Sottospazio vettoriale

[zerbo1000]

$ W ={(x_1, x_2, x_3, x_4) \in R^4 | x_1^2 +x_2^2 =0 }$ e sotto spazio vettoriale?

si perche solo lo zero verifica l'equazione e se prendo le x come zeri le proprieta sono verificate guisto?

[quantunquemente]

$W$ è sottospazio vettoriale perchè è formato da tutti i vettori del tipo $(0,0,a,b)$

[ROMA911]

$W$, chiaramente, è sottospazio vettoriale. Affinché sia tale, una qualsiasi combinazione lineare di vettori $in$ $W$ deve ancora appartenere a $W$ e si verifica che è così - solo perché le prime due coordinate dei vettori appartenenti a $W$ sono entrambe nulle -. Prendiamo il vettore $y$ $in$ $W$ $(y_1,y_2,y_3,y_4)$ $|$ $y_1^2 + y_2^2 = 0$ e facciamo la combinazione lineare $z = \lambdax + muy$. Chiaramente $z$ $in$ $W$. Infatti, $z_1^2 + z_2^2 = (\lambdax_1 + \muy_1)^2 + (\lamdax_2 + \muy_2)^2$. Sviluppando, si ottiene: $\lambda^2(x_1^2 + x_2^2) + \mu^2(y_1^2 + y_2^2) + 2\lambda\mu(x_1y_1 + x_2y_2)$. Ma - per definizione dei vettori $in$ $W$ - le prime due parentesi tonde risultano identicamente nulle. La terza - $2\lambda\mu(x_1y_1 + x_2y_2)$ - risulta nulla solo perché risultano nulle le prime due coordinate dei vettori $in$ $W$. Quindi è garantita la chiusura perché la generica combinazione lineare di vettori $in$ $W$ $in$ $W$.

Quindi si tratta di sottospazio vettoriale.

Ovviamente, se la somma dei quadrati fosse $!=$ $0$, con una condizione del genere - non lineare e con risultato $!=$ $0$ - lo stesso ragionamento dimostrerebbe che non potrebbe trattarsi di spazio vettoriale.

Inoltre, nel campo complesso, ad es., non sarebbe vera, in generale, la nullità di ciascuna delle prime due coordinate.