Spazi normati

[Hannahdat]

Salve non riesco a risolvere questo esercizio.

Sia C([-$\pi$ ,$\pi$ ], $CC$ ) dotato del prodotto interno di L^2 : $AA$ $\varphi$ , $\psi$ appartenente C([-$\pi$ ,$\pi$ ], $CC$ )

< $\varphi$ , $\psi$ > = $\int_{-\pi}^{\pi} φ (t) $\bar ψ$ (t) dt$

Provare che ||$\varphi$||:= $sqrt(<φ , φ >$ è una norma su C([-$\pi$ ,$\pi$ ], $CC$ )

Nell'integrale "\bar ψ(t)" intendo $\bar ψ$ (t)

[ciampax]

Basta dimostrare che valgono le proprietà della norma, è abbastanza facile.

Ad esempio, per far vedere che $||\varphi||\ge 0$ e vale l'uguaglianza solo quando $\varphi=0$, basta applicare la definizione di tale operatore:
$$||\varphi||=\sqrt{\int_{\pi}^\pi \varphi\bar{\varphi}}=\sqrt{\int_{-\pi}^\pi |\varphi|^2}$$
e pertanto, visto che stai integrando una funzione positiva, il risultato risulta sempre positivo ed è zero solo quando $|\varphi|^2=0$, cioè quando $\varphi=0$