Sottoinsieme con polinomio

[francescoric92]

Nello spazio R2[t] dei polinomi in t di grado minore o uguale a 2 sia dato il sottoinsieme:

B={1+t, t+$t^2$, 1+at+$t^2$}

1)si determinino i valori di a $in$ R per cui l'insieme B è una base di R2[t]
2)nel caso di a=1 si calcolino le coordinate di p(t)=2+t nella base B.

Sinceramente non sò proprio da dove iniziare,cioè come impostarlo...
Qualche aiutino?

[_prime_number]

Basta scrivere i tre vettori in coordinate secondo la base canonica $(1,1,0), (0,1,1), (1,a,1)$, costruire una matrice con essi come colonne (o righe) e discuterne il rango. Essi saranno una base se e solo se questo rango sarà $3=dim\RR_2[t]$

Paola

[Maci86]

Ottima la risposta di Paola, nel caso specifico userei un pelo di furbizia:
$ V:< ((1), (1),(0)), ((0),(1),(1)), ((1),(a),(1)) >$
Combiniamo linearmente i primi due vettori, in modo che il primo coefficiente, dato solo dal primo vettore, sia 1, il terzo coefficiente, dato solo dal terzo vettore, sia 1. Quindi:
$ ((1), (1),(0))+ ((0),(1),(1))= ((1), (2),(1))=((1),(a),(1)) Rightarrow a=2$
Per la seconda parte avrai una combinazione lineare dei tre vettori, sono solo conti da fare:
$ alpha((1), (1),(0))+beta ((0),(1),(1))+gamma ((1),(1),(1)) = ((alpha+gamma),(alpha+beta+gamma),(beta+gamma))=((2),(1),(0))Rightarrow beta=-gamma, alpha=1, gamma=1 Rightarrow ((1),(-1),(1))_V $.

[francescoric92]

grazie mille