Sottospazio *ortogonale totalmente*

[indovina]

Salve, sto facendo un esercizio, ma non riesco ad andare avanti a causa di questa frase:


Determinare un'applicazione lineare $f$ di Hom (RR^4,RR^3) il cui nucleo sia rappresentato dal sistema di equazione lineare omogeneo:


$x-2y+4z+2t=0$

$2x-y+3z+t=0$

$x+y-z-t=0$


la cui immagine sia il sottospazio di $RR^3$, ortogonale totalmente al vettore $(1,-1,1)$

Ho fatto la matrice associata al sistema, e ho visto il suo rango, cioè vale $2$
ho visto i suoi orlati, ed erano nulli.

$((1,-2,+4,+2),(2,-1,+3,+1),(1,+1,-1,-1))$

$((1,-2),(2,-1))$ il determinante vale $3$

vedo gli orlati:

$((1,-2,+4),(2,-1,+3),(1,1,-1))$ il cui determinante è 0


$((1,-2,+2),(2,-1,1),(1,1,-1))$ il cui determinante è 0

quindi posso vedere il sistema in questo modo:

$x-2y+4z+2t=0$

$2x-y+3z+t=0$


Arrivato qui, cosa devo fare?

Inoltre cosa si intende per *sottospazio di $RR^3$ ortogonale totalmente*?
E perchè quello è un sistema di equazione lineare omogeneo?

[cirasa]

Il sottospazio "ortogonale totalmente al vettore $v=(1,-1,1)$", secondo me, è semplicemente l'ortogonale di $$, cioè $^\bot$.
E' tutto Ok per le equazioni che determinano il sottospazio $W$ di $RR^4$ che andrà a formare il nucleo del tuo omomorfismo.

Ora determina una base $(w_1,w_2)$ di $W$ e completala ad una base $(w_1,w_2,w_3,w_4)$ di $RR^4$.

Ti basta capire come agisce l'omomorfismo $T$ cercato sui vettori di questa base.
Devi imporre che $W="ker"T$, cioè $T(w_1)=T(w_2)=0$
e che $ ="Im"T= ^\bot$.
Devi solo scegliere opportunamente $T(w_3)$ e $T(w_4)$.

[indovina]

Ho trovato sul piedipagina questo aiuto:

in base standard di $RR^4$ il sistema associato è il sottospazio $V=L((-2,5,3,0),(0,1,0,1))$

c'entra qualcosa con quello che dici tu?

[cirasa]

Ti dice qual è lo spazio $V$ rappresentato dal sistema (io prima l'avevo chiamato $W$).
Ti dice che una sua base è [tex]\left(w_1=(-2,5,3,0)^T,w_2=(0,1,0,1)^T\right)[/tex] (perchè?)
Ora prosegui con l'esercizio come ti ho suggerito in precedenza. Completa ad una base [tex]\left(w_1,w_2,w_3,w_4\right)[/tex] e vai avanti.
Devi determinare altri due vettori [tex]w_3,w_4[/tex] e poi capire in che modo si può scegliere [tex]T(w_i)[/tex]...

[indovina]

Forse sembro stupido, ma come ha trovato

($w_1=(-2,5,3,0)^T, w_2=(0,1,0,1)^T)

[cirasa]

In effetti non è immediato accorgersene...
$(w_1,w_2)$ è una possibile base fra le basi di $V$.
Nota che $V$ ha dimensione $2$ (perchè $2=4-rank(A)$ dove $A$ è la matrice dei coefficienti del sistema che determina $V$), $w_1$ e $w_2$ appartengono a $V$ (risolvono il sistema) e sono linearmente indipendenti. Quindi $(w_1,w_2)$ è una base di $V$.

[indovina]

Ah ecco, bastava dirmi che risolvono il sistema
Infatti mi trovo, in effetti questo calcolo è piu di logica, mettere i numeri in quel sistemino per vedere che da $0$

Poi mi trovo che ha dimensione $2$
Dim = n° di variabili - rango della matrice
$Dim=4-2$

Io ho completato base con i vettori banali del tipo: $(0,0,1,0)$ e $(0,0,0,1)$
Nel frattempo vedo che:

$v=(1,-1,1)$
quindi: $x-y+z=0$
mi trovo due vettori che fanno uscire $0$
Trovo: $(1,1,0)$ e $(0,1,1)$

ora cosa faccio?

[cirasa]

Ricapitolando:
Abbiamo posto [tex]w_1=(-2,5,3,0)^T,\,w_2=(0,1,0,1)^T,\,w_3=(0,0,1,0)^T,\,w_4=(0,0,0,1)^T[/tex].
[tex]\displaystyle (w_1,w_2)[/tex] è una base di $V$ (che sarà il nucleo di [tex]\displaystyle T[/tex]).
Poniamo [tex]\displaystyle v_1=(1,1,0)^T,v_2=(0,1,1)^T\in\mathbb{R}^3[/tex]. Questi due vettori formano una base di [tex]\displaystyle ^\perp[/tex].

Ora rileggi quello che ho scritto ieri:

"cirasa":Ti basta capire come agisce l'omomorfismo $T$ cercato sui vettori di questa base.
Devi imporre che $W="ker"T$, cioè $T(w_1)=T(w_2)=0$
e che $ ="Im"T= ^\bot$.
Devi solo scegliere opportunamente $T(w_3)$ e $T(w_4)$.