Sottospazio

[folgore1]

Sia $U$ il sottospazio di $R^4$ così definito:
$U=L((1,1,0,1),(0,1,-1,1),(3,1,2,1))$

Dire quali dei seguenti sottoinsiemi di $R^4$ sono basi di $U$:
$S_1={(1,1,0,1),(2,0,2,0),(3,1,2,1)}$
$S_2={(1,0,1,0),(1,2,-1,2)}$
$S_3={(1,1,0,1),(0,1,-1,0)}$
$S_4={(0,0,1,0),(0,1,-1,0)}$

[_Tipper]

Come fa una base ad essere formata da due vettori colonna?!? $U$ è un sottospazio di $\mathbb{R}^4$, quindi i vettori che lo generano sono le righe, non possono essere le colonne...

[Lammah]

mah fino a prova contraria una base banale da trovare la si trova prendendo i vettori colonna linearmente indipendenti ovveri quelli dove stanno i pivot nella matrice A' ridotta a scala e che corrispondo alle colonne della matrice A di partenza...
provare per credere

[_Tipper]

Ma scusa... i vettori colonna sono tutti contenuti in $\mathbb{R}^3$, mentre i vettori riga fanno tutti parte di $\mathbb{R}^4$; se il testo dice che $U$ è un sottospazio di $\mathbb{R}^4$, quali sono i vettori che generano $U$, le righe o le colonne?

[Lammah]

è sufficiente completare la matrice grazie ai vettori della matrice canonica così che sia un sottospazio in $R^4$...

[_Tipper]

Non ti seguo...

[Lammah]

scriviamo il primo vettore come combinazione lineare dei vettori della base canonica di $R^4$

$(1,1,1) = 1e_1 + 1e_2 + 1e_3 + 0e_4$

ora chiamando il vettore $w_1$ otteniamo una base $B_1 = {w1, e2, e3, e4}$

ora scriviamo w2, il secondo vettore, come combinazione lineare di dei vettori di $B_1$

$(0,-1,2) = 1w_1 -2e_2 + 1e_3 + 0e_4$

adesso secondo il teorema del completamento se sostituiamo un vettore qualsiasi $B_1$ ottengo cmq una base di $R^4$..
sostituiamo quindi per esempio la $e_4$ ed otteniamo la base ${w_1, w_2, e_2, e_3}$

[_Tipper]

"Lammah":scriviamo il primo vettore come combinazione lineare dei vettori della base canonica di $R^4$

$(1,1,1) = 1e_1 + 1e_2 + 1e_3 + 0e_4$

Che io sappia questa scrittura è sbagliata, quella esatta è:

$(1,1,1,0)=1e_1 + 1e_2 + 1e_3 + 0e_4$

[Lammah]

bho a me viene così...

[_Tipper]

Detto terra terra: i vettori a destra dell'uguale hanno tutti $4$ componenti, come farebbe il vettore a sinistra dell'uguale ad averne $3$?

[Lammah]

in effetti l'ultima riga viene una sfilza di zeri e si torna in $R^3$...
vero il ragionamento non torna..