Spazi euclidei
Siano v,w due vettori non nulli di un piano euclideo.
i)Si determini un numero reale a tale che v+aw abbia lunghezza (norma) minima fra tutti i vettori della forma v+bw, b numero reale.
ii) Il numero a è univocamente determinato?
Qualcuno sa come iniziare??
Io mi sono calcolato la norma del vettore v+aw in una base del piano euclideo e poi dalla disperazione ho fatto la derivata, nella variabile reale a, per vedere il minimo, ma non penso propio che vada bene..
i)Si determini un numero reale a tale che v+aw abbia lunghezza (norma) minima fra tutti i vettori della forma v+bw, b numero reale.
ii) Il numero a è univocamente determinato?
Qualcuno sa come iniziare??
Io mi sono calcolato la norma del vettore v+aw in una base del piano euclideo e poi dalla disperazione ho fatto la derivata, nella variabile reale a, per vedere il minimo, ma non penso propio che vada bene..
Risposte
Scriviamo i due vettori $v$ e $w$ come…
$v=v_x*u_x+v_y*u_y$
$w=w_x*u_x+w_y*u_y$ (1)
… essendo $u_x$ e $u_y$ i ‘versori’ relativi al piano $(x,y)$. Sarà dunque…
$v+a*w= (v_x+a*w_x)*u_x+(v_y+a*w_y)*u_y$ (2)
La quantità da minimizzare è la seguente…
$|v+a*w|^2= (v_x+a*w_x)^2+(v_y+a*w_y)^2$ (3)
Procedendo in maniera ‘standard’ derivando la (3) rispetto ad $a$ e imponendo che la derivata si annulli avremo l’equazione…
$v_x*w_x+v_y*w_y+a*(w_x^2+w_y^2)=0$ (4)
… la quale ha per soluzione…
$a=- (v_x*w_x+v_y*w_y)/(w_x^2+w_y^2)$ (5)
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
$v=v_x*u_x+v_y*u_y$
$w=w_x*u_x+w_y*u_y$ (1)
… essendo $u_x$ e $u_y$ i ‘versori’ relativi al piano $(x,y)$. Sarà dunque…
$v+a*w= (v_x+a*w_x)*u_x+(v_y+a*w_y)*u_y$ (2)
La quantità da minimizzare è la seguente…
$|v+a*w|^2= (v_x+a*w_x)^2+(v_y+a*w_y)^2$ (3)
Procedendo in maniera ‘standard’ derivando la (3) rispetto ad $a$ e imponendo che la derivata si annulli avremo l’equazione…
$v_x*w_x+v_y*w_y+a*(w_x^2+w_y^2)=0$ (4)
… la quale ha per soluzione…
$a=- (v_x*w_x+v_y*w_y)/(w_x^2+w_y^2)$ (5)
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
Non mi convince il risultato di lupo grigio; se scelgo $w=v$, cosa legittima, dovrei trovare $a=-1$ che mi dà il vettore nullo, che ha norma $0$.
Per altro anche senza Analisi mi pare che se $v$ è diverso da $w$ geometricamente la cosa si vede: credo che le soluzioni siano tutti i vettori della forma $v+aw$ che sono ortogonali a $w$.
Per altro anche senza Analisi mi pare che se $v$ è diverso da $w$ geometricamente la cosa si vede: credo che le soluzioni siano tutti i vettori della forma $v+aw$ che sono ortogonali a $w$.
... infatti nella fretta ho commesso un errore di calcolo... errore che già è stato corretto...
Grazie per la segnalazione!...
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
Grazie per la segnalazione!...
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
Ok, ora il risultato è corretto, che conferma anche quello che dicevo; infatti la soluzione è $v-((v,w))/(|w|^2)w$ che è ortogonale a $w$.
Ringrazio vivamente entrambi 
Quindi tale a non è unico?
Quindi tale a non è unico?
Dal momento che $a$ è soluzione di un'equazione algebrica di primo grado della forma...
$alpha*x+ beta=0$ (1)
... con $alpha ne 0$, se dal tempo in cui facevo la terza media le cose non sono cambiate [non si sa mai
...], direi proprio che questa è unica...
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
$alpha*x+ beta=0$ (1)
... con $alpha ne 0$, se dal tempo in cui facevo la terza media le cose non sono cambiate [non si sa mai
...], direi proprio che questa è unica... cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
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