Sottospazio
Sia $U$ il sottospazio di $R^4$ così definito:
$U=L((1,1,0,1),(0,1,-1,1),(3,1,2,1))$
Dire quali dei seguenti sottoinsiemi di $R^4$ sono basi di $U$:
$S_1={(1,1,0,1),(2,0,2,0),(3,1,2,1)}$
$S_2={(1,0,1,0),(1,2,-1,2)}$
$S_3={(1,1,0,1),(0,1,-1,0)}$
$S_4={(0,0,1,0),(0,1,-1,0)}$
$U=L((1,1,0,1),(0,1,-1,1),(3,1,2,1))$
Dire quali dei seguenti sottoinsiemi di $R^4$ sono basi di $U$:
$S_1={(1,1,0,1),(2,0,2,0),(3,1,2,1)}$
$S_2={(1,0,1,0),(1,2,-1,2)}$
$S_3={(1,1,0,1),(0,1,-1,0)}$
$S_4={(0,0,1,0),(0,1,-1,0)}$
Risposte
La cosa che nn riesco a capire è questa:
Quando faccio il rango della matrice dei vettori del sottospazio U mi viene 2 quindi ci sono due vettori linearmente indipendenti che sono:$(1,1,0,1),(0,1,-1,1)$ ora come faccio a capire quali sono i vettori tra quei 4 sottoinsiemi che rappresentano una base per $U$??
Grazie!!a tutti!!
Quando faccio il rango della matrice dei vettori del sottospazio U mi viene 2 quindi ci sono due vettori linearmente indipendenti che sono:$(1,1,0,1),(0,1,-1,1)$ ora come faccio a capire quali sono i vettori tra quei 4 sottoinsiemi che rappresentano una base per $U$??
Grazie!!a tutti!!
Potresti scrivere l'equazione cartesiana di $U$ e quella di ogni $S_i$, un po' lungo come procedimento, ma funzionerebbe.
Comunque si vede a occhio che non può essere $S_4$, perché l'ultima componente dei due vettori è nulla, ad esempio...
Comunque si vede a occhio che non può essere $S_4$, perché l'ultima componente dei due vettori è nulla, ad esempio...
cioè ricavare ad esempio l'equazione cartesiana di U e l'equazione cartesiana di $S_1$ metterle a sistema e ricavare le soluzioni...se le soluzioni sono tutte uguali a 0 i vettori di $S_1$ sono linearmente indipendenti e quindi costituiscono una base del sottospazio $U$...giusto???
No, più semplice: ricavare l'equazione cartesiana di $U$, ricavare quella dello spazio generato dai vettori di $S_1$, se sono uguali allora $S_1$ è una base di $U$.
Dal momento che dim$U=2$ non credo che $S1$ andrà bene....
"Ravok":
Dal momento che dim$U=2$ non credo che $S1$ andrà bene....
Ma i vettori in $S_1$ non sono linearmente indipendenti...
"Tipper":
[quote="Ravok"]Dal momento che dim$U=2$ non credo che $S1$ andrà bene....
Ma i vettori in $S_1$ non sono linearmente indipendenti...[/quote]
Poi può darsi benissimo che non vada bene lo stesso, non ho fatto i conti, ma lo spazio generato dai vettori di $S_1$ ha dimensione $2$.
Una base non può essere formata da vettori linearmente dipendenti...
Io proverei col scrivere le due equazioni che descrivono $U$ e poi vedere quale delle tre $S$ rimanenti soddisfa quelle due equazioni
Io proverei col scrivere le due equazioni che descrivono $U$ e poi vedere quale delle tre $S$ rimanenti soddisfa quelle due equazioni
"Ravok":
Una base non può essere formata da vettori linearmente dipendenti...
Io proverei col scrivere le due equazioni che descrivono $U$ e poi vedere quale delle tre $S$ rimanenti soddisfa quelle due equazioni
Ah, giusto! Se chiede una base non può essere di certo $S_1$, perché non è un insieme indipendente, chiedo venia...
Cmq io l'ho fatto così.....
Ho posto i vettori di $U$ in questo modo:
$U$ $= ((1,1,0,1),(0,1,-1,1),(3,1,2,1),(x,y,z,t))$
e ho estratto questi minori di terzo ordine :
$((1,-1,1),( 1,2,1),(y,z,t))$ che mi dà questa equazione:$3t-3y$
$((0,-1,1),(3,2,1),(x,y,z))$ che mi dà questa equazione:$3t-3x+3z$
$((0,1,-1),( 3,1,2),( x,y,z))$ che mi dà questa equazione:$3x-3z-3y$
Ora mettendo in forma cartesiana anche $S_2$:
$S_2$ $=((1,0,1,0),(1,2,-1,2),(x,y,z,t))$
e anche qui estraendo minori di terzo ordine ho ottenuto queste 3 equazioni :
$2z+2y-2x$
$2y-2t$
$2x-2z-2t$
Ora poichè non sono uguali il sottoinsieme $S_2$ non costituisce una base di $U$…
Adesso mi chiedo devo fare la stessa cosa anche per $S_3$ e $S_4$???
Ho posto i vettori di $U$ in questo modo:
$U$ $= ((1,1,0,1),(0,1,-1,1),(3,1,2,1),(x,y,z,t))$
e ho estratto questi minori di terzo ordine :
$((1,-1,1),( 1,2,1),(y,z,t))$ che mi dà questa equazione:$3t-3y$
$((0,-1,1),(3,2,1),(x,y,z))$ che mi dà questa equazione:$3t-3x+3z$
$((0,1,-1),( 3,1,2),( x,y,z))$ che mi dà questa equazione:$3x-3z-3y$
Ora mettendo in forma cartesiana anche $S_2$:
$S_2$ $=((1,0,1,0),(1,2,-1,2),(x,y,z,t))$
e anche qui estraendo minori di terzo ordine ho ottenuto queste 3 equazioni :
$2z+2y-2x$
$2y-2t$
$2x-2z-2t$
Ora poichè non sono uguali il sottoinsieme $S_2$ non costituisce una base di $U$…
Adesso mi chiedo devo fare la stessa cosa anche per $S_3$ e $S_4$???
Cmq le equazioni cartesiane di $U$ e le equazioni cartesiane del sottoinsieme $S_2$ non coincidono...ma sicuro che si deve fare in questo modo??perchè ho provato con gli altri due sottoinsiemi e nemmeno le loro equazioni coincidono con quelle del sottospazio $U$....
Prova a fare come ha detto Ravok, è sicuramente più veloce. Dopo aver scritto l'equazione cartesiana di $U$, sostituiscici i vettori di $S_2$, se entrambe le equazioni sono soddisfatte allora $S_2$ è una base. Se non funziona con $S_2$ prova con $S_3$.
Cioè sostituire i vettori del sottoinsieme $S_2$ nelle equazioni cartesiane di $U$ che sono:
$3t-3y$
$3t-3x+3z$
$3x-3z-3y$
se i vettori di $S_2$ annullano tutte e tre le equazioni allora essi costituiscono una base di $U$....
$3t-3y$
$3t-3x+3z$
$3x-3z-3y$
se i vettori di $S_2$ annullano tutte e tre le equazioni allora essi costituiscono una base di $U$....
L'equazione cartesiana di $U$ è:
$\{(y=x-z),(t=y):}$
Sostituendo il primo vettore di $S_2$ si ottiene:
$\{(0=1-1),(0=0):}$ questo è verificato
sostituendo invece il secondo vettore di $S_2$ si ottiene:
$\{(2=1-(-1)),(2=2):}$ anche questo è verificato
quindi $S_2$ va bene.
$\{(y=x-z),(t=y):}$
Sostituendo il primo vettore di $S_2$ si ottiene:
$\{(0=1-1),(0=0):}$ questo è verificato
sostituendo invece il secondo vettore di $S_2$ si ottiene:
$\{(2=1-(-1)),(2=2):}$ anche questo è verificato
quindi $S_2$ va bene.
Cmq io avevo sbagliato a ricavare la forma cartesiana di $U$ però ora ho fatto in questo modo e mi vengono due equazioni
ma non quelle che mi hai postato tu pertanto:
$\{(x+y+t=0),(y-z+t=0),(3x+y+2z+t=0):}$ ho messo sottoforma di soluzioni del sistema omogeneo il sottoinsieme $U$
e ho ricavato queste due equazioni:
$\{(x=-z),(y=z-t):}.....
ma non quelle che mi hai postato tu pertanto:
$\{(x+y+t=0),(y-z+t=0),(3x+y+2z+t=0):}$ ho messo sottoforma di soluzioni del sistema omogeneo il sottoinsieme $U$
e ho ricavato queste due equazioni:
$\{(x=-z),(y=z-t):}.....
Mi sa che quella non è l'equazione cartesiana di $U$: ad esempio il vettore $(1,1,0,1)$ non rispetta la prima equazione.
Per trovare l'equazione cartesiana ragiona così: la dimensione è due, due vettori linearmente indipendenti di $U$ sono, ad esempio, i vettori $((1),(1),(0),(1))$ e $((0),(1),(-1),(1))$ (se invece di $((1),(1),(0),(1))$ prendevi $((3),(1),(2),(1))$ non cambiava nulla...).
Quindi il generico vettore di $U$ è una combinazione lineare di $((1),(1),(0),(1))$ e $((0),(1),(-1),(1))$, ovvero si scrive come $\alpha((1),(1),(0),(1)) + \beta((0),(1),(-1),(1))=((\alpha),(\alpha+\beta),(-\beta),(\alpha+\beta))$ per qualche $\alpha, \beta \in \mathbb{R}$.
Volendo passare all'equazione cartesiana si pone:
$\{(x=\alpha),(y=\alpha+\beta),(z=\-beta),(t=\alpha+\beta):}$
Sostituendo si ottiene:
$\{(y=x-z),(t=x-z):}$ che si può scrivere anche come
$\{(y=x-z),(y=t):}$
Claro?
Per trovare l'equazione cartesiana ragiona così: la dimensione è due, due vettori linearmente indipendenti di $U$ sono, ad esempio, i vettori $((1),(1),(0),(1))$ e $((0),(1),(-1),(1))$ (se invece di $((1),(1),(0),(1))$ prendevi $((3),(1),(2),(1))$ non cambiava nulla...).
Quindi il generico vettore di $U$ è una combinazione lineare di $((1),(1),(0),(1))$ e $((0),(1),(-1),(1))$, ovvero si scrive come $\alpha((1),(1),(0),(1)) + \beta((0),(1),(-1),(1))=((\alpha),(\alpha+\beta),(-\beta),(\alpha+\beta))$ per qualche $\alpha, \beta \in \mathbb{R}$.
Volendo passare all'equazione cartesiana si pone:
$\{(x=\alpha),(y=\alpha+\beta),(z=\-beta),(t=\alpha+\beta):}$
Sostituendo si ottiene:
$\{(y=x-z),(t=x-z):}$ che si può scrivere anche come
$\{(y=x-z),(y=t):}$
Claro?
fai decisamente prima con le colonne...
una è identica ad un altra... un'altra è la combinazione lineare delle altre 2...
quindi una base è formata dal vettore ${A^2, A^3}$
così a occhio cmq credo che i vettori dipendenti nel tuo caso siano ${A_1, A_2}$... puoi notarlo probabilmente riducendo a scala...
una è identica ad un altra... un'altra è la combinazione lineare delle altre 2...
quindi una base è formata dal vettore ${A^2, A^3}$
così a occhio cmq credo che i vettori dipendenti nel tuo caso siano ${A_1, A_2}$... puoi notarlo probabilmente riducendo a scala...
Cosa intendi con $\{A^2, A^3\}$?
le colonne 2 e 3
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