Spazi geodetici e sottoinsiemi contrattili
Ciao a tutti!
Studiando spazi geodetici e proprietà topologiche mi è venuta una domanda a cui non riesco a trovare una risposta. Esiste un esempio di spazio/sottospazio chiuso, cioè contenente tutte le geodetiche unenti due punti in esso, che sia contraibile ma non unicamente geodetico (cioè che per due punti possono esistere più di una geodetica)?
Perchè pensando alla sfera mi verrebbe da dire che questo sia impossible. Ma non riesco a capire per quale motivo dovrebbe esserlo. Ho provato a cercare un po' sul web e su libri, ma non trovo nessuna risposta a questa domanda...
Qualcuno potrebbe aiutarmi nel trovare un esempio oppure nel capire perchè è o non è possibile?
Grazie!
Studiando spazi geodetici e proprietà topologiche mi è venuta una domanda a cui non riesco a trovare una risposta. Esiste un esempio di spazio/sottospazio chiuso, cioè contenente tutte le geodetiche unenti due punti in esso, che sia contraibile ma non unicamente geodetico (cioè che per due punti possono esistere più di una geodetica)?
Perchè pensando alla sfera mi verrebbe da dire che questo sia impossible. Ma non riesco a capire per quale motivo dovrebbe esserlo. Ho provato a cercare un po' sul web e su libri, ma non trovo nessuna risposta a questa domanda...
Qualcuno potrebbe aiutarmi nel trovare un esempio oppure nel capire perchè è o non è possibile?
Grazie!
Risposte
Beh, non so se ho capito bene la tua domanda, ma da quel che mi sembra di capire della tua richiesta, il discorso è legato all'intorno normale.....supponiamo di prendere un intorno $U$ di un punto $p$ appartenente allo spazio tangente di $S$.
Ora, presupponendo un diffeomorfismo (cosa sempre possibile scegliendo un opportuno $U$), l'insieme $exp_p(U)$ è l'immagine dell'insieme $U$ su $S$ tramite la mappa esponenziale $exp_p$, ed esso prende il nome di intorno normale, ossia un intorno sufficientemente piccolo da garantirci che tutte le geodetiche contenute in esso sono curve di minima lunghezza, ossia l'intorno non ammette punti coniugati (o di "cut locus")....quindi se io prendo su una superficie un intorno che NON è sufficientemente piccolo, cioè un intorno che NON è un intorno normale, possono in esso caderci più archi di geodetiche che uniscono gli stessi due punti... e questo avviene anche nella sfera!
ESEMPIO
se nella sfera considero un punto $A$ posto al polo nord ed un punto $B$ posto a metà strada tra il polo nord e l'equatore, se io non definisco un intorno normale da garantirmi la presenza di un unico arco di curva minimale, potrei avere la presenza di due percorsi, entrambi archi di geodetiche ma solo uno è quello minimale....ossia, uno è quello appartenete all'arco di cerchio massimo che parte da $A$ e scende direttamente a $B$ (e questo è quello minimale), mentre l'altro parte sempre da $A$ e percorre sempre un'arco di cerchio massimo, ma "scende" dalla parte opposta, passando per il polo sud e risalendo fino ad unire $B$....ecco che avrò due geodetiche che uniscono gli stessi due punti $A$ e $B$.
Spero di aver centrato la tua richiesta....ciao
Ora, presupponendo un diffeomorfismo (cosa sempre possibile scegliendo un opportuno $U$), l'insieme $exp_p(U)$ è l'immagine dell'insieme $U$ su $S$ tramite la mappa esponenziale $exp_p$, ed esso prende il nome di intorno normale, ossia un intorno sufficientemente piccolo da garantirci che tutte le geodetiche contenute in esso sono curve di minima lunghezza, ossia l'intorno non ammette punti coniugati (o di "cut locus")....quindi se io prendo su una superficie un intorno che NON è sufficientemente piccolo, cioè un intorno che NON è un intorno normale, possono in esso caderci più archi di geodetiche che uniscono gli stessi due punti... e questo avviene anche nella sfera!
ESEMPIO
se nella sfera considero un punto $A$ posto al polo nord ed un punto $B$ posto a metà strada tra il polo nord e l'equatore, se io non definisco un intorno normale da garantirmi la presenza di un unico arco di curva minimale, potrei avere la presenza di due percorsi, entrambi archi di geodetiche ma solo uno è quello minimale....ossia, uno è quello appartenete all'arco di cerchio massimo che parte da $A$ e scende direttamente a $B$ (e questo è quello minimale), mentre l'altro parte sempre da $A$ e percorre sempre un'arco di cerchio massimo, ma "scende" dalla parte opposta, passando per il polo sud e risalendo fino ad unire $B$....ecco che avrò due geodetiche che uniscono gli stessi due punti $A$ e $B$.
Spero di aver centrato la tua richiesta....ciao
scusami, ma non capisco cosa questo mi indichi rispetto alla mia domanda.
Quello che mi chiedo io è se è possibile trovare uno spazio/sottospazio chiuso dove, come nella sfera, per due punti possono esserci più di una geodetica, tale che esso sia contraibile.
La sfera non è contraibile/omotopa ad un punto. Non capisco se questa proprietà è legata all'unicità della geodetica oppure se esistono esempi di spazi chiusi omotopi ad un punto in cui sia possibile trovare più di una geodetica unente due punti dati.
Si capisce?
Quello che mi chiedo io è se è possibile trovare uno spazio/sottospazio chiuso dove, come nella sfera, per due punti possono esserci più di una geodetica, tale che esso sia contraibile.
La sfera non è contraibile/omotopa ad un punto. Non capisco se questa proprietà è legata all'unicità della geodetica oppure se esistono esempi di spazi chiusi omotopi ad un punto in cui sia possibile trovare più di una geodetica unente due punti dati.
Si capisce?
Se ho capito quello che volevi dire, su una sfera, per due punti non può esserci più di una geodetica che li congiunge. La geodetica è definita come l'estremo inferiore dell'insieme delle lunghezze di tutti gli archi congiungenti i due punti; l'estremo inferiore, dunque la geodetica, se esiste, è unica. Si capisce anche intuitivamente, la geodetica è il cammino che rende minima la distanza fra due punti
Se prendo i due poli di una sfera ho due geodetiche che li uniscono!
anche più di due, direi infinite ma hanno tutte la stessa lunghezza
"Raphael":
scusami, ma non capisco cosa questo mi indichi rispetto alla mia domanda.
Quello che mi chiedo io è se è possibile trovare uno spazio/sottospazio chiuso dove, come nella sfera, per due punti possono esserci più di una geodetica, tale che esso sia contraibile.
La sfera non è contraibile/omotopa ad un punto. Non capisco se questa proprietà è legata all'unicità della geodetica oppure se esistono esempi di spazi chiusi omotopi ad un punto in cui sia possibile trovare più di una geodetica unente due punti dati.
Si capisce?
Cosa intendi con spazio e cosa intendi con chiuso.
Perche' se la varieta' puo' essere illimitata, oppure avere bordo la cosa mi sembra possibile . perso a una montagna che si puo' aggirare da due lati. Viceversa se pensi a una varieta' compatta e senza bordo potrebbe anche essere (help geometri) che non possa essere contrattile di suo (indipendentemente dalle geodetiche)
EDIT ho scoperto che "closed manifold" e' standard per indicare una varieta' compatta e senza bordo. Scusate l'ignoranza.
Credo allora che sia un teorema classico che un closed manifold non puo' essere contrattile (temo anche di averlo usato dieci / quindici anni fa ...). Cerco ancora.
Infatti anche io vedo strano il collegamento con le geodetiche....
Continuando il discorso di prima ....
Sono sempre piu' convinto che un closed manifold $M$ non possa essere contrattile - credo che la dimostrazione passi per il fatto che ogni funzione regolare
$f:M\to RR$ deve avere almeno due punti critici (il massimo e il minimo)
continuo a frugare nella memoria /nei libri...
Sono sempre piu' convinto che un closed manifold $M$ non possa essere contrattile - credo che la dimostrazione passi per il fatto che ogni funzione regolare
$f:M\to RR$ deve avere almeno due punti critici (il massimo e il minimo)
continuo a frugare nella memoria /nei libri...
Grazie a tutti.. ma allora se considerassi un sottoinsieme chiuso di uno spazio geodetico (inteso come un insieme di punti che contiene anche tutte le geodetiche unente i punti), ne esiste un esempio contrattile ma non unicamente geodetico?
Sto meditando sui vostri post intanto...
grazie
Sto meditando sui vostri post intanto...
grazie
"Raphael":
Grazie a tutti.. ma allora se considerassi un sottoinsieme chiuso di uno spazio geodetico (inteso come un insieme di punti che contiene anche tutte le geodetiche unente i punti), ne esiste un esempio contrattile ma non unicamente geodetico?
Sto meditando sui vostri post intanto...
grazie
purtroppo non conosco il gergo (pur lavorando su cose affini) - la mezza sfera non va bene?
VG, tu hai detto che una varietà chiusa non è contrattile, ma se per varietà chiusa si considerasse una palla? la palla è contrattil! no?
"Alexp":
VG, tu hai detto che una varietà chiusa non è contrattile, ma se per varietà chiusa si considerasse una palla? la palla è contrattil! no?
Era una delle mie perplessita' all'inizio, ma poi cercando in giro ho verificato che (e penso che in questo senso sia stato usato da Raphael) che e' usuale chiamare "closed manifold"
una varieta' compatta senza bordo - la palla e' una varieta' compatta - ma ha bordo. Poi nel suo ultimo post Raphael ha parlato di "geodeticamente chiuso" e allora ho tirato in ballo la mezza sfera
(sperando di aver intuto cosa intendeva)
Si è vero! anche se trovo molto controintuitivo il fatto che una palla abbia il bordo...per bordo di una palla si intende la sfera che la ricopre..ma se io immaginassi una palla "sbucciata" ossia priva di bordo...esiste un concetto del genere?
"Alexp":
Si è vero! anche se trovo molto controintuitivo il fatto che una palla abbia il bordo...per bordo di una palla si intende la sfera che la ricopre..ma se io immaginassi una palla "sbucciata" ossia priva di bordo...esiste un concetto del genere?
certo - la palla aperta e' una varieta' senza bordo -- ma non e' compatta
eh si, anche questo è vero....
Hol ricevuto da "dissonance" un corretto suggerimento, ossia modificare il titolo al topic, in quanto così non esprime nulla sul contenuto.....visto che il quesito posto da "Raphael" non è molto chiaro, avete suggerimenti per il titolo?
Hol ricevuto da "dissonance" un corretto suggerimento, ossia modificare il titolo al topic, in quanto così non esprime nulla sul contenuto.....visto che il quesito posto da "Raphael" non è molto chiaro, avete suggerimenti per il titolo?
Potrebbe essere qualcosa tipo:"Geodetiche e varietà chiuse" non so, ditemi voi!
"Alexp":
eh si, anche questo è vero....
Hol ricevuto da "dissonance" un corretto suggerimento, ossia modificare il titolo al topic, in quanto così non esprime nulla sul contenuto.....visto che il quesito posto da "Raphael" non è molto chiaro, avete suggerimenti per il titolo?
Boh... qualcosa tipo "spazi geodetici e contrattibilita' "- (anche se sui primi non so nulla).
Non sarebbe da chiedere a Raphael ?
o "contrattibilita' di spazi geodetici"
Grazie a tutti di nuovo. Cerco di rispiegarmi meglio. La mia domanda è riferita agli spazi geodetici. Sia $X$ uno spazio geodetico, che definisco come un'insieme di punti tale per cui presi due punti in esso, anche le geodetiche che li uniscono sono contenute in $X$. Se adesso considero un sottoinsieme chiuso $C$ di $X$, dove per chiuso intendo contenente tutte le geodetiche unenti punti in esso, mi interesserebbe sapere quando esso è contrattile.
Così ho molto generalizzato la mia domanda, che inizialmente era connessa all'unicità delle geodetiche. Rileggendo e ripensandoci forse ha più senso pensare ad una domanda generica come questa.
Magari come titolo potrebbe andare "Spazi geodetici e sottoinsiemi contrattili", che ne dite?
Così ho molto generalizzato la mia domanda, che inizialmente era connessa all'unicità delle geodetiche. Rileggendo e ripensandoci forse ha più senso pensare ad una domanda generica come questa.
Magari come titolo potrebbe andare "Spazi geodetici e sottoinsiemi contrattili", che ne dite?
"Raphael":
Grazie a tutti di nuovo. Cerco di rispiegarmi meglio. La mia domanda è riferita agli spazi geodetici. Sia $X$ uno spazio geodetico, che definisco come un'insieme di punti tale per cui presi due punti in esso, anche le geodetiche che li uniscono sono contenute in $X$. Se adesso considero un sottoinsieme chiuso $C$ di $X$, dove per chiuso intendo contenente tutte le geodetiche unenti punti in esso, mi interesserebbe sapere quando esso è contrattile.
Così ho molto generalizzato la mia domanda, che inizialmente era connessa all'unicità delle geodetiche. Rileggendo e ripensandoci forse ha più senso pensare ad una domanda generica come questa.
Magari come titolo potrebbe andare "Spazi geodetici e sottoinsiemi contrattili", che ne dite?
Ciao - immagino che quando dici "$X$ spazio geodetico ...insieme di punti tale che presi ....le geodetiche ..." sottintendi che $X$ e' una varieta' riemanniana (altrimenti cosa sono le geodetiche ?)
e magari mi confermi che quando scrivevi $X$ chiusa (all' inizio) intendevi $X$ compatta e senza bordo ?
Dopo di che (se capisco le definizioni) se prendi $X$ la sfera e $X_1$ un emisfero mi pare che $X_1$ contenga tutte le geodetiche che partono dai suoi punti e che sia contrattile.
Altro passo indietro .... sorry
Ho trovato la definizione di spazio geodetico e ho capito che la nozione di geodetica si puo' dare anche in uno spazio metrico - allora chiuso significava (fin dall'inizio) "geodeticamente"
chiuso ?
Ma allora la "mezza sfera" andava bene come controesempio ? e' contrattile e tra due punti opposti all'equatore ci sono infinite geodetiche
Ho trovato la definizione di spazio geodetico e ho capito che la nozione di geodetica si puo' dare anche in uno spazio metrico - allora chiuso significava (fin dall'inizio) "geodeticamente"
chiuso ?
Ma allora la "mezza sfera" andava bene come controesempio ? e' contrattile e tra due punti opposti all'equatore ci sono infinite geodetiche
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