funzione continua $V\to P(V)$ all'interno della stessa categoria.
Più leggo i tuoi post più mi affascina il modo in cui colleghi branche diverse con disinvoltura.
Il problema è che la classe del vettore nullo non è definibile su questa relazione che uso.
Sia $V$ un $K$ spazio vettoriale e $P(V)=(V-{0})/~$
Dove $~$ è la relazione che segue.
$forallv,w in(V-{0}), v~w$ sse $existslambdain(K-{0}):v=lambdaw$
Ovviamente le classi $[v]={w in(V-{0}):w~v}$ ovvero $ -{0}$
A tal proposito si potrebbe definire secondo me $[0]=<0>$
Il problema mi è sovvenuto quando, per prima cosa notando che $v~ -v$ ovvero $[-v]=[v]$
Ed è stata definita la somma di punti come la sommma dei rappresentanti di una classe.
Ora se $v,w$ sono indipendenti allora ha senso considerare $[v]+[w]=[v+w]$
Ma se $v,w$ sono dipendenti secondo me c’è un leggero conflitto perché:
$[v]+[-v]$ coincide sia con $[0]$ sia con $[v]$ è questo ha senso solo se $v$ è il vettore nullo.
Ovvero in poche parole ha senso definire la somma di punti solo tra rette vettoriali distinte.
Naturalmente poiché $[v]+[v]=[2v], 2v~v => [2v]=[v]$
Ovvero $[v]+[v]=[v]$
Quindi avrebbe senso definirla come ${([v]+[w]=[v+w],ifne),([v]+[w]=[v],if v~w):}$
Il problema è che la classe del vettore nullo non è definibile su questa relazione che uso.
Sia $V$ un $K$ spazio vettoriale e $P(V)=(V-{0})/~$
Dove $~$ è la relazione che segue.
$forallv,w in(V-{0}), v~w$ sse $existslambdain(K-{0}):v=lambdaw$
Ovviamente le classi $[v]={w in(V-{0}):w~v}$ ovvero $
A tal proposito si potrebbe definire secondo me $[0]=<0>$
Il problema mi è sovvenuto quando, per prima cosa notando che $v~ -v$ ovvero $[-v]=[v]$
Ed è stata definita la somma di punti come la sommma dei rappresentanti di una classe.
Ora se $v,w$ sono indipendenti allora ha senso considerare $[v]+[w]=[v+w]$
Ma se $v,w$ sono dipendenti secondo me c’è un leggero conflitto perché:
$[v]+[-v]$ coincide sia con $[0]$ sia con $[v]$ è questo ha senso solo se $v$ è il vettore nullo.
Ovvero in poche parole ha senso definire la somma di punti solo tra rette vettoriali distinte.
Naturalmente poiché $[v]+[v]=[2v], 2v~v => [2v]=[v]$
Ovvero $[v]+[v]=[v]$
Quindi avrebbe senso definirla come ${([v]+[w]=[v+w],if
"anto_zoolander":
Più leggo i tuoi post più mi affascina il modo in cui colleghi branche diverse con disinvoltura.
E' ciò a cui serve la teoria delle categorie.
Il problema è che la classe del vettore nullo non è definibile su questa relazione che uso.
Nì. La relazione di equivalenza che dice che due vettori sono equivalenti se uno è un multiplo scalare dell'altro si generalizza come ho detto a sottospazi arbitrari: allo stesso modo in cui due vettori sono equivalenti se generano la stessa retta, due insiemi finiti di vettori linearmente indipendenti sono equivalenti se generano lo stesso sottospazio di dimensione $k$. Molte delle cose che sono vere per lo spazio punteggiato sono vere per lo spazio $k$-rigato; il vuoto, però, fa caso a sé perché è l'unico elemento della sua classe di equivalenza. E' circa quello che scrivi sotto.
Esercizio simpatico: prova a descrivere le Grassmanniane come spazi proiettivi \(\mathbb{P}\left(\bigwedge^r\mathbb R^n\right)\) sulla $r$-esima algebra esterna di $\mathbb{R}^n$.
è stata definita la somma di punti come la sommma dei rappresentanti di una classe.
Ora se $v,w$ sono indipendenti allora ha senso considerare $[v]+[w]=[v+w]$
Ma se $v,w$ sono dipendenti secondo me c’è un leggero conflitto perché:
$[v]+[-v]$ coincide sia con $[0]$ sia con $[v]$ è questo ha senso solo se $v$ è il vettore nullo.
Ovvero in poche parole ha senso definire la somma di punti solo tra rette vettoriali distinte.
Questo, invece, è un errore madornale: sullo spazio proiettivo non esiste alcuna operazione di somma tra elementi. Deve esserti molto chiaro questo, o rischi un ceffone fortissimo da qualsiasi geometra nell'aula
Per l’ultimo punto, quando ti ho detto, si trova sul libro ‘lezioni di geometria analitica e proiettiva’ di beltrametti.
Per quanto riguarda il resto ti ricordo che sono sempre al secondo anno
Solo che sono più le domande che mi pongo, che quelle a cui rispondo.
Quindi in sostanza per ora mi do pace prendendo $[v]= -{0}$.
Per quanto riguarda il resto ti ricordo che sono sempre al secondo anno
Solo che sono più le domande che mi pongo, che quelle a cui rispondo.
Quindi in sostanza per ora mi do pace prendendo $[v]=
"anto_zoolander":
Per l’ultimo punto, quando ti ho detto, si trova sul libro ‘lezioni di geometria analitica e proiettiva’ di beltrametti.
Non ho capito, qual è l'ultimo punto?
Quindi in sostanza per ora mi do pace prendendo $[v]=-{0}$.
Non è che ti devi dar pace; questo è vero per definizione.
Quello sulla somma di punti.
Conosco il libro: fammi vedere dove hai letto.
È a pagina 17, in fondo.
Definisce ‘somma di punti’ come la classe data dalla somma dei rappresentanti e anche una specie di prodotto per scalare.
Definisce ‘somma di punti’ come la classe data dalla somma dei rappresentanti e anche una specie di prodotto per scalare.
Sono assai scettico che quella definzione abbia senso: per ogni $\lambda in K^\times$ si ha $\lambda[v]=[\lambda v]=[v]$ e dunque questa supposta "moltiplicazione per scalare" non sposta nessuno.
Si infatti secondo me non ha senso.
Il problema è la somma che non capisco, perché avrebbe pure senso magari se non si considerassero vettori in relazione.
Il problema è la somma che non capisco, perché avrebbe pure senso magari se non si considerassero vettori in relazione.
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