Sottospazi, spazi vettoriali e somma diretta
Ciao a tutti. Ho un enorme dubbio che mi assilla da parecchio tempo e fino ad ora non sono riuscito a trovare qualcuno che mi desse una risposta sufficientemente chiara ( o forse sono stato io che non ho recepito i messaggi). In ogni caso questo e' il mio quesito: si dice spazio vettoriale un insieme V=(v1,...,vn) che sia chiuso rispetto all' operazione di somma per un vettore e prodotto per uno scalare. Oltre al fatto che deve esistere un elemento neutro O(vettoriale) dato da v_1—v_1=0 tale che O+u=u e uO=O.
Allora adesso pensiamo ad uno spazio V in R^2 e dobbiamo dimostrare che i sottoinsiemi (u_1,...,u_n)€U e (w_1,...,w_n)€W di questo spazio generano i sottosp. vettoriali UeW . Attraverso la combinazione lineare di due vettori u/w_1 + u/w_n, si dimostra che questi ssv sono chiusi rispetto all' operazione di somma e prodotto( ma lo potevamo anche capire in quanto uno spazio vett e' anche sottospazio). Quello che mi sconvolge un po' la vita e' la somma diretta. Infatti se il sottospazio e' span di v_1,...,v_n allora la somma diretta non e' data dallo Span?
Secondo me il mio problema e' che non ho ancora capito che cosa sia un ssv. Io credo che dipenda dalla dimensione dello spazio considerato. Infatti in R sono tutti gli scalari reali, in r^2 invece e' lo spazio generato da due vettori: ad esempio v=(1,0) e v_1=(0,1) sono base di R^2 ma anche generatori di sottospazi come lo e' anche la loro somma che si traduce geometricamente nella regola del parallelogramma, il tutto riassunto da Span=(v_1,v_2) ( e cioè nello span allora non c' e' anche somma diretta?).
Grazie per l attenzione
Allora adesso pensiamo ad uno spazio V in R^2 e dobbiamo dimostrare che i sottoinsiemi (u_1,...,u_n)€U e (w_1,...,w_n)€W di questo spazio generano i sottosp. vettoriali UeW . Attraverso la combinazione lineare di due vettori u/w_1 + u/w_n, si dimostra che questi ssv sono chiusi rispetto all' operazione di somma e prodotto( ma lo potevamo anche capire in quanto uno spazio vett e' anche sottospazio). Quello che mi sconvolge un po' la vita e' la somma diretta. Infatti se il sottospazio e' span di v_1,...,v_n allora la somma diretta non e' data dallo Span?
Secondo me il mio problema e' che non ho ancora capito che cosa sia un ssv. Io credo che dipenda dalla dimensione dello spazio considerato. Infatti in R sono tutti gli scalari reali, in r^2 invece e' lo spazio generato da due vettori: ad esempio v=(1,0) e v_1=(0,1) sono base di R^2 ma anche generatori di sottospazi come lo e' anche la loro somma che si traduce geometricamente nella regola del parallelogramma, il tutto riassunto da Span=(v_1,v_2) ( e cioè nello span allora non c' e' anche somma diretta?).
Grazie per l attenzione
Risposte
"Maaxpower":
si dice spazio vettoriale un insieme V=(v1,...,vn) che sia chiuso rispetto all' operazione di somma per un vettore e prodotto per uno scalare. Oltre al fatto che deve esistere un elemento neutro O(vettoriale) dato da v_1—v_1=0 tale che O+u=u e uO=O.
Impreciso. inoltre, per ciò che hai scritto dopo, noto molta confusione e fatico a capire cosa tu voglia dire/esprimere sinceramente.
Uno spazio vettoriale è in buona sostanza una struttura algebrica munita di due operazioni, cioè particolari applicazioni; una interna e una esterna. Più formalmente , se $V$ è un insieme non vuoto, $\mathbb{K}$ un campo e se
$+ : V \times V \rightarrow V$ e $* : \mathbb{K} \times V \rightarrow V$ sono due applicazioni tali che :
1) $(V,+)$ è un gruppo. (+ associativa, esiste l'elemento neutro (zero) ,+ commutativa, ogni elemento di V ha un simmetrico)
2) $\forall \lambda \in \mathbb{K} \forall v,w \in V : \lambda*(v+w)=\lambda*v+\lambda*w$
3) $\forall \lambda , \mu \in \mathbb{K} \forall v\in V : (\lambda+\mu)*v=\lambda*v+\mu*v$
4) $\forall \lambda , \mu \in \mathbb{K} \forall v \in V : (\lambda*\mu)*v=\lambda*(\mu *v)$
5) $\forall v\in V : 1*v=v$
si dice che la terna $(V,+,*)$ è uno spazio vettoriale costruito su $\mathbb{K}$
Cosa non ti è chiaro di questa definizione?
Un sottospazio vettoriale, in parole spicce, è semplicemente un sottoinsieme $W$ non vuoto di $V$ che preserva la struttura di spazio vettoriale, ossia $(W,+)$ è un sottogruppo di $(V,+)$ e in particolare con $*$ $W$ è chiuso. Esistono almeno un paio di caratterizzazioni che ti permettono di stabilire se un certo sottoinsieme di $V$ è un sottospazio vettoriale, ad esempio, questa (che ti invito a provare a dimostrare) :
Per quanto riguarda il sottospazio somma , facciamo prima una breve digressione. Avrai certamente visto che per quanto riguarda l'intersezione di due sottospazi, hai che è un sottospazio vettoriale; cosa non vera , in generale , per l'unione. Un problema che ci si può porre è il seguente : Dati $W,U$ sottospazi di $V$, esiste un sottospazio di $V$ tale che ne contenga l'unione?
La risposta è affermativa ed è data appunto dalla somma dei due sottospazi.
Posto $U+W = { v \in V | \exists u\in U,w\in W t.c v=u+w}$, si dimostra che tale insieme è un sottospazio vettoriale ed è il più piccolo rispetto alla relazione di inclusione contenente sia $U$ che $W$.
Una volta introdotta la nozione di spazio generato, si dimostra che (questa è una di caratterizzazione) , $U+W = < U uu W>$.
Dubbi su questa parte, cosa non ti è chiaro?
Saluti.
Scusami innanzitutto per come mi sono espresso. Ho sbagliato nel dire che uno spazio vettoriale ha l operazione di moltiplicazione per uno scalare chiusa. Quello che io volevo chiedere in parole povere e se quando parliamo di sottospazio vettoriale noi ci riferiamo solo e sempread una rettA (mi riferisco per lo piu ai casi in r^2)?!. Voglio semplicemente sapere cos'è )un sottospazio geometricamente! Infatti le proprietà che devo verificare a me sembrano sempre verificabili, ma ad esempio se abbiamo un insieme V={(x,y,z)|x+y+z=1} ,questo non e' ssv. Eppure a mio modesto parere le condizioni mi sembrano verificabili... L unica risposta che saprei dare sul perche potrebbe non essere ssv e' che non passa per l origine . Giusto? Inoltre un sottospazio vettoriale e' descritto ( supponendo r^2 come spazio) sempre da una retta, giusto? E allora perche lo Span e' descritto come l insieme di tutte le combinazioni lineari di piu vettori in uno spazio? Cioè una retta non può essere descritta da piu vettori diversi ma al limite dai suoi multipli, o sbaglio?( e' così che interpreto le proprietà di un sottospazio: la somma di due punti vettoriali deve appartenere al sottospazio). Solo togliendo,i questo dubbio saprei dare una spiegazione alla somma diretta che si esprime in modo unico come somma di due sottospazi (Differenti). Altrimenti, se i sottospazi fossero descritti da piu rette, allora la somma diretta non sarebbe già inclusa nella combinazione lineare ???
Se sei in $\mathbb{R}^n$ un qualsiasi sottospazio è generato da una base che però deve avere cardinalità minore di $\mathbb{R}^n$, e quindi il sottospazio avrà dimensione minore di $n$.
Nel caso di $\mathbb{R}^2$ la dimensione è $n=2$ e quindi la dimensione di un qualsiasi sottospazio dev'essere $1$ (o $0$, in questo caso è il sottospazio banale contenente solo l'origine), ovvero la base sarà composta da un solo vettore $\mathbf{b}_1$. Ogni elemento del sottospazio sarà quindi combinazione lineare dei vettori della base, in questo caso $\mathbf{v} = \alpha \mathbf{b}_1$, ovvero una retta.
Se siamo in $\mathbb{R}^3$ i sottospazi propri saranno i piani, le rette e l'origine, ovvero tutti i sottospazi che hanno dimensione minore di $3$.
In generale, se $\mathbf{V}$ è uno s.v. e $\mathbf{W}$ un suo s.s.v. allora $0 <= dim(\mathbf{W}) \lt dim(\mathbf{V})$ dove lo spazio di dimensione $0$ è lo spazio contentente il solo vettore $\mathbf{0}$.
Spero di averti dato l'intuizione geometrica che cercavi!
PS Racchiudi le formule tra i simboli di dollaro in modo da formattare le formule e aggiungi qualche a capo nei tuoi messaggi in modo da rendere più agevole la lettura
Nel caso di $\mathbb{R}^2$ la dimensione è $n=2$ e quindi la dimensione di un qualsiasi sottospazio dev'essere $1$ (o $0$, in questo caso è il sottospazio banale contenente solo l'origine), ovvero la base sarà composta da un solo vettore $\mathbf{b}_1$. Ogni elemento del sottospazio sarà quindi combinazione lineare dei vettori della base, in questo caso $\mathbf{v} = \alpha \mathbf{b}_1$, ovvero una retta.
Se siamo in $\mathbb{R}^3$ i sottospazi propri saranno i piani, le rette e l'origine, ovvero tutti i sottospazi che hanno dimensione minore di $3$.
In generale, se $\mathbf{V}$ è uno s.v. e $\mathbf{W}$ un suo s.s.v. allora $0 <= dim(\mathbf{W}) \lt dim(\mathbf{V})$ dove lo spazio di dimensione $0$ è lo spazio contentente il solo vettore $\mathbf{0}$.
Spero di averti dato l'intuizione geometrica che cercavi!
PS Racchiudi le formule tra i simboli di dollaro in modo da formattare le formule e aggiungi qualche a capo nei tuoi messaggi in modo da rendere più agevole la lettura
Grazie, mi avete chiarito molte cose ma mi rimane ancora qualche dubbio da togliermi; scusate la mia pesantezza:
1) quindi in pratica per uno spazio $R^n$ esisteranno tanti vettori base quanti servono a raggiungere la dimensione n. Giusto?
2) la somma diretta allora si dice che e' espressa in modo unico perche' e' data dalla somma di due vettori che generano e che sono l.i?
3) mi spieghi allora perche' se V={(x,y,z)|x+y+z=-1} allora non e' ssv? Infatti la proprieta' sv1) v=(x,y,z) e v1=(x_1,y_1,z_1)
--> (x+x_1,y+y_1,z+z_1) € V mi risulta che sia verificata, o mi sbaglio? E anche la proprietà sv2) prendendo uno scalare appartenente a $R$ il risultato dovrebbe sempre appartenere a V. Ripeto l unica risposta che avrebbe senso per me e' che la retta non contenga l' origine.... So anche che se c' e' un equazione con termini al quadrato non si può,parlare di spazi vettoriali perche' in questo copaso avremo delle curve e non delle rette ( es $x^2+y^2=1 eq. Della circonferenza).
Ringrazio di nuovo per l attenzione!
1) quindi in pratica per uno spazio $R^n$ esisteranno tanti vettori base quanti servono a raggiungere la dimensione n. Giusto?
2) la somma diretta allora si dice che e' espressa in modo unico perche' e' data dalla somma di due vettori che generano e che sono l.i?
3) mi spieghi allora perche' se V={(x,y,z)|x+y+z=-1} allora non e' ssv? Infatti la proprieta' sv1) v=(x,y,z) e v1=(x_1,y_1,z_1)
--> (x+x_1,y+y_1,z+z_1) € V mi risulta che sia verificata, o mi sbaglio? E anche la proprietà sv2) prendendo uno scalare appartenente a $R$ il risultato dovrebbe sempre appartenere a V. Ripeto l unica risposta che avrebbe senso per me e' che la retta non contenga l' origine.... So anche che se c' e' un equazione con termini al quadrato non si può,parlare di spazi vettoriali perche' in questo copaso avremo delle curve e non delle rette ( es $x^2+y^2=1 eq. Della circonferenza).
Ringrazio di nuovo per l attenzione!
"Maaxpower":
Grazie, mi avete chiarito molte cose ma mi rimane ancora qualche dubbio da togliermi; scusate la mia pesantezza:
1) quindi in pratica per uno spazio $R^n$ esisteranno tanti vettori base quanti servono a raggiungere la dimensione n. Giusto?
Dipende da cosa intendi per dimensione.
2) la somma diretta allora si dice che e' espressa in modo unico perche' e' data dalla somma di due vettori che generano e che sono l.i?
La somma di due sottospazi $U$ e $W$ è diretta se un qualsiasi vettore di $U+W$ lo puoi esprimere in maniera unica come somma di un vettore di $U$ con uno di $W$.
3) mi spieghi allora perche' se V={(x,y,z)|x+y+z=-1}
Il motivo è che $V$ non ha il vettore nullo, infatti la terna $(0,0,0)$ non soddisfa l'equazione $x+y+z=-1$, in generale un sottospazio vettoriale deve contenere l'elemento neutro rispetto alla somma.
Vediamo se hai capito,
$V={ ((a,b),(c,d)) | a+b = 1 , a-d=3} sube M_2(RR) $ è un sottospazio?
Io direi che non e' un sottospazio perche' le condizioni imposte non possono rispettare le operazioni di somma tra vettori e moltiplicazione per uno scalare; infatti la combinazione lineare di siffatti vettori non appartiene a $M_2$. E' importante dire che un sottospazio vettoriale deve necessariamente contenere l' elemento neutro, il quale pero non appartiene a questo.
E' sufficiente dire questo?
Comunque per quanto riguarda il punto 1) io intendo di che se consideriamo $R_2$ allora i sottospazi che contengono i vettori base che generano lo spazio possono essere al massimo 2? Infatti $dim(V)= dim(U)+dim(W)+dim(O)$
2) voglio sapere se due vettori base possono formare, sommando ogni loro multiplo, univocamente un vettore?! Cioè se non fossero base allora noi non avremmo una somma tra due sottospazi differenti, ma semplicemente la somma di vettori lin. Dipendenti che sono attraversati da una stessa retta e cio' non genera nulla di diverso; cioè non si avrebbe uno ed un solo modo di esprimere Il sottoinsieme somma diretta. E questo mi conferma che un sottospazio in $R_2$, per esempio, non e' altro che l insieme di tutti i punti in cui passa un unica retta applicata allo zero e che solo completando la dimensione della base di $R_2$, cioè aggiungendo un altro vettore lin ind e generatore, si potrebbe avere la somma diretta! C' e' qualcosa che non va nel mio ragionamento?
E' sufficiente dire questo?
Comunque per quanto riguarda il punto 1) io intendo di che se consideriamo $R_2$ allora i sottospazi che contengono i vettori base che generano lo spazio possono essere al massimo 2? Infatti $dim(V)= dim(U)+dim(W)+dim(O)$
2) voglio sapere se due vettori base possono formare, sommando ogni loro multiplo, univocamente un vettore?! Cioè se non fossero base allora noi non avremmo una somma tra due sottospazi differenti, ma semplicemente la somma di vettori lin. Dipendenti che sono attraversati da una stessa retta e cio' non genera nulla di diverso; cioè non si avrebbe uno ed un solo modo di esprimere Il sottoinsieme somma diretta. E questo mi conferma che un sottospazio in $R_2$, per esempio, non e' altro che l insieme di tutti i punti in cui passa un unica retta applicata allo zero e che solo completando la dimensione della base di $R_2$, cioè aggiungendo un altro vettore lin ind e generatore, si potrebbe avere la somma diretta! C' e' qualcosa che non va nel mio ragionamento?
@Maaxpower,
puoi sempre vedere la somma diretta come un qualsiasi sottospazio somma \( S+U \), con \( S,U \) due sottospazi vettoriali di \( V \), che verifica la seguente condizione:
$$ \forall s \in S, u \in U( (s+_V u)=0_V \to s=u=0_V) *$$
Saluti
\(*\)=def. presa dallo Stoka
puoi sempre vedere la somma diretta come un qualsiasi sottospazio somma \( S+U \), con \( S,U \) due sottospazi vettoriali di \( V \), che verifica la seguente condizione:
$$ \forall s \in S, u \in U( (s+_V u)=0_V \to s=u=0_V) *$$
Saluti
\(*\)=def. presa dallo Stoka
"Maaxpower":
E' importante dire che un sottospazio vettoriale deve necessariamente contenere l' elemento neutro, il quale pero non appartiene a questo.
E' sufficiente dire questo?
Se il vettore nullo non vi è nell'insieme che vuoi studiare, non è un sottospazio tale insieme. Il viceversa non è vero , cioè se 0 sta nell'insieme non ti basta per stabilire che quell'insieme è un sottospazio.
chi sono U, W , O ?
Comunque per quanto riguarda il punto 1) io intendo di che se consideriamo $R_2$ allora i sottospazi che contengono i vettori base che generano lo spazio possono essere al massimo 2? Infatti $dim(V)= dim(U)+dim(W)+dim(O)$
2) voglio sapere se due vettori base possono formare, sommando ogni loro multiplo
In che senso sommare ogni loro multiplo? O.o
univocamente un vettore?! Cioè se non fossero base allora noi non avremmo una somma tra due sottospazi differenti, ma semplicemente la somma di vettori lin. Dipendenti che sono attraversati da una stessa retta e cio' non genera nulla di diverso; cioè non si avrebbe uno ed un solo modo di esprimere Il sottoinsieme somma diretta. E questo mi conferma che un sottospazio in $R_2$, per esempio, non e' altro che l insieme di tutti i punti in cui passa un unica retta applicata allo zero e che solo completando la dimensione della base di $R_2$, cioè aggiungendo un altro vettore lin ind e generatore, si potrebbe avere la somma diretta! C' e' qualcosa che non va nel mio ragionamento?
Quest'ultima parte non la comprendo, confondi molto l'aspetto algebrico con quello geometrico. Vedi semplicemente gli spazi vettoriali come insiemi su cui definisci due particolari operazioni. Su $RR^n$ , visto come semplice spazio vettoriale, non puoi parlare di rette/piani e quant'altro. Puoi immaginare un po', ma è un errore pensare i sottospazi come luoghi geometrici perché una struttura geometrica ancora non la definisci .
Se $V$ è uno spazio vettoriale, I sottospazi sono particolari sottoinsiemi che conservano la struttura di V, punto.
Quando più un la arricchirai tale struttura algebrica con nozioni di tipo geometrico allora potrai in un certo senso immaginare alcuni sottospazi come rette, piani e quant'altro. (Ad esempio quando , se , studierai la geometria affine ).
Per chiarirti l'idee cerca di studiare su qualche testo / appunto , vedi qui. La matematica la si studia cercando di capire prima l'aspetto formale, costruendo magari degli esempi e non fantasticandoci sopra. Perché mi sembra di capire che alcuni concetti fondamentali come : Ssv , sottospazio, somma e base non ti sono affatto chiari e lo si intuisce dalla confusione delle tue risposte. Io ora ti chiedo, cosa è una base? Quando puoi parlare di Base (finita) ?
Non e' che fantastico con l' immaginazione ma cerco di darmi delle spiegazioni plausibili sul perche' hanno quelle proprietà... In ogni caso una base è un insieme di vettori che rispettano due Proprietà:
1) generano lo spazio vettoriale $V=span{(v_1,...,v_n)} ( insieme di tutte le comb. Lin)
2) sono linearmente indipendenti: cioè non c' e' nessun vettore che puo' essere espresso come combinazione lineare degli altri.
1) generano lo spazio vettoriale $V=span{(v_1,...,v_n)} ( insieme di tutte le comb. Lin)
2) sono linearmente indipendenti: cioè non c' e' nessun vettore che puo' essere espresso come combinazione lineare degli altri.
Comunque per vettori multipli intendo le loro combinazioni lineari. Inoltre con dim(O) intendo la dimensione dello zero vettoriale.
Hai ragione, se c' e' solo il vettore zero non e' ssv ma le proprieta' dei sottospazi sono rispettate!!
Hai ragione, se c' e' solo il vettore zero non e' ssv ma le proprieta' dei sottospazi sono rispettate!!
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