Sottospazio
Salve a tutti...ho questo sottospazio.
W[size=59]1[/size]=(2,-1,3),(2,1,1) e lo devo portare in forma cartesiana...
So che devo calcolare il determinante di questa matrice:
$((2,2,x),(-1,1,y),(3,1,z))$ ma non ho capito xkè... potete aiutarmi?
W[size=59]1[/size]=(2,-1,3),(2,1,1) e lo devo portare in forma cartesiana...
So che devo calcolare il determinante di questa matrice:
$((2,2,x),(-1,1,y),(3,1,z))$ ma non ho capito xkè... potete aiutarmi?
Risposte
E' semplice. La condizione di appartenenza di $(x,y,z)$ a W è la dipendenza lineare di $(x,y,z)$ dai generatori di W. Ovvero la richiesta che il rango della matrice che hai scritto non sia massimo.
$((x),(y),(z))$ sono le coordinate di un generico vettore (ad esempio di $RR^3$) rispetto ad una fissata base.
Il sottospazio $W$ è dato da tutte e sole le combinazioni lineari dei vettori $v=((2),(-1),(3))$ , $w=((2),(1),(1))$, quindi, preso $u=av+bw$ ($a,b in RR$) avremo che la matrice che ha come colonne le coordinate di $v$,$w$,$av+bw$ ha determinante nullo (come saprai, se le colonne sono linearmente dipendenti, il determinante è $0$...). Ma allora sto dicendo che le coordinate di $u$ devono soddisfare alla relazione:
$det((2,2,x),(-1,1,y),(3,1,z))=0$ (*)
Ricapitolando: se vale (*), abbiamo che $u$ è combinazione lineare di $v$ e $w$, dunque sta in $W$. Se non vale (*), $u$ non è combinazione lineare di $v$ e $w$, pertanto non sta in $W$.
Comunque ti invito a rifletterci da solo... L'unico metodo valido per comprendere a fondo un concetto è quello di arrangiarsi (non fraintendere, è un piacere aiutare...). Vedrai che, quando avrai afferrato un concetto con le tue forze, esso sarà tuo per sempre.
Il sottospazio $W$ è dato da tutte e sole le combinazioni lineari dei vettori $v=((2),(-1),(3))$ , $w=((2),(1),(1))$, quindi, preso $u=av+bw$ ($a,b in RR$) avremo che la matrice che ha come colonne le coordinate di $v$,$w$,$av+bw$ ha determinante nullo (come saprai, se le colonne sono linearmente dipendenti, il determinante è $0$...). Ma allora sto dicendo che le coordinate di $u$ devono soddisfare alla relazione:
$det((2,2,x),(-1,1,y),(3,1,z))=0$ (*)
Ricapitolando: se vale (*), abbiamo che $u$ è combinazione lineare di $v$ e $w$, dunque sta in $W$. Se non vale (*), $u$ non è combinazione lineare di $v$ e $w$, pertanto non sta in $W$.
Comunque ti invito a rifletterci da solo... L'unico metodo valido per comprendere a fondo un concetto è quello di arrangiarsi (non fraintendere, è un piacere aiutare...). Vedrai che, quando avrai afferrato un concetto con le tue forze, esso sarà tuo per sempre.
OK tutto chiaro 
Un'altra domanda facile facile...per trovare l'intersezione tra W[size=75]1[/size]= ( (x,y,z): x-y-z=0 ) e W[size=75]2[/size]= ( (x,y,z,): 2z+y-2x=0 ) basta eguagliare x-y-z=2z+y-2x e trovo x-z=0 giusto?
Uguaglio xkè il generico vettore sta sia in W[size=75]1[/size] che in W[size=75]2[/size], no?
Un'altra domanda facile facile...per trovare l'intersezione tra W[size=75]1[/size]= ( (x,y,z): x-y-z=0 ) e W[size=75]2[/size]= ( (x,y,z,): 2z+y-2x=0 ) basta eguagliare x-y-z=2z+y-2x e trovo x-z=0 giusto?
Uguaglio xkè il generico vettore sta sia in W[size=75]1[/size] che in W[size=75]2[/size], no?
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