Spazi metrici e topologia
In $RR^n$ è possibile definire una metrica in diversi modi, ad esempio due casi notevoli sono:
$d_1(x,y)=sqrt(sum_{i=1}^n(x_i-y_i)^2)$
$d_2(x,y)=max_{i=1,2,...,n}|x_i-y_i|$
Limitiamoci ora al caso di $RR^2$ per semplicità. Secondo le suddette definizioni di metrica, un intorno di un punto è un cerchio nel caso di $d_1$ e un quadrato nel caso di $d_2$. La mia domanda è la seguente: visto che definire una topologia su un insieme vuol dire (o almeno credo voglia dire) stabilire un modo per scegliere gli intorni di un elemento dell'insieme, com'è possibile che gli spazi metrici $(RR^2,d_1)$ e $(RR^2,d_2)$ diano luogo alla stessa topologia visto che nel primo caso gli intorni sono dei cerchi e nel secondo dei quadrati?
$d_1(x,y)=sqrt(sum_{i=1}^n(x_i-y_i)^2)$
$d_2(x,y)=max_{i=1,2,...,n}|x_i-y_i|$
Limitiamoci ora al caso di $RR^2$ per semplicità. Secondo le suddette definizioni di metrica, un intorno di un punto è un cerchio nel caso di $d_1$ e un quadrato nel caso di $d_2$. La mia domanda è la seguente: visto che definire una topologia su un insieme vuol dire (o almeno credo voglia dire) stabilire un modo per scegliere gli intorni di un elemento dell'insieme, com'è possibile che gli spazi metrici $(RR^2,d_1)$ e $(RR^2,d_2)$ diano luogo alla stessa topologia visto che nel primo caso gli intorni sono dei cerchi e nel secondo dei quadrati?
Risposte
Anzitutto va precisato che la topologia non è la famiglia degli intorni, bensì degli aperti di uno spazio; può sembrare solo una differenza terminologica, ma in generale un intorno di $x$ è un insieme che contiene un aperto contenente $x$.
Poi attenzione a quando dici "la stessa topologia"; si trova questa frase ed è vero, ma è un abuso di linguaggio; infatti la frase vorrebbe intendere: "si trovano due topologie equivalenti". Ovvero una contiene l'altra e viceversa.
Sottolineo che in dimensione finita a meno di equivalenza c'è solo una topologia, quindi non è restrittivo pensare sempre all'euclidea.
Poi attenzione a quando dici "la stessa topologia"; si trova questa frase ed è vero, ma è un abuso di linguaggio; infatti la frase vorrebbe intendere: "si trovano due topologie equivalenti". Ovvero una contiene l'altra e viceversa.
Sottolineo che in dimensione finita a meno di equivalenza c'è solo una topologia, quindi non è restrittivo pensare sempre all'euclidea.
Che intendi quando dici che una topologia contiene l'altra? Che gli aperti di una contengono gli aperti dell'altra? Quindi visto che ogni quadrato centrato in $z_0$ di lato $r$ contiene un cerchio centrato in $z_0$ di raggio $r$ allora la topologia indotta da $d_2$ contiene quella indotta da $d_1$?
Esattamente, due topologie sono equivalenti se ogni aperto di una contiene un aperto dell'altra, e viceversa.
Avere due topologie equivalenti vuol dire trasportare tutte le definizioni da una topologia all'altra: per esempio una successione converge in una topologia se e solo se converge nell'altra, od ancora una funzione è continua rispetto ad una topologia se e solo se è continua rispetto all'altra, ecc...
Avere due topologie equivalenti vuol dire trasportare tutte le definizioni da una topologia all'altra: per esempio una successione converge in una topologia se e solo se converge nell'altra, od ancora una funzione è continua rispetto ad una topologia se e solo se è continua rispetto all'altra, ecc...
Chiarissimo!! Grazie
"Kroldar":
Che intendi quando dici che una topologia contiene l'altra? Che gli aperti di una contengono gli aperti dell'altra? Quindi visto che ogni quadrato centrato in $z_0$ di lato $r$ contiene un cerchio centrato in $z_0$ di raggio $r$ allora la topologia indotta da $d_2$ contiene quella indotta da $d_1$?
Non è ... che ogni quadrato centrato in $z_0$ di lato $2r $ contiene ...
Si camillo, poi luca mi ha corretto... dovrebbe essere: ogni quadrato privato della frontiera contiene un cerchio privato della frontiera, simmetricamente ogni cerchio privato della frontiera contiene un quadrato privato della frontiera
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