Sottospazi invarianti con forma di Jordan

[Angus1956]

Sia $f in End(V)$ la cui forma di Jordan è $((1,1,0,0),(0,1,0,0),(0,0,2,1),(0,0,0,2))$. Dimostrare che $f$ ha un numero finito di sottospazi invarianti.
Io ho impostato così il procedimento:
Innanzitutto elenco i sottospazi $W$ $f-$invarianti noti:
Se $dimW=0$ l'unico sottospazio $f-$invariante è ${0}$.
Se $dimW=1$ considero come sottospazi $f-$invarianti gli autospazi $V_1=span{e_1}$ e $V_2=span{e_3}$.
Se $dimW=2$ considero come sottospazi $f-$invarianti $V_1+V_2=span{e_1,e_3}$ e gli autospazi generalizzati $V_1^(GEN)=span{e_1,e_2}$ e $V_2^(GEN)=span{e_3,e_4}$.
Se $dimW=3$ considero come sottospazi $f-$invarianti $V_1^(GEN)+V_2=span{e_1,e_2,e_3}$ e $V_1+V_2^(GEN)=span{e_1,e_3,e_4}$.
Se $dimW=4$ l'unico sottospazio $f-$invariante è $V$.
In generale invece abbiamo che se $dimW=1$ allora $W$ $f-$invariante se e solo se $W$ è autospazio, quindi di dimensione $1$ come sottospazi $f-$invarianti abbiamo solo gli autospazi. Se invece $dimW=2$ o $dimW=3$ dovrei mostrare che gli unici sottospazi $f-$invarianti sono quelli noti che ho elencato per dimensione $2$ e $3$, ma non so come fare, qualche idea?

[Martino]

C'è un teorema che dice che ogni sottospazio invariante $U$ di $V$ (in questo caso $V=RR^4$) è una somma diretta dell'intersezione tra $U$ e gli autospazi generalizzati di $V$. Questo è perché ogni autospazio generalizzato della restrizione della trasformazione $T$ al sottospazio invariante $U$ è intersezione tra $U$ e un autospazio generalizzato di $V$. Se ti è concesso usare questo fatto, direi che concludi velocemente.

[Angus1956]

"Martino":C'è un teorema che dice che ogni sottospazio invariante $U$ di $V$ (in questo caso $V=RR^4$) è una somma diretta dell'intersezione tra $U$ e gli autospazi generalizzati di $V$. Questo è perché ogni autospazio generalizzato della restrizione della trasformazione $T$ al sottospazio invariante $U$ è intersezione tra $U$ e un autospazio generalizzato di $V$. Se ti è concesso usare questo fatto, direi che concludi velocemente.

Bellissimo teorema ma mai sentito, quindi non mi è concesso usarlo (a meno che non lo dimostri però credo sia meglio trovare un altra strada). Comunque grazie mille per avermi fatto scoprire una cosa in più .

[Martino]

Allora l'idea è questa: considera (qui chiamo $T$ la trasformazione $f$)

$W_1 = ker((T-1)^2) = $,
$W_2 = ker((T-2)^2) = $

dentro $V=RR^4$ e prendi un sottospazio $U$ di $V$ che sia invariante per la trasformazione $T$. Considera la restrizione $S=T|_U:U to U$, ovviamente ogni autovalore di $S$ è anche autovalore di $T$. Possiamo scrivere $S$ in forma di Jordan e ottenere $U_1 <= W_1$, $U_2 <= W_2$ che corrispondono ai blocchi di Jordan di $S$, in altre parole

$U_1=ker((S-1)^2) le U$
$U_2=ker((S-2)^2) le U$.

Abbiamo [tex]U_1 \oplus U_2 = U[/tex]. È chiaro che $U_i <= W_i nn U$ per $i=1,2$, peraltro se $v in W_i nn U$ allora $(S-lambda_i)^2 v = (T-lambda_i)^2 v = 0$ essendo $lambda_1=1$, $lambda_2=2$. Quindi $U_i = W_i nn U$.

Questo implica che $U$ è somma diretta tra un sottospazio $T$-invariante di $W_1$ e un sottospazio $T$-invariante di $W_2$. Quindi sei ridotto a mostrare che le restrizioni $T|_{W_1}$ e $T|_{W_2}$ hanno un numero finito di sottospazi invarianti. Riesci a concludere?

[Angus1956]

"Martino":Quindi sei ridotto a mostrare che le restrizioni $T|_{W_1}$ e $T|_{W_2}$ hanno un numero finito di sottospazi invarianti. Riesci a concludere?

Se facessimo una dimostrazione per induzione:
Passo base: se $dimV=1$ allora gli unici sottospazi $f-$invarianti sono ${0},V$ (quindi in numero finito).
Passo induttivo: se $dimW Siccome $dimW_1

Cita

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[Lebesgue]

Non so se ti è noto il seguente fatto:
sia $f$ un endomorfismo su $V$ con $\dim V=n$, chiamiamo $\mu_f(t)$ il polinomio minimo di $f$ e $p_f(t)$ il polinomio caratteristico.
Sia $\lambda$ un autovalore di $f$.
Se $\mu_f(t)=\pm p_f(t)=(t-\lambda)^n$, allora per ogni interi $k=1,...,n$ esiste un unico sottospazio vettoriale $W\subset V$ tale che
1. $W$ è $f$-invariante
2. $\dim W=k$
3. $W=\ker(f-\lambda id)^k$

Nel nostro caso, il polinomio caratteristico della matrice è $p_f(t)=(t-1)^2(t-2)^2$ e coincide con il polinomio minimo (per le dimensioni dei blocchi di Jordan, entrambi di dimensione 2).
Chiamiamo $V_1'$ l'autospazio generalizzato riferito all'autovalore 1 e sia $V_2'$ quello riferito all'autovalore 2.
Per il teorema di decomposizione primaria, possiamo decomporre $V=V_1'\oplus V_2'$
in particolare, $V_1', \ V_2'$ sono ssp $f$-invarianti e si ha che
$p_f |_(V_1')$ $=\mu_f|_(V_1')=(t-1)^2$, dunque per il fatto ho che $V_1'$ ha esattamente un ssp invariante di dimensione 1 e un unico ssp invariante di dimensione 2
Analogamente per quanto riguarda $V_2'$
Allora i sottospazi invarianti di dimensione 1 sono solo 2: o quello di $V_1'$ o quello di $V_2'$ ( non ve ne sono altri poichè gli autospazi generalizzati sono in somma diretta e non si intersecano)
Invece i ssp invarianti di dimensione 2 sono 3: quello di $V_1'$, quello di $V_2'$ oppure la somma diretta dei due di dimensione 1.

[Angus1956]

"Lebesgue":
Invece i ssp invarianti di dimensione 2 sono 3: quello di $V_1'$, quello di $V_2'$ oppure la somma diretta dei due di dimensione 1.

Non ho capito bene come fai a dire che per dimensione $2$ e $3$ sono solo quelli.

[Martino]

"andreadel1988":Non so se sia corretto totalmente quello che ho detto, comunque non mi è chiaro la parte della trasformata ovvero cosa significa che $T$ è la trasformazione di $f$?

Ho usato la parola "trasformazione" ma intendevo "funzione", cioè sto usando la lettera $T$ invece di $f$ perché mi risulta essere più intuitivo.

Quanto alla tua dimostrazione per induzione, non ho capito cosa stai dimostrando. Devi sempre ricordare che il fatto di avere solo un numero finito di sottospazi invarianti è una proprietà che non hanno tutti gli operatori, per esempio l'identità $RR^2 to RR^2$, rappresentata dalla matrice $((1,0),(0,1))$, ha infiniti sottospazi invarianti, che sono tutti i sottospazi di $RR^2$, cioè lo spazio nullo, il piano, e tutte le rette passanti per l'origine.

Col suggerimento che ti ho dato, ti sei ridotto a mostrare che gli operatori rappresentati dalle matrici $((1,1),(0,1))$, $((2,1),(0,2))$ hanno solo un numero finito di sottospazi invarianti. Questo è praticamente ovvio, dato che ti riduci a cercare gli autovettori.

Forse ti risulta più interessante mostrare che i blocchi di Jordan hanno solo un numero finito di sottospazi invarianti. Prova per esempio con $((1,1,0),(0,1,1),(0,0,1))$.

[Angus1956]

"Martino":Forse ti risulta più interessante mostrare che i blocchi di Jordan hanno solo un numero finito di sottospazi invarianti. Prova per esempio con $((1,1,0),(0,1,1),(0,0,1))$.

Se considero $A=((1,1,0),(0,1,1),(0,0,1))$ e $V=RR^3$ abbiamo intanto la bandiera di sottospazi invarianti ${0}subespan{e_1}subespan{e_1,e_2}subeRR^3$. Concentriamoci sui sottospazi $W$ invarianti di dimensione $2$. Prendo $w in W$ tale che $w=ae_1+be_2+ce_3$ con $a,b,c in RR$ (dove $e_1,e_2,e_3$ è la base canonica di $RR^3$). Abbiamo che $Aw=(a+b)e_1+(b+c)e_2+ce_3=w+be_1+ce_2 in W$ ovvero $be_1+ce_2 in W$ ma $be_1+ce_2$ è un vettore generico di $span{e_1,e_2}$ allora $span{e_1,e_2} sube W$. Poichè hanno entrambi la stessa dimensione $W=span{e_1,e_2}$. Non so se ho sbagliato qualcosa o se esiste un caso generale per un qualunque blocco di Jordan per adesso ho fatto con questa prova che mi hai proposto.

[Martino]

"andreadel1988":Prendo $w in W$ tale che $w=ae_1+be_2+ce_3$ con $a,b,c in RR$ (dove $e_1,e_2,e_3$ è la base canonica di $RR^3$). Abbiamo che $Aw=(a+b)e_1+(b+c)e_2+ce_3=w+be_1+ce_2 in W$ ovvero $be_1+ce_2 in W$ ma $be_1+ce_2$ è un vettore generico di $span{e_1,e_2}$

Non è un vettore generico, il vettore $w$ è fissato.

Ah quando rispondi non serve che quoti tutto, basta quotare la parte a cui stai rispondendo (e cancellare il resto). Altrimenti c'è un sacco di testo superfluo.

[Angus1956]

"Martino":
Non è un vettore generico, il vettore $w$ è fissato.

Riprendendo il ragionamento da cui dico che $be_1+ce_2 in W$ (posto $w^{\prime}=be_1+ce_2$)$ Aw^{\prime}=(b+c)e_1+ce_2=w^{\prime}+ce_1 in W $ quindi $e_1 in W$ da cui anche $e_2 in W$ e segue che $W=span{e_1,e_2}$. Ora devo capire come estenderlo a un blocco di Jordan qualunque.

[Martino]

Sì, a meno che $c=0$.

[Angus1956]

"Martino":Sì, a meno che $c=0$.

Beh basta prendere un vettore in $W$ tale che $c!=0$, se non esiste nessun vettore in $W$ tale che $c!=0$ allora ogni vettore di $W$ si scrive come combinazione lineare di $e_1,e_2$.

[Martino]

Sì ma se vuoi risolvere il problema bisogna scrivere una dimostrazione che almeno contempli tutti i casi possibili.

[Angus1956]

"Martino":Sì ma se vuoi risolvere il problema bisogna scrivere una dimostrazione che almeno contempli tutti i casi possibili.

Indichiamo con $A_{n,λ}$ il blocco di Jordan $nxxn$ con autovalore $λ$ (ad esempio se $n=3$ allora $A_{3,λ}=((λ,1,0),(0,λ,1),(0,0,λ))$), poniamo $V=RR^n$. Mostriamo che se $U$ sottospazio $A_{n,λ}-$invariante allora $U=span{e_1,...,e_k}$ con $0<=k<=n$. Procediamo per induzione su $dimV=n$. Se $n=1$ allora gli unici sottospazi invarianti sono ${0},V$. Sia ora $n>1$, se $Usubespan{e_1,...,e_(n-1)}$ allora, visto che $A_{n,λ}|_(span{e_1,...,e_(n-1)}}=A_{n-1,λ}$ per induzione abbiamo che $U=span{e_1,...,e_k}$ con $0<=k<=n-1$. Supponiamo allora che $Unotinspan{e_1,...,e_(n-1)}$ (intendo che non è contenuto ma non c'è il simbolo). Esiste quindi $v_n=a_1e_1+a_2e_2+...+a_(n-1)e_(n-1)+a_n e_ninU$ con $a_n!=0$. Dividendo per $a_n$ posso supporre $a_n=1$. Osserviamo che $U$ è $(A_{n,λ}-λI)-$ invariante, inoltre $A_{n,λ}-λI=A_{n,0}$. Allora i seguenti vettori sono tutti elementi di $U$:
$v_(n-1)=A_{n,0}*v_n=a_2e_1+a_3e_2+...+a_(n-1)e_(n-2)+e_(n-1)$
$v_(n-2)=A_{n,0}*v_(n-1)=a_3e_1+a_4e_2+...+a_(n-1)e_(n-3)+e_(n-2)$
.
.
.
$v_2=A_{n,0}*v_3=a_(n-1)e_1+e_2$
$v_1=A_{n,0}*v_2=e_1$
In particolare la matrice che ha per colonne $v_1,v_2,...,v_(n-1),v_n$ è triangolare superiore con tutti $1$ sulla diagonale. Tale matrice ha determinante non nullo e quindi i vettori $v_1,v_2,...,v_(n-1),v_n$ di $U$ sono linearmente indipendenti. In particolare $U$ ha dimensione almeno $n$, ma essendo un sottospazio dello spazio vettoriale $V$ di dimensione $n$, allora $U=V=span{e_1,...,e_n}$.

[Angus1956]

"andreadel1988": Mostriamo che se $U$ sottospazio $A_{n,λ}-$invariante allora $U=span{e_1,...,e_k}$ con $0<=k<=n$.

Quindi con questa cosa e quella che avevi scritto tu si risolve l'esercizio anche in casi più generali, giusto?

[Martino]

"andreadel1988":[quote="andreadel1988"] Mostriamo che se $U$ sottospazio $A_{n,λ}-$invariante allora $U=span{e_1,...,e_k}$ con $0<=k<=n$.

Quindi con questa cosa e quella che avevi scritto tu si risolve l'esercizio anche in casi più generali, giusto?[/quote]Sì, riesci a formulare il risultato generale? E nel caso da te proposto all'inizio della discussione, riesci a dire esattamente quanti sono e chi sono i sottospazi invarianti?

Mi sembra che vada bene la dimostrazione.

[Angus1956]

"Martino":Sì, riesci a formulare il risultato generale? E nel caso da te proposto all'inizio della discussione, riesci a dire esattamente quanti sono e chi sono i sottospazi invarianti?.

Sia $f$ un endomorfismo di $V$ e supponiamo che nel campo $K$ esiste la forma di Jordan di $f$. Osserviamo che se esiste un autospazio di $f$ la cui dimensione è maggiore di $1$ possiamo subito concludere che esistono infiniti sottospazi invarianti di $f$ (basta considerare tutti gli infiniti sottospazi di dimensione $1$ dell'autospazio). Se invece tutti gli autospazi hanno dimensione $1$ allora per ogni autovalore sappiamo che esiste un solo blocco di Jordan e indichiamo con $W_j^(GEN)=Ker(f-λ_j)^(n_j)$ l'autospazio generalizzato massimale relativo all'autovalore $λ_j$. Sia $U$ ($dimU=m$) un sottospazio $f-$invariante, possiamo quindi considerare la restrizione $f|_{U}:U->U$. Se scriviamo $f|_{U}$ in forma di Jordan e ricaviamo gli autospazi generalizzati massimali $U_i^(GEN)=Ker(f|_{U}-λ_i)^(k_i)$ (con $1<=k_i<=n_i$) rispetto all'autovalore $λ_i$ di $f|_{U}$ ($λ_i$ è un autovalore anche di $f$ poiché il polinomio caratteristico $f|_{U}$ di divide quello di $f$) abbiamo che $U_i^(GEN)subeW_i^(GEN)$ con $i=1,..,m$, inoltre poiché gli $U_i^(GEN)$ sono autospazi generalizzati massimali di $f|_{U}$ allora $U=U_1^(GEN)\oplus...\oplusU_(m)^(GEN)$. Abbiamo quindi che $U_i^(GEN)subeW_i^(GEN)nnU$ inoltre se prendo $vinW_i^(GEN)nnU$ ($vinU$ quindi $f(v)=f|_{U}(v)$) si ha (usando che $vinW_i^(GEN)=Ker(f-λ_i)^(n_i)$):
$0=(f-λ_i)^(n_i)(v)=(f|_{U}-λ_i)^(n_i)$ da cui $vinKer(f|_{U}-λ_i)^(n_i)$.
Osserviamo che $Ker(f|_{U}-λ_i)^(n_i)=Ker(f|_{U}-λ_i)^(j_i)=U_i^(GEN)$ con $n_i>=j_i$ (questo poiché in $f|_{U}$, essendo $j_i$ la molteplicità algebrica dell'autovalore $λ_i$ dato che $U_i^(GEN)$ è l'autospazio generalizzato massimale di $λ_i$, quest'ultimo non può essere contenuto propriamente in altri autospazi generalizzati del tipo $Ker(f|_{U}-λ_i)^(n_i)$ con $n_i>=j_i$), per cui $vinU_i^(GEN)$ e quindi $U_i^(GEN)=W_i^(GEN)nnU$. Questo implica che $U$ si scrive come somma diretta di un sottospazio $f-$invariante di $W_1^(GEN),..,W_m^(GEN)$. Se considero la restrizione $f|_{W_i^(GEN)}$ con $i=1,..,m$ la forma di Jordan di $f|_{W_i^(GEN)}$ è rappresentata da un blocco di Jordan, e come ho dimostrato nel precedente messaggio, in questo caso abbiamo un numero finito di sottospazi invarianti. Ma allora $U$ si scrive come una "combinazione" di un numero finito di sottospazi, quindi abbiamo un numero finito di combinazioni e quindi un numero finito di sottospazi $U$ $f-$invarianti. Nel caso in cui invece $f$ nel campo $K$ non sia jordanizzabile basta trovare un estensione di $K$ in cui lo sia (ovvero il polinomio caratteristico di $f$ deve avere tutte le radici nel campo) troviamo i sottospazi $f-$invarianti nell'estensione e infine consideriamo solo quelli che sono "ammessi" nel campo $K$. Nel caso da me proposto della discussioni ho già elencato sotto il testo quali sono tutti i sottospazi invarianti.

[Martino]

"andreadel1988":
Osserviamo che $Ker(f|_{U}-λ_i)^(n_i)=Ker(f|_{U}-λ_i)^(j_i)=U_i^(GEN)$ con $n_i>=j_i$

Sì semplicemente perché se prendi potenze maggiori della molteplicità $j_i$ il nucleo non cambia.

Ok va bene, quindi riesci a dire quanti sono i sottospazi invarianti, nel caso in cui ce ne sono un numero finito (e gli autovalori stanno in K)?

[Angus1956]

"andreadel1988":
Osserviamo che $Ker(f|_{U}-λ_i)^(n_i)=Ker(f|_{U}-λ_i)^(j_i)=U_i^(GEN)$ con $n_i>=j_i$ (questo poiché in $f|_{U}$, essendo $j_i$ la molteplicità algebrica dell'autovalore $λ_i$ dato che $U_i^(GEN)$ è l'autospazio generalizzato massimale di $λ_i$, quest'ultimo non può essere contenuto propriamente in altri autospazi generalizzati del tipo $Ker(f|_{U}-λ_i)^(n_i)$ con $n_i>=j_i$)

Volevo sapere se la giustificazione che ho dato per dire questo andava comunque bene. Comunque in generale se il numero di sottospazi invarianti è finito, i sottospazi $f-$invarianti abbiamo detto che sono dati dalle varie "combinazioni" dei sottospazi invarianti di ogni blocco di Jordan della matrice. In particolare questi sottospazi sono ${0},Ker(f|_{V_i^(GEN)}-λ_i),Ker(f|_{V_i^(GEN)}-λ_i)^2,...,Ker(f|_{V_i^(GEN)}-λ_i)^(n_i)$ dove $n_i$ è la molteplicità algebrica di $λ_i$. Quindi prese $n_1,..,n_k$ le molteplicità algebriche rispettivamente degli autovalori $λ_1,..,λ_n$ di $f$ il numero totale di sottospazi $f-$invarianti è $(n_1+1)*(n_2+1)*...*(n_k+1)$.

[Martino]

"andreadel1988":
Volevo sapere se la giustificazione che ho dato per dire questo andava comunque bene.

Sì andava bene.