Sottospazi vettoriali

[Anna.interfree]

Ciao
Vi sarei grata se mi spiegaste passo-passo come risolvere
l'esercizio:
in R3 e' assegnato il sottospazio
U:2x-y+3z=0 determinare:
- base e dimenione del sottospazio U
- eq cartesiana, una base e la dimensione
del sottospazio V complemento ortogonale d U
- il sottospazio Q di dimensione 2 contenente
il sottospazio V ed il vettore q(1,0,1)

Vi ringrazio
ciao Anna

[Sk_Anonymous]

a) Dall'equazione di U si trae:
(1) $y=2x+3z$
e quindi le variabili libere sono x e z.Pertanto:
$dim(U)=2,base(U)={(0,3,1),(1,2,0)}$
che si ottiene da (1) per $ (x=0,z=1),(x=1,z=0) $

b)Se (x,y,z) e' il generico vettore di V in $R^3$, deve essere:
$(((x,y,z)*(0,3,1)=0),((x,y,z)*(1,2,0)=0))$
[dove il punto "." e' il simbolo dell'ordinario prodotto scalare]
ovvero:
(2) $((3y+z=0),(x+2y=0))$ da cui $((x=-2y),(z=-3y))$
Questa volta la variabile libera e' solo la y e dunque:
$dim(V)=1$ com'e' ovvo e $base(V)={(2,-1,3)}$ ottenuta per $y=-1$
Le equazioni cartesiane di V sono rappresentate dal sistema (2).

c) Il sottospazio Q si puo' costruire prendendo come base di Q medesimo
il vettore base di V ed il vettore $vec(q)$ ,dato che essi sono linearmente indipendenti.
Pertanto:
$base(Q)={(2,-1,3),(1,0,1)}$
Volendo si puo' dire che l'equazione cartesiana di Q e' $x-y-z=0$
karl

[Anna.interfree]

ti ringrazio
ciao