Sottospazi di matrici e basi
Ciao a tutti, so che forse sto un po' esagerando nel chiedere così tanto ma non trovo da altre parti risposte concrete... Avrei bisgno di un suggerimento per quanto riguarda un esercizio:
Dato il vettore \(\displaystyle \mathrm{v}=(1,2,3) \) stabilire se i seguenti insiemi sono sottospazi di \(\displaystyle \mathbb{R}^{3,3}\) e nel caso trovarne una base:
(i) \(\displaystyle \{A \in \mathbb{R}^{3,3} : \mathbf{v}A = 0 \} \)
(ii) \(\displaystyle \{A \in \mathbb{R}^{3,3} : A\mathbf{v}^T = 0 \} \)
(iii) \(\displaystyle \{A \in \mathbb{R}^{3,3} : \mathbf{v}A = \mathbf{v} \} \)
provando a fare il punto uno questo è ciò che ottengo:
\(\displaystyle \begin{pmatrix}1&2&3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}a+2d+3g & b+2e+3h & c+2f+3i \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0&0&0\end{pmatrix}\)
Da cui:
\(\displaystyle
\begin{cases}
a+2d+3g = 0 \\
b+2e+3h = 0 \\
c+2f+3i = 0 \\
\end{cases}
\ \
;
\ \
\begin{cases}
a = -2d-3g \\
b = -2e-3h \\
c = -2f-3i \\
\end{cases}
\)
Quindi le matrici tali che \(\displaystyle \mathbf{v}A = 0_V\) sono del tipo:
\(\displaystyle \begin{pmatrix}-2d-3g&-2e-3h&-2f-3i\\d&e&f\\g&h&i\end{pmatrix} \)
E ora quello che mi resta da fare è verificare che l'insieme di queste matrici sia chiuso rispetto alle operazioni interna ed esterna e giungere alla conclusione che si tratti di un \(\displaystyle \mathbb{R} \)-spazio vettoriale?
\(\displaystyle \forall \lambda, \mu \in \mathbb{R}; \forall A,B \in V \Rightarrow \mathbf{v}(\lambda A + \mu B) = 0_V \)
\(\displaystyle
\mathbf{v}
\begin{bmatrix}
\lambda(-2d-3g)&\lambda(-2e-3h)&\lambda(-2f-3i)\\
\lambda d&\lambda e&\lambda f\\
\lambda g&\lambda h&\lambda i
\end{bmatrix}
+
\begin{bmatrix}
\mu(-2d'-3g')&\mu(-2e'-3h')&\mu(-2f'-3i')\\
\mu d'&\mu e'&\mu f'\\
\mu g'&\mu h'&\mu i'
\end{bmatrix}
\)
\(\displaystyle
\mathbf{v}
\begin{bmatrix}
-2(\lambda d + \mu d')-3(\lambda g + \mu g') & -2(\lambda e + \mu e')-3(\lambda h + \mu h') & -2(\lambda f + \mu f')-3(\lambda i + \mu i') \\
\lambda d + \mu d' & \lambda e + \mu e' & \lambda f + \mu f' \\
\lambda g + \mu g' & \lambda h + \mu h' & \lambda i + \mu i'
\end{bmatrix}
\)
Ora facendo le opportune sostituzioni per semplificare il macello ottenuto, con \(\displaystyle x^* = \lambda x + \mu x' \) Ottengo che:
\(\displaystyle \mathbf{v}
\begin{bmatrix}
-2d^*-3g^* & -2e^*-3h^* & -2f^*-3i^* \\
d^* & e^* & f^* \\
g^* & h^* & i^*
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
-2d^*-3g^* +2d^*+3g^*&-2e^*-3h^* +2e^*+3h^*&-2f^*-3i^* +2f^*+3i^*
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
0&0&0
\end{bmatrix}
\)
Di conseguenza \(\displaystyle V \) è uno spazio vettoriale.
Ora la base è roba da poco:
\(\displaystyle \mathcal{B}=\left\{
\begin{pmatrix}-2&0&0\\1&0&0\\0&0&0\end{pmatrix};
\begin{pmatrix}0&-2&0\\0&1&0\\0&0&0\end{pmatrix};
\begin{pmatrix}0&0&-2\\0&0&1\\0&0&0\end{pmatrix};
\begin{pmatrix}-3&0&0\\0&0&0\\1&0&0\end{pmatrix};
\begin{pmatrix}0&-3&0\\0&0&0\\0&1&0\end{pmatrix};
\begin{pmatrix}0&0&-3\\0&0&0\\0&0&1\end{pmatrix}
\right\} \)
Così sembra funzionare, ma davvero si fa così? Vi prego ditemi che c'è qualche trucco o qualcosa... Agli esami mi serve una settimana sennò hahahahaha
Dato il vettore \(\displaystyle \mathrm{v}=(1,2,3) \) stabilire se i seguenti insiemi sono sottospazi di \(\displaystyle \mathbb{R}^{3,3}\) e nel caso trovarne una base:
(i) \(\displaystyle \{A \in \mathbb{R}^{3,3} : \mathbf{v}A = 0 \} \)
(ii) \(\displaystyle \{A \in \mathbb{R}^{3,3} : A\mathbf{v}^T = 0 \} \)
(iii) \(\displaystyle \{A \in \mathbb{R}^{3,3} : \mathbf{v}A = \mathbf{v} \} \)
provando a fare il punto uno questo è ciò che ottengo:
\(\displaystyle \begin{pmatrix}1&2&3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}a+2d+3g & b+2e+3h & c+2f+3i \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0&0&0\end{pmatrix}\)
Da cui:
\(\displaystyle
\begin{cases}
a+2d+3g = 0 \\
b+2e+3h = 0 \\
c+2f+3i = 0 \\
\end{cases}
\ \
;
\ \
\begin{cases}
a = -2d-3g \\
b = -2e-3h \\
c = -2f-3i \\
\end{cases}
\)
Quindi le matrici tali che \(\displaystyle \mathbf{v}A = 0_V\) sono del tipo:
\(\displaystyle \begin{pmatrix}-2d-3g&-2e-3h&-2f-3i\\d&e&f\\g&h&i\end{pmatrix} \)
E ora quello che mi resta da fare è verificare che l'insieme di queste matrici sia chiuso rispetto alle operazioni interna ed esterna e giungere alla conclusione che si tratti di un \(\displaystyle \mathbb{R} \)-spazio vettoriale?
\(\displaystyle \forall \lambda, \mu \in \mathbb{R}; \forall A,B \in V \Rightarrow \mathbf{v}(\lambda A + \mu B) = 0_V \)
\(\displaystyle
\mathbf{v}
\begin{bmatrix}
\lambda(-2d-3g)&\lambda(-2e-3h)&\lambda(-2f-3i)\\
\lambda d&\lambda e&\lambda f\\
\lambda g&\lambda h&\lambda i
\end{bmatrix}
+
\begin{bmatrix}
\mu(-2d'-3g')&\mu(-2e'-3h')&\mu(-2f'-3i')\\
\mu d'&\mu e'&\mu f'\\
\mu g'&\mu h'&\mu i'
\end{bmatrix}
\)
\(\displaystyle
\mathbf{v}
\begin{bmatrix}
-2(\lambda d + \mu d')-3(\lambda g + \mu g') & -2(\lambda e + \mu e')-3(\lambda h + \mu h') & -2(\lambda f + \mu f')-3(\lambda i + \mu i') \\
\lambda d + \mu d' & \lambda e + \mu e' & \lambda f + \mu f' \\
\lambda g + \mu g' & \lambda h + \mu h' & \lambda i + \mu i'
\end{bmatrix}
\)
Ora facendo le opportune sostituzioni per semplificare il macello ottenuto, con \(\displaystyle x^* = \lambda x + \mu x' \) Ottengo che:
\(\displaystyle \mathbf{v}
\begin{bmatrix}
-2d^*-3g^* & -2e^*-3h^* & -2f^*-3i^* \\
d^* & e^* & f^* \\
g^* & h^* & i^*
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
-2d^*-3g^* +2d^*+3g^*&-2e^*-3h^* +2e^*+3h^*&-2f^*-3i^* +2f^*+3i^*
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
0&0&0
\end{bmatrix}
\)
Di conseguenza \(\displaystyle V \) è uno spazio vettoriale.
Ora la base è roba da poco:
\(\displaystyle \mathcal{B}=\left\{
\begin{pmatrix}-2&0&0\\1&0&0\\0&0&0\end{pmatrix};
\begin{pmatrix}0&-2&0\\0&1&0\\0&0&0\end{pmatrix};
\begin{pmatrix}0&0&-2\\0&0&1\\0&0&0\end{pmatrix};
\begin{pmatrix}-3&0&0\\0&0&0\\1&0&0\end{pmatrix};
\begin{pmatrix}0&-3&0\\0&0&0\\0&1&0\end{pmatrix};
\begin{pmatrix}0&0&-3\\0&0&0\\0&0&1\end{pmatrix}
\right\} \)
Così sembra funzionare, ma davvero si fa così? Vi prego ditemi che c'è qualche trucco o qualcosa... Agli esami mi serve una settimana sennò hahahahaha
Risposte
Per dimostrare che si tratta di un sottospazio vettoriale, più sinteticamente:
Infatti:
Per determinarne una base, basta la condizione che scaturisce dalla moltiplicazione per la prima colonna, considerando nulle le altre due:
e generalizzare senza svolgere altri conti:
$[v*A_1=0] ^^ [v*A_2=0] rarr [v*(\lambda_1A_1+\lambda_2A_2)=0]$
Infatti:
$v*(\lambda_1A_1+\lambda_2A_2)=\lambda_1v*A_1+\lambda_2v*A_2=0$
Per determinarne una base, basta la condizione che scaturisce dalla moltiplicazione per la prima colonna, considerando nulle le altre due:
$a_(11)+2a_(21)+3a_(31)=0 rarr$
$rarr a_(11)=-2a_(21)-3a_(31) rarr$
$rarr [[-2,0,0],[1,0,0],[0,0,0]] ^^ [[-3,0,0],[0,0,0],[1,0,0]]$
e generalizzare senza svolgere altri conti:
$[[0,-2,0],[0,1,0],[0,0,0]] ^^ [[0,-3,0],[0,0,0],[0,1,0]] ^^ [[0,0,-2],[0,0,1],[0,0,0]] ^^ [[0,0,-3],[0,0,0],[0,0,1]]$
Chiaro, ma senza espandere tutta la notazione e vedere cosa succede ai coefficienti come fai a dimostrare che:
Cioè, dato che il vettore per la matrice fa zero da ipotesi diciamo che la combinazione lineare sarà anch’essa sempre nulla? Basta fare così? Ad ogni modo ho sviluppato entrambi gli altri punti, è vero che il (iii) non è uno spazio vettoriale?
Grazie tante dell’aiuto
"anonymous_0b37e9":
Per dimostrare che si tratta di un sottospazio vettoriale, più sinteticamente:
$ [v*A_1=0] ^^ [v*A_2=0] rarr [v*(\lambda_1A_1+\lambda_2A_2)=0] $
Infatti:
$ v*(\lambda_1A_1+\lambda_2A_2)=\lambda_1v*A_1+\lambda_2v*A_2=0 $
Cioè, dato che il vettore per la matrice fa zero da ipotesi diciamo che la combinazione lineare sarà anch’essa sempre nulla? Basta fare così? Ad ogni modo ho sviluppato entrambi gli altri punti, è vero che il (iii) non è uno spazio vettoriale?
Grazie tante dell’aiuto
"LogicalCake":
Basta fare così?
Certamente. E, perdonami, mi stupisco che tu abbia bisogno di una conferma. Insomma, al netto del fatto che si tratta di vettori riga, sarebbe come stupirsi del fatto che:
$\lambda_1*0+\lambda_2*0=0$
sia soddisfatta:
$AA \lambda_1, \lambda_2 in RR$
Io di questo sono abbastanza sicuro. Almeno quanto basta per non farmi convincere troppo facilmente del contrario. Ci mancherebbe.
"LogicalCake":
... è vero che ...
Devi dimostrare:
$[v*A_1=v] ^^ [v*A_2=v] rarr [v*(\lambda_1A_1+\lambda_2A_2)=v]$
Poiché:
$v*(\lambda_1A_1+\lambda_2A_2)=\lambda_1v*A_1+\lambda_2v*A_2=\lambda_1v+\lambda_2v=(\lambda_1+\lambda_2)v$
le combinazioni lineari devono soddisfare la proprietà:
$\lambda_1+\lambda_2=1$
Insomma, mentre la cattiva notizia è che non è sufficiente per concludere che sia un sottospazio vettoriale, la buona notizia è che è sufficiente per concludere che non lo sia.
Si in effetti era abbastanza ovvio, grazie davvero tante, ora mi è chiaro!
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