Sottospazi e Basi

[Kashaman]

Es 1 : Sia $V$ uno spazio vettoriale di dimensione $n$. E $C={v_1,..,v_n}$ un sistema di generatori per $V$. Dimostrare che $C$ è una base di $V$.

Mi resta di dimostrare che i vettori $v_1,..,v_n$ sono linearmente indipendenti per mostrare che $C$ è una base di $V$.
Supponiamo per assurdo che tali vettori siano linearmente dipendenti, allora uno tra tali vettori è combinazione lineare tra i precedenti. Sia esso $v_j$
Si ha in particolare che $EE (\lambda^i)_(1<=i<=n) \in K^n $ tali che $v_j=\sum_(i=0 _( i!=j))^n\lambda^iv_i$.
Sotto tali ipotesi, per il procedimento degli scarti successivi si ha anche che ${v_1,...,v_n}\\{v_j}$ costituisce un sistema di generatori per $V$.
Ma ciò è un assurdo in quanto avrei che $n-1$ vettori , contro il fatto che la $dimV=n$ , che generano $V$.
Pertanto, si ha che $v_1,..,v_n$ linearmente indipendenti. E quindi, $C$ è una base di $V$.

Es 2 : Sia $V$ lo spazio vettoriale delle funzioni da $RR$ in $RR$ con le usuali operazioni di somma e prodotto per scalare.
Dire se $W ={ f \in V | f(0)f(1)=0}$ e $U={f \in V | EE M>0$ dipendente da f, tale che $f(x)=0 se x>M}$ sono sottospazi di $V$.

Per $W$ la risposta è negativa. Sebbene la funzione nulla appartiene a $W$, $W$ non è chiuso rispetto alla somma.
Controesempio.
Basta prendere $f \in W_1$ , $f(X)=x$ e $g \in W_1$ , $g(X)=1-x$ ma $f+g$ non appartiene a $W$ in quanto
$(f+g)(x) = 1$ ma $(f+g)(1)*(f+g)(0)=1*1!=0$ pertanto $W$ non può essere un sottospazio di $V$.
Per quanto riguarda $U$ la risposta è positiva.
$f_(0)$ la funzione nulla appartiene ad $U$ in quanto , se $M>0$ per $x>M$ , per definizione di $f_0$ , $f_0(x)=0$.
Siano ora $f,g \in U$, e siano $M_1 >0$ tale che se $x>M_1 , f(x)=0$ e sia $M_2>0$ tale che per $x>M_2$ , $g(x)=0$.
E siano $\alpha , \beta in RR$. Posto $M=max{M_1,M_2}$.
se $x>M$ si ha che $\alpha f (x)+ \beta g(x) = \alpha 0 +\beta 0 = 0$ pertanto $\alpha f+ \beta g \in U$. A norma di caratterizzazione di sottospazi, $U$ è un sottospazio di $V$.

che ne dite? grazie

[Sk_Anonymous]

Tutto ok. La prima dimostrazione è una classica applicazione del lemma di scambio, come hai ben detto.

[Chiariello1]

Detto V il sottospazio di R[x] generato dai polinomi a(x)=(1- x)(1+x) b(x)=(1- x)(1-x) c(x)=(1- x)
si ha che
A) dim(V)= 2
B) dim(V)= 1
A) dim(V)=3
A) dim(V)= infinito
Come si potrebbe risolvere questo esercizio???

[Kashaman]

hai idee?

[Chiariello1]

secondo me si potrebbero inserire i polinomi in una matrice per poi calcolarne il rango e quindi sapere quale dimensione possiede questo sottospazio..

[Kashaman]

provaci. Una però sarebbe da scartare, quale?

[Plepp]

"Chiariello":secondo me si potrebbero inserire i polinomi in una matrice per poi calcolarne il rango e quindi sapere quale dimensione possiede questo sottospazio..

Più che i polinomi stessi, ti conviene metterci le loro componenti rispetto alla base canonica di $RR[x]$ nella matrice, se no i calcoli sono noiosissimi

[Kashaman]

"Plepp":[quote="Chiariello"]secondo me si potrebbero inserire i polinomi in una matrice per poi calcolarne il rango e quindi sapere quale dimensione possiede questo sottospazio..

Più che i polinomi stessi, ti conviene metterci le loro componenti rispetto alla base canonica di $RR[x]$ nella matrice, se no i calcoli sono noiosissimi [/quote]
O altro modo, esplicitare i polinomi. E applicare l'algoritmo degli scarti successivi.
Libera scelta.
Però ripeto, una tra quelle risposte andrebbe scartata a priori, quale?