Sottovarietà affini
ho problemi col seguente esercizio
siano $A,B in M_4(RR)$ e sia $L={X in M_4(RR) | AX=B}$
si mostri che è una sottovarietà affine e calcolarne la dimensione in funzione di $rk(A)$
non so proprio come fare...ho provato a farmi un esempio prendendo 2 matrici A e B esplicite per vedere la dimensione di L,ma non riesco nemmeno a intuire una possibile soluzione del problema generale...ad esempio ho preso una matrice A di rk=4 e ottengo che L è una sottovarietà di dim=2 (a meno non abbia sbagliato i conti)
mi aiutate?
siano $A,B in M_4(RR)$ e sia $L={X in M_4(RR) | AX=B}$
si mostri che è una sottovarietà affine e calcolarne la dimensione in funzione di $rk(A)$
non so proprio come fare...ho provato a farmi un esempio prendendo 2 matrici A e B esplicite per vedere la dimensione di L,ma non riesco nemmeno a intuire una possibile soluzione del problema generale...ad esempio ho preso una matrice A di rk=4 e ottengo che L è una sottovarietà di dim=2 (a meno non abbia sbagliato i conti)
mi aiutate?
Risposte
Com'è fatto lo spazio delle matrici?
$M_4(RR)=$
Lo spazio $L$ è definito dalle seguenti equazioni:
$\{(a_(1,1) e_(1,1) + a_(1,2) e_(2,1) + a_(1,3) e_(3,1) + a_(1,4) e_(4,1)= b_(1,1)),(...),(a_(n,1) e_(1,n) + a_(n,2) e_(2,n) + a_(n,3) e_(3,n) + a_(n,4) e_(4,n)= b_(n,n)):}$
Si tratta quindi di trovare un sottospazio vettoriale che annulla il sistema ed una soluzione particolare, se esiste. E la somma di questi da ovviamente una sottovarietà affine.
Il rango di una matrice influisce in questo modo, senza perdere di generalità, considera le righe proporzionali le prime che trovi, ad esempio se il rango vale 2 le prime due righe le consideriamo proporzionali
Ma se le prime due righe sono proporzionali allora moltiplicate per le stesse colonne daranno valori proporzionali e questo implica che anche la matrice B deve avere le prime due righe proporzionali
$M_4(RR)=
Lo spazio $L$ è definito dalle seguenti equazioni:
$\{(a_(1,1) e_(1,1) + a_(1,2) e_(2,1) + a_(1,3) e_(3,1) + a_(1,4) e_(4,1)= b_(1,1)),(...),(a_(n,1) e_(1,n) + a_(n,2) e_(2,n) + a_(n,3) e_(3,n) + a_(n,4) e_(4,n)= b_(n,n)):}$
Si tratta quindi di trovare un sottospazio vettoriale che annulla il sistema ed una soluzione particolare, se esiste. E la somma di questi da ovviamente una sottovarietà affine.
Il rango di una matrice influisce in questo modo, senza perdere di generalità, considera le righe proporzionali le prime che trovi, ad esempio se il rango vale 2 le prime due righe le consideriamo proporzionali
Ma se le prime due righe sono proporzionali allora moltiplicate per le stesse colonne daranno valori proporzionali e questo implica che anche la matrice B deve avere le prime due righe proporzionali
"Maci86":
Lo spazio $L$ è definito dalle seguenti equazioni:
$\{(a_(1,1) e_(1,1) + a_(1,2) e_(2,1) + a_(1,3) e_(3,1) + a_(1,4) e_(4,1)= b_(1,1)),(...),(a_(n,1) e_(1,n) + a_(n,2) e_(2,n) + a_(n,3) e_(3,n) + a_(n,4) e_(4,n)= b_(n,n)):}$
temo di non capire questa scrittura...allora...$a_(i,j)$ sono le entrate della matrice A,giusto?
se nel sistem avessi scritto $x_(i,j)$ (entrate di X) invece di $e_(i,j)$ (base canonica) avrei pensato che tut stessi esprimendo sottoforma di sistema il prodotto AX=B...ma non capisco per cosa usi questa scrittura...(scusa sono i primi esercizi che faccii di questo tipo)
"Maci86":
Si tratta quindi di trovare un sottospazio vettoriale che annulla il sistema ed una soluzione particolare, se esiste. E la somma di questi da ovviamente una sottovarietà affine.
allora,io ho in mente che quando hai un sistema di equazioni che definisce una sottovarietà,le soluzioni $v_1,...,v_k$ (vettori o matrici,dipende da dove stiamo lavorando)del sistema omogeneo sono le direzioni(e k è la dimensione della varietà),mentre la soluzione particolare è uno dei punti per cui passa la varietà. giusto?
mi era già chiaro che
"Maci86":
Il rango di una matrice influisce in questo modo, senza perdere di generalità, considera le righe proporzionali le prime che trovi, ad esempio se il rango vale 2 le prime due righe le consideriamo proporzionali
Ma se le prime due righe sono proporzionali allora moltiplicate per le stesse colonne daranno valori proporzionali e questo implica che anche la matrice B deve avere le prime due righe proporzionali
ma continuo a non vedere il legame col numero di soluzioni dell'omogeneo....tu dici che...
"Maci86":
Ma se le prime due righe sono proporzionali allora moltiplicate per le stesse colonne daranno valori proporzionali e questo implica che anche la matrice B deve avere le prime due righe proporzionali
ma a me sembra che quindi il rk di A mi dica solo come dovrebbe essere B (cosa che non mi serve perche B è data dal problema,come A)ma non vedo minimamente come influisca su X
Effettivamente era più chiaro se li chiamavo $x_(i,j)$. Provo a farti capire come influisce usando una matrice due per due, se lo capisci così poi lo capisci in ogni altra occasione:
$rk A=2=> det A≠0 => a_(1,1)a_(2,2) - a_(1,2)a_(2,1)≠0$
Troviamo il sistema associato:
INCOMPLETO:
${(a_(1,1)x_(1,1) + a_(1,2)x_(2,1)= 0),(a_(1,1)x_(1,2) + a_(1,2)x_(2,2)= 0),(a_(2,1)x_(1,1) + a_(2,2)x_(2,1)=0),(a_(2,1)x_(1,2) + a_(2,2)x_(2,2)=0):} => Ker=0$
COMPLETO:
${(a_(1,1)x_(1,1) + a_(1,2)x_(2,1)= b_(1,1)),(a_(1,1)x_(1,2) + a_(1,2)x_(2,2)= b_(1,2)),(a_(2,1)x_(1,1) + a_(2,2)x_(2,1)=b_(2,1)),(a_(2,1)x_(1,2) + a_(2,2)x_(2,2)=b_(2,2)):}$
La condizione sul rango ti dice che tutti e due i fattori di $A$ non possono essere nulli contemporaneamente, quindi puoi sempre dividere per almeno un fattore. In pratica, prendiamo la prima equazione e sappiamo che o $a_(1,1)$ o $a_(1,2)$ non è nullo (o nessuno dei due) quindi possiamo ricavarci una delle due variabili. Possiamo procedere similmente per ognuna delle equazioni e trovarci ognuna delle variabili. Quindi l'unica soluzione è proprio quella omogenea, avendo il ker=0.
$rk A=1=> det A=0 => a_(1,1)a_(2,2) - a_(1,2)a_(2,1)=0=> a_(1,1)=ka_(2,1) \text{ e } a_(1,2)=ka_(2,2)$
Troviamo il sistema associato:
INCOMPLETO:
${(ka_(2,1)x_(1,1) + ka_(2,2)x_(2,1)= 0),(ka_(2,1)x_(1,2) + ka_(2,2)x_(2,2)=0),(a_(2,1)x_(1,1) + a_(2,2)x_(2,1)=0),(a_(2,1)x_(1,2) + a_(2,2)x_(2,2)=0):}=> Ker=2$
COMPLETO:
${(ka_(2,1)x_(1,1) + ka_(2,2)x_(2,1)= b_(1,1)),(ka_(2,1)x_(1,2) + ka_(2,2)x_(2,2)= b_(1,2)),(a_(2,1)x_(1,1) + a_(2,2)x_(2,1)=b_(2,1)),(a_(2,1)x_(1,2) + a_(2,2)x_(2,2)=b_(2,2)):}$
Ora però la situazione è molto diversa, se $b_(1,1)≠kb_(2,1) \text{ e } b_(1,2)≠kb_(2,2)$ non trovi l'equazione omogenea e quindi non è una sottovarietà. Mentre se fosse una sottovarietà avrebbe un ker pari a 2 e quindi troverai uno spazio affine di dimensione 2 dato dal ker e il vettore omogeneo.
$rk A=0=> 0_(M_n)$
Troviamo il sistema associato:
INCOMPLETO:
${(0= 0),(0=0),(0=0),(0=0):}=> Ker=4$
COMPLETO:
${(0= b_(1,1)),(0= b_(1,2)),(0=b_(2,1)),(0=b_(2,2)):}$
Qui addirittura se B non è la matrice nulla non avrai alcuna soluzione valida, mentre se fosse la matrice nulla avresti uno spazio di dimensione 4.
Hai capito qualcosa in più?
$rk A=2=> det A≠0 => a_(1,1)a_(2,2) - a_(1,2)a_(2,1)≠0$
Troviamo il sistema associato:
INCOMPLETO:
${(a_(1,1)x_(1,1) + a_(1,2)x_(2,1)= 0),(a_(1,1)x_(1,2) + a_(1,2)x_(2,2)= 0),(a_(2,1)x_(1,1) + a_(2,2)x_(2,1)=0),(a_(2,1)x_(1,2) + a_(2,2)x_(2,2)=0):} => Ker=0$
COMPLETO:
${(a_(1,1)x_(1,1) + a_(1,2)x_(2,1)= b_(1,1)),(a_(1,1)x_(1,2) + a_(1,2)x_(2,2)= b_(1,2)),(a_(2,1)x_(1,1) + a_(2,2)x_(2,1)=b_(2,1)),(a_(2,1)x_(1,2) + a_(2,2)x_(2,2)=b_(2,2)):}$
La condizione sul rango ti dice che tutti e due i fattori di $A$ non possono essere nulli contemporaneamente, quindi puoi sempre dividere per almeno un fattore. In pratica, prendiamo la prima equazione e sappiamo che o $a_(1,1)$ o $a_(1,2)$ non è nullo (o nessuno dei due) quindi possiamo ricavarci una delle due variabili. Possiamo procedere similmente per ognuna delle equazioni e trovarci ognuna delle variabili. Quindi l'unica soluzione è proprio quella omogenea, avendo il ker=0.
$rk A=1=> det A=0 => a_(1,1)a_(2,2) - a_(1,2)a_(2,1)=0=> a_(1,1)=ka_(2,1) \text{ e } a_(1,2)=ka_(2,2)$
Troviamo il sistema associato:
INCOMPLETO:
${(ka_(2,1)x_(1,1) + ka_(2,2)x_(2,1)= 0),(ka_(2,1)x_(1,2) + ka_(2,2)x_(2,2)=0),(a_(2,1)x_(1,1) + a_(2,2)x_(2,1)=0),(a_(2,1)x_(1,2) + a_(2,2)x_(2,2)=0):}=> Ker=2$
COMPLETO:
${(ka_(2,1)x_(1,1) + ka_(2,2)x_(2,1)= b_(1,1)),(ka_(2,1)x_(1,2) + ka_(2,2)x_(2,2)= b_(1,2)),(a_(2,1)x_(1,1) + a_(2,2)x_(2,1)=b_(2,1)),(a_(2,1)x_(1,2) + a_(2,2)x_(2,2)=b_(2,2)):}$
Ora però la situazione è molto diversa, se $b_(1,1)≠kb_(2,1) \text{ e } b_(1,2)≠kb_(2,2)$ non trovi l'equazione omogenea e quindi non è una sottovarietà. Mentre se fosse una sottovarietà avrebbe un ker pari a 2 e quindi troverai uno spazio affine di dimensione 2 dato dal ker e il vettore omogeneo.
$rk A=0=> 0_(M_n)$
Troviamo il sistema associato:
INCOMPLETO:
${(0= 0),(0=0),(0=0),(0=0):}=> Ker=4$
COMPLETO:
${(0= b_(1,1)),(0= b_(1,2)),(0=b_(2,1)),(0=b_(2,2)):}$
Qui addirittura se B non è la matrice nulla non avrai alcuna soluzione valida, mentre se fosse la matrice nulla avresti uno spazio di dimensione 4.
Hai capito qualcosa in più?
ok si dai direi che ho capito! ora ci ragiono un po per il caso 4x4 e se non mi è chiaro qualcosa riscrivo...grazie mille
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