Sottospazio ortogonale

[firepool]

Salve a tutti! questo è il mio primo post qui su matematicamente. quello che mi ha spinto a chiedere una mano a voi è il seguente problema:

Sia \(\displaystyle U \subset \) R4 il sottospazio vettoriale definito dall'equazione \(\displaystyle x_1 -2x_2 + x_3 - 3x_4 = 0 \)
Sia \(\displaystyle U' \subset U \) il sottospazio vettoriale formato da tutti i vettori di \(\displaystyle U \) che sono ortogonali al vettore \(\displaystyle w = (2, 0, -1, 1) \). Si determini una base di \(\displaystyle U' \).

A primo impatto ho tentato di risolverlo imponendo che il generico vettore \(\displaystyle u = (x,y,z,t) \) sia ortogonale a \(\displaystyle w \), trovando un sottospazio di dimensione 3. Il dubbio è: operando in questo modo non dovrei trovare tutti i vettori di R4 ortogonali a \(\displaystyle w \) invece che solamente quelli appartenenti a \(\displaystyle U \)?

Grazie mille a chiunque risponda!

[Sk_Anonymous]

Il tuo dubbio è sensato. Per eliminarlo, tra i vettori che hai trovato imponendo la condizione di ortogonalità devi scegliere quelli che soddisfano la condizione data
$ x_1-2x_2+x_3-3x_4=0 $
In altre parole devi risolvere il sistema :
\(\displaystyle \begin{cases}x_1-2x_2+x_3-3x_4=0\\2x_1-x_3+x_4=0\end{cases} \)
di cui la prima equazione è la condizione data e la seconda è la condizione di ortogonalità.
Dal sistema ti accorgi che in realtà $dim(U')=2$ e che quindi per trovare una base di $U'$ è sufficiente dare 2 valori arbitrari a 2 delle 4 variabili che compaiono nel sistema. Per esempio:
A) $x_3=4,x_4=0$ da cui $x_1=2,x_2=3$
B) $x_3=0,x_4=4$ da cui $x_1=-2,x_2=-7$
Con questi valori una basi di $U'$ è:
$<(2,3,4,0)^t,(-2,-7,0,4)^t>$

[ciampax]

Attento: dice che $U'\subset U$, pertanto se prendi un generico vettore $u=(x,y,z,t)\in U'$ devono valere due condizioni:
$$x-2y+z-3t=0,\qquad 2x-z+t=0$$
la prima assicura che il vettore sia in $U$, la seconda che sia ortogonale a $w$.

[firepool]

"ciromario":Il tuo dubbio è sensato. Per eliminarlo, tra i vettori che hai trovato imponendo la condizione di ortogonalità devi scegliere quelli che soddisfano la condizione data
$ x_1-2x_2+x_3-3x_4=0 $
In altre parole devi risolvere il sistema :
\(\displaystyle \begin{cases}x_1-2x_2+x_3-3x_4=0\\2x_1-x_3+x_4=0\end{cases} \)
di cui la prima equazione è la condizione data e la seconda è la condizione di ortogonalità.
Dal sistema ti accorgi che in realtà $dim(U')=2$ e che quindi per trovare una base di $U'$ è sufficiente dare 2 valori arbitrari a 2 delle 4 variabili che compaiono nel sistema. Per esempio:
A) $x_3=4,x_4=0$ da cui $x_1=2,x_2=3$
B) $x_3=0,x_4=4$ da cui $x_1=-2,x_2=-7$
Con questi valori una basi di $U'$ è:
$<(2,3,4,0)^t,(-2,-7,0,4)^t>$

"ciampax":Attento: dice che $ U'\subset U $, pertanto se prendi un generico vettore $ u=(x,y,z,t)\in U' $ devono valere due condizioni:
\[ x-2y+z-3t=0,\qquad 2x-z+t=0 \]
la prima assicura che il vettore sia in $ U $, la seconda che sia ortogonale a $ w $.

Questo è esattamente il secondo modo con cui ho risolto l'esercizio, vi ringrazio per avermi confermato la corretezza, grazie ancora