Spazi e sottospazi
Ho provato a fare il primo degli esercizi proposti dalle dispense consigliate da fireball (che ringrazio) nell'altro topic.
Potete spegarmi questo:?
Siano
$A = ((1),(0))$
$B = ((0),(1))
$C = ((2),(1))$
perchè:
$tA + (1 − t)B, t € [0, 1]$ è il segmento congiungente A e B;
$A + tC, t € [0, 1]$ è il segmento congiungente A e A + C ?
Ho fatto il disegno ma non trovo riscontro.... t è un numero qualunque fra 0 e 1 no? Potrebbe essere pure 0,75...
Grazie
Potete spegarmi questo:?
Siano
$A = ((1),(0))$
$B = ((0),(1))
$C = ((2),(1))$
perchè:
$tA + (1 − t)B, t € [0, 1]$ è il segmento congiungente A e B;
$A + tC, t € [0, 1]$ è il segmento congiungente A e A + C ?
Ho fatto il disegno ma non trovo riscontro.... t è un numero qualunque fra 0 e 1 no? Potrebbe essere pure 0,75...
Grazie
Risposte
ciao sono combinazioni convesse fra questi due punti del piano. quelle sono funzioni continue in t e agli estremi valgono esattamente A e B per il primo e A e A+C per il secondo. quindi qnche graficamente è chiaro infatti ti calcoli la retta passante per A e B per esempio con le note formule e poi la riparametrizzi con $t in [0,1]$ in modo che in 0 valga A e in 1 valga B.
Perchè per il primo esercizio quando poni $ t = 0 $ ottieni ottieni le coordinate del punto B , mentre quando poni $t=1 $ ottieni le coordinate del punto A e per $0
Infatti chiama $x=t ; y = 1-x $ con $x in [0,1]$ fornisce propio le coordinate dei punti del segmeno AB.
Infatti chiama $x=t ; y = 1-x $ con $x in [0,1]$ fornisce propio le coordinate dei punti del segmeno AB.
Grazie mille...
Adesso lo rileggo e cercherò di capirlo.....
Mi è sorto un altro problema (se rompo troppo ditemelo).
Studiando nel libro trovo:
TEOREMA: Condizione necessaria e sufficiente affinchè n vettori $v_1,v_2...v_n$ di uno spazio vettoriale $V$ costituiscano una base, è che ogni vettore $v €V$ si esprima in modo unico nella forma: $v=a_1v_1+a_2v_2+...+a_nv_n$... [PENSIERO PERSONALE: da ciò deduco che ogni vettore di v è linearmente dipendente dagli altri dello spazio V perchè con questa scrittura l'ho espresso come combinazione lineare degli altri]... Poi il libro suppone di scrivere v in un altro modo con b_i al posto di a_i... e da questa ricava: $v=(a_1-b_1)v_1 +...+ (a_n-b_n)v_n=0$... E poi dice: e quindi essendo $v_i$ con $i € NN$ linearmente indipendenti................... La mia domanda è: ma ciò non p in contraddizione con il mio PENSIERO PERSONALE SCRITTO SOPRA?
GRAZIE
@ CaMILLO:
Se chiedo troppo ti prego di dirmelo... vorrei contattarti in msn per discutere meglio di queste questioni.... Ma aspetto il tuo consenso prima di prendere il tuo indirizzo....
Ciao a Presto
Adesso lo rileggo e cercherò di capirlo.....
Mi è sorto un altro problema (se rompo troppo ditemelo).
Studiando nel libro trovo:
TEOREMA: Condizione necessaria e sufficiente affinchè n vettori $v_1,v_2...v_n$ di uno spazio vettoriale $V$ costituiscano una base, è che ogni vettore $v €V$ si esprima in modo unico nella forma: $v=a_1v_1+a_2v_2+...+a_nv_n$... [PENSIERO PERSONALE: da ciò deduco che ogni vettore di v è linearmente dipendente dagli altri dello spazio V perchè con questa scrittura l'ho espresso come combinazione lineare degli altri]... Poi il libro suppone di scrivere v in un altro modo con b_i al posto di a_i... e da questa ricava: $v=(a_1-b_1)v_1 +...+ (a_n-b_n)v_n=0$... E poi dice: e quindi essendo $v_i$ con $i € NN$ linearmente indipendenti................... La mia domanda è: ma ciò non p in contraddizione con il mio PENSIERO PERSONALE SCRITTO SOPRA?
GRAZIE
@ CaMILLO:
Se chiedo troppo ti prego di dirmelo... vorrei contattarti in msn per discutere meglio di queste questioni.... Ma aspetto il tuo consenso prima di prendere il tuo indirizzo....
Ciao a Presto
Se riscrive $v$ in un altro modo, esprimendolo
come combinazione lineare di $v_1,...,v_n$
con coefficienti reali $b_1,...b_n$, non può
scrivere $v=(a_1-b_1)v_1 +...+(a_n-b_n)v_n=0$
perché non è $v$ che è nullo, ma è solo la
combinazione lineare di vettori
$(a_1-b_1)v_1 +...+(a_n-b_n)v_n$ ad essere nulla!
Quando scrive questo, sottrae tra di loro
le due equazioni e trova $(a_1-b_1)v_1 +...+(a_n-b_n)v_n=0$
e non $v=(a_1-b_1)v_1 +...+(a_n-b_n)v_n=0$!
E quindi, dato che per ipotesi i vettori $v_i$
al variare di $i$ sono linearmente indipendenti,
segue che la combinazione lineare data è nulla
se e solo se sono nulli tutti i suoi coefficienti, ovvero se e solo se:
${(a_1=b_1),(...),(a_n=b_n):}
da cui segue che ogni vettore di $V$ si scrive
in modo UNICO rispetto ad una base di $V$ prefissata.
come combinazione lineare di $v_1,...,v_n$
con coefficienti reali $b_1,...b_n$, non può
scrivere $v=(a_1-b_1)v_1 +...+(a_n-b_n)v_n=0$
perché non è $v$ che è nullo, ma è solo la
combinazione lineare di vettori
$(a_1-b_1)v_1 +...+(a_n-b_n)v_n$ ad essere nulla!
Quando scrive questo, sottrae tra di loro
le due equazioni e trova $(a_1-b_1)v_1 +...+(a_n-b_n)v_n=0$
e non $v=(a_1-b_1)v_1 +...+(a_n-b_n)v_n=0$!
E quindi, dato che per ipotesi i vettori $v_i$
al variare di $i$ sono linearmente indipendenti,
segue che la combinazione lineare data è nulla
se e solo se sono nulli tutti i suoi coefficienti, ovvero se e solo se:
${(a_1=b_1),(...),(a_n=b_n):}
da cui segue che ogni vettore di $V$ si scrive
in modo UNICO rispetto ad una base di $V$ prefissata.
"matematicoestinto":
@ CaMILLO:
Se chiedo troppo ti prego di dirmelo... vorrei contattarti in msn per discutere meglio di queste questioni.... Ma aspetto il tuo consenso prima di prendere il tuo indirizzo....
Ciao a Presto
OK
"fireball":
non può
scrivere $v=(a_1-b_1)v_1 +...+(a_n-b_n)v_n=0$
Questo è stato un mio errore di copiatura
E quindi, dato che per ipotesi i vettori $v_i$
al variare di $i$ sono linearmente indipendenti
è questo che non capisco... Perchp per ipotesi sono liearmente indipendenti se poi scrive v come combinazione lineare degli altri? Non è forse vero che se un vettore è combinazione lineare degli altri di uno spazio vettoriale allora sono linearmente dipendenti?
[/quote]
Se un vettore è combinazione lineare degli altri,
mettiamo che $w$ sia combinazione lineare
degli altri, allora sono i vettori $w,v_1,...,v_n$
ad essere linearmente dipendenti, non
i vettori $v_1,...,v_n$ ! Comunque,
per quanto riguarda questa dimostrazione,
i vettori $v_1,...,v_n$ sono indipendenti
per ipotesi perché l'insieme $ccB={v_1,...,v_n}$
è per ipotesi una base di $V$, e tu vuoi mostrare
che ogni vettore $v in V$ si scrive in modo
unico come combinazione lineare dei vettori della base $ccB$.
mettiamo che $w$ sia combinazione lineare
degli altri, allora sono i vettori $w,v_1,...,v_n$
ad essere linearmente dipendenti, non
i vettori $v_1,...,v_n$ ! Comunque,
per quanto riguarda questa dimostrazione,
i vettori $v_1,...,v_n$ sono indipendenti
per ipotesi perché l'insieme $ccB={v_1,...,v_n}$
è per ipotesi una base di $V$, e tu vuoi mostrare
che ogni vettore $v in V$ si scrive in modo
unico come combinazione lineare dei vettori della base $ccB$.
"fireball":
Se un vettore è combinazione lineare degli altri,
mettiamo che $w$ sia combinazione lineare
degli altri, allora sono i vettori $w,v_1,...,v_n$
ad essere linearmente dipendenti, non
i vettori $v_1,...,v_n$ ! Comunque,
per quanto riguarda questa dimostrazione,
i vettori $v_1,...,v_n$ sono indipendenti
per ipotesi perché l'insieme $ccB={v_1,...,v_n}$
è per ipotesi una base di $V$, e tu vuoi mostrare
che ogni vettore $v in V$ si scrive in modo
unico come combinazione lineare dei vettori della base $ccB$.
Non so come ringraziarti! Adesso credo di aver capito!
Bene! 
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