Sottospazi
Salve, sono in crisi con un'esercizio:
Devo trovare in pratica U+W e una sua base e l'intersezione di due sottospazi vettoriali formati da matrici:
U=L $ ([(( ( 1 , 2 ),( -1 , 0 ) ) , ( ( 1 , 1 ),( 0 , -1 ) ) , ( ( 3 , 4 ),( -1 , -2) ) ,( ( -1 , 1 ),( -2 , 3 ) ) $
W=L $ ([(( ( 2 , 3),( -1 , -1 ) ) , ( ( 2 , 2 ),( 0 , -2 ) ) $
Come si procede in questi casi? per favore aiutatemi
Grazie
Devo trovare in pratica U+W e una sua base e l'intersezione di due sottospazi vettoriali formati da matrici:
U=L $ ([(( ( 1 , 2 ),( -1 , 0 ) ) , ( ( 1 , 1 ),( 0 , -1 ) ) , ( ( 3 , 4 ),( -1 , -2) ) ,( ( -1 , 1 ),( -2 , 3 ) ) $
W=L $ ([(( ( 2 , 3),( -1 , -1 ) ) , ( ( 2 , 2 ),( 0 , -2 ) ) $
Come si procede in questi casi? per favore aiutatemi
Grazie
Risposte
hai fatto un po' casino con le parentesi. comunque puoi per esempio usare l'isomorfismo tra lo spazio delle matrici di dimensione $n$ ed $RR^(n^2)$ e poi lavorare con i vettori. altrimenti puoi anche lavorare con le matrici. ma cosa esattamente non è chiaro? che tentativi hai fatto tu?
"cooper":
hai fatto un po' casino con le parentesi. comunque puoi per esempio usare l'isomorfismo tra lo spazio delle matrici di dimensione $n$ ed $RR^(n^2)$ e poi lavorare con i vettori. altrimenti puoi anche lavorare con le matrici. ma cosa esattamente non è chiaro? che tentativi hai fatto tu?
Ciao, si allora io non ho capito come si svolge se volessi usare l'isomorfismo coordinato rispetto alla base canonica M2,2 (R).
Cioè cosa intendi tu per utilizzare quell'isomorfismo e lavorare poi con i vettori?
$M_n (K) ~= RR^(n^2)$ qui $n=2$ quindi alla matrice $ ( ( a , b ),( c , d ) ) $ è associato il vettore $((a),(b),(c),(d))$
dunque per trovare ad esempio una base di U dovrei disporre tutti i vettori per colonna in una matrice e poi fare il solito procedimento? Ossia fare la riduzione di gauss e vedere i vettori linearmente indipendenti? O sono proprio fuori strada?
è corretto.
"cooper":
è corretto.
Avevo fatto un po di confusione con le basi ieri.. ahah. Rivedendo meglio mi viene che la matrice associata ad U ha rango=2 mentre quella associata a W =2.Per i vettori linearmente indipendenti devo prendere le COLONNE che contengono i pivot giusto? E posso prendere sia quelli della matrice ridotta che non ridotta?? Grazie dell'aiuto!
"Amedim":
devo prendere le COLONNE che contengono i pivot giusto? E posso prendere sia quelli della matrice ridotta che non ridotta??
esatto se prendi i vettori colonna dove hai i pivot sei certo che quei vettori siano l.i. ma della matrice iniziale non ridotta però!
fin qui comunque è tutto corretto!
"cooper":
[quote="Amedim"]devo prendere le COLONNE che contengono i pivot giusto? E posso prendere sia quelli della matrice ridotta che non ridotta??
esatto se prendi i vettori colonna dove hai i pivot sei certo che quei vettori siano l.i. ma della matrice iniziale non ridotta però!
fin qui comunque è tutto corretto!
[/quote]Bene, alla fine solo la parte sull'intersezione mi ha fatto scervellare da matti. In pratica ho impostato il sistema con le combinazioni lineari e provato a risolvere con Gauss pero' mi vengono dei valori tipo:
a3=a1
a4=a2/2-a1/2
a2=a3+2a4
Assegnando dei parametri ad a1=a3=t
e a2=s dovrei poi sostitire nella combinazione lineare delle basi di B(U). Non so, è corretto questo procedimento? Così riotterrei le due basi di B(u) e il sottospazio intersezione per la formula di grassman dovrebbe avere dimensione due quindi ci sono su questo punto. Solo le due basi non mi convincono affatto :/
abbiamo che una base di U è per esempio: $B= {( ( 1 , 2 ),( -1 , 0 ) ) , ( ( 1 , 1 ),( 0 , -1 ) ) }$, mentre le due matrici di W già formano una base. tornando ad utilizzare l'isomorfismo abbiamo che:
$v= a (1,2,-1,0)+b(1,1,0,-1)$
$v=c(2,3,-1,-1)+d(2,2,0,-2)$
dato che sia i vettori di U che quelli di W appartengono all'intersezione. uguagliando, portando tutto a primo membro e sommando ottengo il sistema:
$ { ( a+b-2c-2d=0 ),( 2a+b-3c-2d=0 ),( -a+c=0 ),( -b+c+2d=0 ):} hArr { ( b=c+2d ),(c in RR),( a=c ),( d in RR ):} $
quindi abbiamo che:
$v=a (1,2,-1,0)+b(1,1,0,-1)=c (1,2,-1,0)+(c+2d)(1,1,0,-1)$
da cui ricavi la base (a meno di miei errori di conto che data l'ora tarda sarebbe meglio tu ricontrollassi!
)
per la somma non so cosa tu abbia calcolato e non ho nemmeno ben capito il procedimento che hai adottato per l'intersezione.
P.S. metti le formule tra il simbolo del $ che si capiscono molto di più!
$v= a (1,2,-1,0)+b(1,1,0,-1)$
$v=c(2,3,-1,-1)+d(2,2,0,-2)$
dato che sia i vettori di U che quelli di W appartengono all'intersezione. uguagliando, portando tutto a primo membro e sommando ottengo il sistema:
$ { ( a+b-2c-2d=0 ),( 2a+b-3c-2d=0 ),( -a+c=0 ),( -b+c+2d=0 ):} hArr { ( b=c+2d ),(c in RR),( a=c ),( d in RR ):} $
quindi abbiamo che:
$v=a (1,2,-1,0)+b(1,1,0,-1)=c (1,2,-1,0)+(c+2d)(1,1,0,-1)$
da cui ricavi la base (a meno di miei errori di conto che data l'ora tarda sarebbe meglio tu ricontrollassi!
)per la somma non so cosa tu abbia calcolato e non ho nemmeno ben capito il procedimento che hai adottato per l'intersezione.
P.S. metti le formule tra il simbolo del $ che si capiscono molto di più!
"cooper":
abbiamo che una base di U è per esempio: $B= {( ( 1 , 2 ),( -1 , 0 ) ) , ( ( 1 , 1 ),( 0 , -1 ) ) }$, mentre le due matrici di W già formano una base. tornando ad utilizzare l'isomorfismo abbiamo che:
$v= a (1,2,-1,0)+b(1,1,0,-1)$
$v=c(2,3,-1,-1)+d(2,2,0,-2)$
dato che sia i vettori di U che quelli di W appartengono all'intersezione. uguagliando, portando tutto a primo membro e sommando ottengo il sistema:
$ { ( a+b-2c-2d=0 ),( 2a+b-3c-2d=0 ),( -a+c=0 ),( -b+c+2d=0 ):} hArr { ( b=c+2d ),(c in RR),( a=c ),( d in RR ):} $
quindi abbiamo che:
$v=a (1,2,-1,0)+b(1,1,0,-1)=c (1,2,-1,0)+(c+2d)(1,1,0,-1)$
da cui ricavi la base (a meno di miei errori di conto che data l'ora tarda sarebbe meglio tu ricontrollassi!
per la somma non so cosa tu abbia calcolato e non ho nemmeno ben capito il procedimento che hai adottato per l'intersezione.
P.S. metti le formule tra il simbolo del $ che si capiscono molto di più!
Grande, per l'intersezione avevo usato il tuo stesso procedimento solo che mi lasciavo "confondere" da tutte queste incognite e sbagliavo qualche calcolo, grazie per avermi illuminato! ahah
Per la somma già che ci siamo ho "unito" le basi di U e W:
${(1,2,-1,0),(1,1,0,-1),2,3,-1,-1),(2,2,0,-2)}$ e ne ho poi estratto una base impostando tali vettori come colonne di una matrice. Alla fine ho ottenuto una matrice di rango 2 ed ho ricavato che la base della somma (solo una ne richiedeva la traccia) è ${(1,2,-1,0)}$. C'è qualche errore?
Grazie 1000 davvero, ti stimo!
"Amedim":
grazie per avermi illuminato
figurati
"Amedim":
Per la somma già che ci siamo ho "unito" le basi di U e W:
{(1,2,−1,0),(1,1,0,−1),2,3,−1,−1),(2,2,0,−2)} e ne ho poi estratto una base impostando tali vettori come colonne di una matrice
fin qui è perfetto ma poi fai un errore concettuale non proprio poco rilevante purtroppo!
"Amedim":
la base della somma (solo una ne richiedeva la traccia)
due osservazioni riguardo questa frase:
1. quando il testo dice "solo una ne richiedeva la traccia" non intende un solo vettore di quelli che formano la base ma una base qualunque. ed è qui il tuo errore concettuale. ogni spazio vettoriale/sottospazio ammette infinite basi che differiscono per una costante moltiplicativa. quello che intende quindi è di prendere una qualsiasi di queste due basi. basi che però sono formate da 2 vettori!! se come hai fatto tu prendessi un solo vettore, staresti implicitamente affermando che la dimensione della somma è 1, contraddicendo la formula di Grassmann.
2. l'articolo determinativo "la" che hai usato è poco preciso. dato il punto 1. è più corretto utilizzare l'articolo indeterminativo "una". ricordandoti che non si riferisce ai vettori che compongono la base (essi infatti non sono la base)
alla luce di queste considerazioni devi aggiungere un altro vettore alla base. come? come hai fatto prima con U,W.
"cooper":
[quote="Amedim"]grazie per avermi illuminato
figurati
"Amedim":
Per la somma già che ci siamo ho "unito" le basi di U e W:
{(1,2,−1,0),(1,1,0,−1),2,3,−1,−1),(2,2,0,−2)} e ne ho poi estratto una base impostando tali vettori come colonne di una matrice
fin qui è perfetto ma poi fai un errore concettuale non proprio poco rilevante purtroppo!
"Amedim":
la base della somma (solo una ne richiedeva la traccia)
due osservazioni riguardo questa frase:
1. quando il testo dice "solo una ne richiedeva la traccia" non intende un solo vettore di quelli che formano la base ma una base qualunque. ed è qui il tuo errore concettuale. ogni spazio vettoriale/sottospazio ammette infinite basi che differiscono per una costante moltiplicativa. quello che intende quindi è di prendere una qualsiasi di queste due basi. basi che però sono formate da 2 vettori!! se come hai fatto tu prendessi un solo vettore, staresti implicitamente affermando che la dimensione della somma è 1, contraddicendo la formula di Grassmann.
2. l'articolo determinativo "la" che hai usato è poco preciso. dato il punto 1. è più corretto utilizzare l'articolo indeterminativo "una". ricordandoti che non si riferisce ai vettori che compongono la base (essi infatti non sono la base)
alla luce di queste considerazioni devi aggiungere un altro vettore alla base. come? come hai fatto prima con U,W.[/quote]
Ah giusto, che errore stupido ho commesso ahah.
Dunque in conclusione (e direi finalmente ahah ) mi viene che anche UNA base della somma è formata da ${(1,2,-1,0),(1,1,0,-1)}$Credo di aver capito lo svolgimento di questa tipologia di esercizi adesso. Grazie tante ahahh
purtroppo devo contraddirti ancora. all'inizio noi abbiamo sfruttato l'isomorfismo per semplificare i calcoli ma i sottospazi sono definiti per matrici e quindi anche una base deve essere espressa come un insieme di matrici. quindi devi riconvertire tutte le basi di vettori in matrici.
"cooper":
purtroppo devo contraddirti ancora. all'inizio noi abbiamo sfruttato l'isomorfismo per semplificare i calcoli ma i sottospazi sono definiti per matrici e quindi anche una base deve essere espressa come un insieme di matrici. quindi devi riconvertire tutte le basi di vettori in matrici.
Dunque ricapitolando:
B(U)= $ ( ( 2 , -1 ),( 1 , 0 ),( 0 , 1 ) ) $
B(W)= $ ( ( 1 , 1 , -3 ),( 0 , 2 , 0 ),( 1 , 1 , 3 ) ) $
B(U+W)= $ ( ( 1 , 1 ),( 2 , 1 ),( -1 , 0 ),( 0 , -1 ) ) $
B(U $ nn $ W)= $ ( ( 1 , 1 ),( 2, 1 ),( -1 , 0 ),( 0 , -1 ) ) $
Tutto corretto?
ancora non ci siamo. non ho assolutamente capito cosa tu abbia scritto! 
tu stai lavorando nello spazio vettoriale $M_2(RR)$ quindi le basi di questo sottospazio sono formate da una o più matrici a seconda della dimensione dei sottospazi.
quindi le basi saranno del tipo che ho scritto in qualche post precedente (dove ho derivato la base dell'intersezione)
tu stai lavorando nello spazio vettoriale $M_2(RR)$ quindi le basi di questo sottospazio sono formate da una o più matrici a seconda della dimensione dei sottospazi.
quindi le basi saranno del tipo che ho scritto in qualche post precedente (dove ho derivato la base dell'intersezione)
"cooper":
ancora non ci siamo. non ho assolutamente capito cosa tu abbia scritto!
tu stai lavorando nello spazio vettoriale $M_2(RR)$ quindi le basi di questo sottospazio sono formate da una o più matrici a seconda della dimensione dei sottospazi.
quindi le basi saranno del tipo che ho scritto in qualche post precedente (dove ho derivato la base dell'intersezione)
e scusa potresti farmi un esempio per favore ricavando ad esempio la base somma di cui ne conosciamo già i due vettori? Proprio non riesco a ricavarmi le matrici
$B_+ = {( ( 1 , 2 ),( -1 , 0 ) ) , ( ( 1 , 1),( 0 , -1 ) )} $
"cooper":
$B_+ = {( ( 1 , 2 ),( -1 , 0 ) ) , ( ( 1 , 1),( 0 , -1 ) )} $
Ma verrebbero uguali quindi base somma ed intersezione?
mi ritrovo con gli stessi vettori per una base dell'intersezione
stando ai calcoli che ho fatto prima una base dell'intersezione mi viene $B_(nn) = {( ( 2 , 3 ),( -1 , -1 ) ) ,( ( 2 , 2 ),( 0 , -2 ) )}$
perchè a te vengono uguali?
perchè a te vengono uguali?
"Amedim":[/quote]
[quote="cooper"]
$v=a (1,2,-1,0)+b(1,1,0,-1)=c (1,2,-1,0)+(c+2d)(1,1,0,-1)$
da cui ricavi la base (a meno di miei errori di conto che data l'ora tarda sarebbe meglio tu ricontrollassi!
Forse è qui che non ho capito bene come calcolare...svolgendola come fa a venirti la base che hai ricavato?
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