Somma e intersezione di sottospazi vettoriali
Ciao a tutti avrei bisogno di una mano con l'ennesimo esercizio:
Calcolare una base per \(\displaystyle U \cap V \) e per \(\displaystyle U + V \).
\(\displaystyle U = \mathcal{L}\{(1,2,3),(4,5,6)\} \) , \(\displaystyle V=\mathcal{L}\{(1,0,2),(0,3,0)\} \)
Partirei dallo spazio somma che mi sembra più facile...
\(\displaystyle U+V = \mathcal{L}\{(1,2,3),(4,5,6),(1,0,2),(0,3,0)\} \)
Ora per trovare una base devo eliminare i vettori linearmente dipendenti, per farlo c'è un modo più veloce piuttosto che costruire la matrice associata e ridurla?
\(\displaystyle \begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\\1&0&2\\0&3&0\end{bmatrix} \sim \begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\\0&0&0\end{bmatrix}\)
Da cui una base di \(\displaystyle U+V \) è proprio la base canonica di \(\displaystyle \mathbb{R^3} \). Ciò era intuibile dal fatto che lo spazio generato da due piani (non paralleli?) in \(\displaystyle \mathbb{R}^3 \) è proprio \(\displaystyle \mathbb{R}^3 \) vero?
Mentre mi aspetto ora che \(\displaystyle U \cap V \) sia una retta e quindi abbia dimensione 1, sia perché è l'intersezione di due piani non paralleli, sia per la formula di Grassmann.
Ora per quanto riguarda l'intersezione ho provato in questo modo:
\(\displaystyle \mathbf{v} \in U \cap V \Leftrightarrow \lambda_1 (1,2,3) + \lambda_2 (4,5,6) = \lambda_3(1,0,2)+\lambda_4(0,3,0)\)
\(\displaystyle
\begin{cases}
\lambda_1+4\lambda_2=\lambda_3\\
2\lambda_1+5\lambda_2=3\lambda_4\\
3\lambda_1+6\lambda_2=2\lambda_3
\end{cases}\ \ ;
\begin{cases}
\lambda_1+4\lambda_2=\lambda_3\\
2\lambda_1+5\lambda_2=3\lambda_4\\
3\lambda_1+6\lambda_2=2\lambda_1+8\lambda_2
\end{cases}\ \ ;
\begin{cases}
\lambda_3=6\lambda_2\\
\lambda_4=3\lambda_2\\
\lambda_1=2\lambda_2
\end{cases}\ \ ;\)
\(\displaystyle \mathbf{v} = 2\lambda_2(1,2,3)+\lambda_2(4,5,6) = \lambda_2(2,4,6)+\lambda_2(4,5,6) = \lambda_2 (6,9,12)\)
Quindi \(\displaystyle U \cap V = \mathcal{L}\{(2,3,4)\} \).
Questo procedimento che ho fatto è corretto? So che avrei potuto direttamente ricavare la retta data dall'intersezione dei due piani in questo caso, ma ho provato a farlo con un procedimento un po' più generico per non avere in seguito problemi con questo tipo di esercizi, soprattutto in dimensioni maggiori dove questa intuitività viene meno... So che probabilmente ho allungato inutilmente la risoluzione, quindi per questo chiedo, se avete dei modi più veloci ed eleganti di risolvere questo tipo di esercizi, mi farebbe piacere impararli. Grazie a tutti come al solito dell'attenzione.
Calcolare una base per \(\displaystyle U \cap V \) e per \(\displaystyle U + V \).
\(\displaystyle U = \mathcal{L}\{(1,2,3),(4,5,6)\} \) , \(\displaystyle V=\mathcal{L}\{(1,0,2),(0,3,0)\} \)
Partirei dallo spazio somma che mi sembra più facile...
\(\displaystyle U+V = \mathcal{L}\{(1,2,3),(4,5,6),(1,0,2),(0,3,0)\} \)
Ora per trovare una base devo eliminare i vettori linearmente dipendenti, per farlo c'è un modo più veloce piuttosto che costruire la matrice associata e ridurla?
\(\displaystyle \begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\\1&0&2\\0&3&0\end{bmatrix} \sim \begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\\0&0&0\end{bmatrix}\)
Da cui una base di \(\displaystyle U+V \) è proprio la base canonica di \(\displaystyle \mathbb{R^3} \). Ciò era intuibile dal fatto che lo spazio generato da due piani (non paralleli?) in \(\displaystyle \mathbb{R}^3 \) è proprio \(\displaystyle \mathbb{R}^3 \) vero?
Mentre mi aspetto ora che \(\displaystyle U \cap V \) sia una retta e quindi abbia dimensione 1, sia perché è l'intersezione di due piani non paralleli, sia per la formula di Grassmann.
Ora per quanto riguarda l'intersezione ho provato in questo modo:
\(\displaystyle \mathbf{v} \in U \cap V \Leftrightarrow \lambda_1 (1,2,3) + \lambda_2 (4,5,6) = \lambda_3(1,0,2)+\lambda_4(0,3,0)\)
\(\displaystyle
\begin{cases}
\lambda_1+4\lambda_2=\lambda_3\\
2\lambda_1+5\lambda_2=3\lambda_4\\
3\lambda_1+6\lambda_2=2\lambda_3
\end{cases}\ \ ;
\begin{cases}
\lambda_1+4\lambda_2=\lambda_3\\
2\lambda_1+5\lambda_2=3\lambda_4\\
3\lambda_1+6\lambda_2=2\lambda_1+8\lambda_2
\end{cases}\ \ ;
\begin{cases}
\lambda_3=6\lambda_2\\
\lambda_4=3\lambda_2\\
\lambda_1=2\lambda_2
\end{cases}\ \ ;\)
\(\displaystyle \mathbf{v} = 2\lambda_2(1,2,3)+\lambda_2(4,5,6) = \lambda_2(2,4,6)+\lambda_2(4,5,6) = \lambda_2 (6,9,12)\)
Quindi \(\displaystyle U \cap V = \mathcal{L}\{(2,3,4)\} \).
Questo procedimento che ho fatto è corretto? So che avrei potuto direttamente ricavare la retta data dall'intersezione dei due piani in questo caso, ma ho provato a farlo con un procedimento un po' più generico per non avere in seguito problemi con questo tipo di esercizi, soprattutto in dimensioni maggiori dove questa intuitività viene meno... So che probabilmente ho allungato inutilmente la risoluzione, quindi per questo chiedo, se avete dei modi più veloci ed eleganti di risolvere questo tipo di esercizi, mi farebbe piacere impararli. Grazie a tutti come al solito dell'attenzione.
Risposte
"LogicalCake":
Ora per trovare una base devo eliminare i vettori linearmente dipendenti, per farlo c'è un modo più veloce piuttosto che costruire la matrice associata e ridurla?
Non devi mica ridurla completamente...
Temo che ti sfugga lo scopo di Gauss-Jordan. Quando hai fatto due passaggi e ottenuto:
$ ( ( 1 , 4 , 1 , 0 ),( 2 , 5 , 0 , 3 ),( 3 , 6 , 2 , 0 ) ) rArr ( ( 1 , 4 , 1 , 0 ),( 0 , 3 , 2 , -3 ),( 0 , 0 , 1 , -2 ) ) $
hai finito (io preferisco lavorare sempre per colonne).
Cosa ci dice la matrice a scalini? I tre pivot sono tutti diversi da 0, pertanto è possibile estrarre una base per tutto $RR^3$ (dal gruppo di generatori dati). I primi tre vettori, ad esempio. Oppure il primo, il secondo e il quarto.
E invece tu scrivi...
"LogicalCake":
Da cui una base di \(\displaystyle U+V \) è proprio la base canonica di \(\displaystyle \mathbb{R^3} \).
"LogicalCake":
Questo procedimento che ho fatto è corretto? So che avrei potuto direttamente ricavare la retta data dall'intersezione dei due piani in questo caso, ma ho provato a farlo con un procedimento un po' più generico per non avere in seguito problemi con questo tipo di esercizi, soprattutto in dimensioni maggiori dove questa intuitività viene meno...
Il procedimento è ok: intersecare i due sottospazi in forma parametrica è un'opzione.
Però, per esperienza, ti posso dire che in generale è decisamente più facile lavorare in forma cartesiana...specialmente quando le dimensioni sono grandi. E poi eventualmente usare Gauss per determinare la soluzione omogenea del sistema di equazioni.
Per esempio, nel caso specifico, basta fare il prodotto vettoriale dei due vettori di ogni base per ottenere:
$ { ( x-2y+z=0 ),( 2x-z=0 ):} $
E non serve Gauss per parametrizzare e trovare una direzione per la retta $(2,3,4)$...si fa ad occhio nudo.
Capito, grazie tante, ma comunque ormai che l'ho fatto non va bene la base che ho trovato scusami? Tutte le terne di vettori linearmente indipendenti in \(\displaystyle \mathbb{R^3} \) non determinano lo stesso spazio? Inutilmente lungo ma comunque corretto? (Si magari la prossima volta la scrivo meglio ahahahah)
Cordialmente Cristian
Cordialmente Cristian
"LogicalCake":
Capito, grazie tante, ma comunque ormai che l'ho fatto non va bene la base che ho trovato scusami?
No, perchè non ti hanno chiesto di trovare una base a piacere di $RR^3$.
Ti hanno chiesto di determinare una base dello spazio somma di due sottospazi di $RR^3$.
Quindi, dato il set di generatori, ti chiedono di scegliere uno dei minimo sottoinsieme di essi che generi lo spazio somma. Poi, si capisce che la base sarà composta da 3 vettori che quindi generano tutto $RR^3$, ma non devi cambiare base scegliendone una a piacere. Devi sceglierla fra le possibili opzioni di quello specifico sistema di generatori!
Ahhh chiaroo, che stupido, grazie tante, menomale che ho chiesto, avrei fatto tanti di quei disastri continuando....
Grazie ancora, gentilissimo
Grazie ancora, gentilissimo
Ciao, ora avrei dei dubbi però per quanto riguarda spazi di dimensione maggiore, come fareste in questo caso a trovare \(\displaystyle U \cap V\) ?
\(\displaystyle U = \mathcal{L}\{(1,2,3,4),(5,6,7,8)\} \)
\(\displaystyle V = \mathcal{L}\{(9,10,11,12),(13,14,15,16)\} \)
So che l'intersezione avrà dimensione 2, perché avendo trovato prima la somma dei sottospazi, per la formula di Grassmann deve essere così. Ma questo non mi facilita in alcun modo... Sinceramente fare come nel primo esercizio mi sembra inutilmente lungo e meccanico... Qualche consiglio? So che magari vi annoio con certe sciocchezze ma siete davvero di grandissimo aiuto!
Per la somma ho fatto così:
\(\displaystyle
\begin{bmatrix}
1&2&3&4\\
5&6&7&8\\
9&10&11&12\\
13&14&15&16
\end{bmatrix}
\sim
\begin{bmatrix}
1&2&3&4\\
1&1&1&1\\
0&0&0&0\\
0&0&0&0\\
\end{bmatrix}
\sim
\begin{bmatrix}
1&1&1&1\\
0&1&2&3\\
0&0&0&0\\
0&0&0&0\\
\end{bmatrix}
\)
\(\displaystyle U+V = \mathcal{L}\{(1,1,1,1)(0,1,2,3)\} \)
Credo di aver fatto lo stesso errore di prima, mi spieghi come seleziono i generatori esatti? Cioe vedo che il rango è due e ne prendo due a caso? Mi sembra strano fare così...
\(\displaystyle U = \mathcal{L}\{(1,2,3,4),(5,6,7,8)\} \)
\(\displaystyle V = \mathcal{L}\{(9,10,11,12),(13,14,15,16)\} \)
So che l'intersezione avrà dimensione 2, perché avendo trovato prima la somma dei sottospazi, per la formula di Grassmann deve essere così. Ma questo non mi facilita in alcun modo... Sinceramente fare come nel primo esercizio mi sembra inutilmente lungo e meccanico... Qualche consiglio? So che magari vi annoio con certe sciocchezze ma siete davvero di grandissimo aiuto!
Per la somma ho fatto così:
\(\displaystyle
\begin{bmatrix}
1&2&3&4\\
5&6&7&8\\
9&10&11&12\\
13&14&15&16
\end{bmatrix}
\sim
\begin{bmatrix}
1&2&3&4\\
1&1&1&1\\
0&0&0&0\\
0&0&0&0\\
\end{bmatrix}
\sim
\begin{bmatrix}
1&1&1&1\\
0&1&2&3\\
0&0&0&0\\
0&0&0&0\\
\end{bmatrix}
\)
\(\displaystyle U+V = \mathcal{L}\{(1,1,1,1)(0,1,2,3)\} \)
Credo di aver fatto lo stesso errore di prima, mi spieghi come seleziono i generatori esatti? Cioe vedo che il rango è due e ne prendo due a caso? Mi sembra strano fare così...
Facciamo così... più tardi ti fornisco un procedimento logico che fa uso di Gauss Jordan motivandone la logica.
"Bokonon":
Facciamo così... più tardi ti fornisco un procedimento logico che fa uso di Gauss Jordan motivandone la logica.
Grazie davvero! A presto!
Continuando con la stessa serie di esercizi mi vengono proposti questi due:
Calcolare \(\displaystyle U \cap V \) e \(\displaystyle U+V \):
(i) \(\displaystyle U = \left\{A \in \mathbb{R}^{2,2}: \mathbf{u}A = 0 , \mathbf{u} = (1,1)\right\} \) e \(\displaystyle V = \left\{A \in \mathbb{R}^{3,2}: A\mathbf{v}=0, \mathbf{v}^t = (1,1)\right\} \)
(ii) \(\displaystyle U = \left\{A \in \mathbb{R}^{2,2}: \mathbf{u}A = 0 , \mathbf{u} = (2,1)\right\} \) e \(\displaystyle V = \left\{A \in \mathbb{R}^{3,2}: A\mathbf{v}=0, \mathbf{v}^t = (1,1)\right\} \)
Ma mi sorge spontanea una domanda... Non posso nè sommare nè intersecare spazi di matrici di dimensione diversa o mi sto sbagliando? La somma tra matrici è definita solo tra matrici di taglia uguale, per questo motivo non posso combinare linearmente gli elementi di questi due sottospazi, oppure sto dicendo una enorme stupidaggine come al mio solito? Mi sembra sospetto perché ce ne sono due di questi esercizi... Attendo un vostro riscontro, come al solito vi ringrazio in anticipo, mi state aiutando moltissimo!
Calcolare \(\displaystyle U \cap V \) e \(\displaystyle U+V \):
(i) \(\displaystyle U = \left\{A \in \mathbb{R}^{2,2}: \mathbf{u}A = 0 , \mathbf{u} = (1,1)\right\} \) e \(\displaystyle V = \left\{A \in \mathbb{R}^{3,2}: A\mathbf{v}=0, \mathbf{v}^t = (1,1)\right\} \)
(ii) \(\displaystyle U = \left\{A \in \mathbb{R}^{2,2}: \mathbf{u}A = 0 , \mathbf{u} = (2,1)\right\} \) e \(\displaystyle V = \left\{A \in \mathbb{R}^{3,2}: A\mathbf{v}=0, \mathbf{v}^t = (1,1)\right\} \)
Ma mi sorge spontanea una domanda... Non posso nè sommare nè intersecare spazi di matrici di dimensione diversa o mi sto sbagliando? La somma tra matrici è definita solo tra matrici di taglia uguale, per questo motivo non posso combinare linearmente gli elementi di questi due sottospazi, oppure sto dicendo una enorme stupidaggine come al mio solito? Mi sembra sospetto perché ce ne sono due di questi esercizi... Attendo un vostro riscontro, come al solito vi ringrazio in anticipo, mi state aiutando moltissimo!
Affronterò il tema solo e unicamente dal punto di vista geometrico e, diciamo, pratico.
Sostanzialmente, porrò un problema geometrico e come usare l'eliminazione di Gauss per risolverlo.
Presa qualsiasi coppia di vettori n-dimensionali (non paralleli) rispetto ad un sistema di riferimento (per esempio quello canonico), esiste un piano su cui giacciono entrambi...che è anche quello che generano. Quindi qualsiasi combinazione lineare dei due vettori giacerà sul medesimo piano. Il vettore ottenuto + uno dei due vettori di partenza è ancora una base del medesimo piano. Lapalissiano.
Dati i vettori $a^T=(1,2,3,4)$ e $b^T=(5,6,7,8)$, rispetto al sistema di riferimento dato, posso sempre quindi tenere il primo vettore e trovare un vettore $c$ (che rimpiazzi $b$) e che abbia la prima componente pari a zero. $c^T=-5a^T+b^T=-5*(1,2,3,4)+(5,6,7,8)=(0,-4,-8,-12)$. Ora, anche se gli cambio verso e lo restringo/allargo è ancora la medesima direzione, pertanto lo riscrivo come $c^T=(0,1,2,3)$. Adesso la mia base del piano è ${a,c}$. (Notare che se i due vettori $a$ e $b$ fossero stati paralleli, allora questa operazione avrebbe restituito il vettore nullo; pertanto il primo genera l'altro e viceversa...ovvero stanno su una retta)
Cosa ho fatto? Ho semplicemente ruotato e riscalato il vettore $b$ sul piano in modo tale da azzerarne la componente X rispetto al dato di sistema di riferimento.
Ora mi viene dato un terzo vettore $d^T=(9,10,11,12)$ e mi pongo la domanda:sta sul medesimo piano o no?
Beh, ci penso su e mi dico che se ripeto la medesima operazione rimpiazzando $d$ con $e=-9*a+d$ e poi lo confronto con $c$ possono accadere solo due cose:
1) $e$ è parallelo a $c$ (quindi è lo stesso vettore a meno di una costante di proporzionalità) e quindi $e$ sta sul medesimo piano e non ho bisogno di lui per generare il medesimo piano quando ho già $c$.
2) $e$ non è sul piano e quindi posso ripetere il medesimo giochino sul piano generato da ${c,e}$ rimpiazzando $e$ con un vettore $f$ tale che abbia le componenti X e Y pari a zero.
Nel nostro caso sappiamo già che accade la 1) ma supponiamo che accada la 2).
Adesso sappiamo che i tre vettori originari dati sono indipendenti e generano quindi un iperspazio tridimensionale. Mi arriva un quarto vettore e ripeto il giochino delle rotazioni e stretching lungo, nell'ordine, i piani generati da ${a,c}$ e ${c,f}$ e poi lo confronto con $f$ e vedo se sta nell'iperpiano. Etc etc.
L'eliminazione di Gauss fa esattamente questo. Quindi se mi chiedono di trovare una base da un sistema di generatori, uso Gauss per evidenziare chi è necessario e chi è ridondante. Nel nostro esercizio salta fuori che i due sottospazi bidimensionali (=piani) di $RR^4$ sono il medesimo piano ma con basi diverse. Tout court.
(Essendo spazi vettoriali passano entrambi per l'origine, quindi non sono piani paralleli ma proprio il medesimo piano). Ergo lo spazio somma è generato sicuramente da ${(1,2,3,4)^T,(5,6,7,8)^T}$.
Ma abbiamo visto che anche il terzo e il quarto vettore aggiungono la medesima informazione di $(5,6,7,8)$ quindi possiamo benissimo sostituirlo con uno degli altri due e ottenere altre due basi. Ovviamente anche il terzo e il quarto vettore sono una base del medesimo spazio somma.
In questo post stiamo restringendo l'utilizzo dell'eliminazione di Gauss, magari dopo parleremo di come utilizzarlo per trovare lo spazio intersezione (ovvero risolvere dei sistemi omogenei), oppure per invertire una matrice, oppure per la decomposizione $M=LU$, etc etc.
Riassumendo, dati n vettori (sistema di generatori) non è possibile stabilire ad occhio quali sottoinsiemi tenere (una base): abbiamo bisogno di un algoritmo semplice, logico e che costi pure poco in termini di tempo (se applicato ad un PC...o ad un esame
). Gauss fa proprio questo: prima mi confronta la prima riga con la seconda e vede se appartengono alla medesima retta. Poi confronta la prima con la terza e infine il risultato con la seconda per vedere se il terzo appartiene al piano generato dalle prima due righe. E via così. Se le righe si azzerano, sai cosa significa e perchè.
Ho scritto troppo per oggi, magari riprendiamo da qua per il resto.
P.S. Si, hai di nuovo fatto il medesimo errore dell'altra volta e fai passaggi in più che non sono necessari.
E' vero che anche i due vettori "trasformati" generano il medesimo spazio vettoriale ma ti chiedono di scegliere la base fra i vettori forniti dal testo! Quindi stai usando Gauss solo per determinare in modo "automatico" quali righe=vettori originari tenere e quali no. Prendi quindi i vettori delle righe della prima matrice che crei che non abbiano una corrispondente riga nulla nella matrice trasformata. Sic et simpliciter. Se ti "attacchi" a questo metodo, non puoi mai sbagliare...esattamente come un PC: troverai sempre una delle soluzioni possibile.
Le altre dipendono dall'ordine in cui inserisci i vettori nelle righe o da come sai leggere la matrice risultante e i passaggi fatti (come ho mostrato sopra).
In un altro thread ti ho detto che non è importante che sia proprio a scalini. Per esempio, supponiamo che la seconda riga si azzeri dopo il primo passaggio. Al secondo passaggio ripeti il medesimo step confrontando la prima con la terza riga annullando sempre la componente X...e, tragedia!, trovi un pivot che non sta sulla diagonale. Puoi fare due cose: continuare perchè capisci che anche quello è un pivot e significa solo che la prima e la terza riga non stanno sulla medesima retta. Oppure preso da meticolosità ossessivo compulsiva, ti dici Però, avrei potuto benissimo piazzare i vettori in un ordine di righe diverse e quindi sposti la riga nulla in fondo ripristinando la bellissima diagonale
P.S.2 Giusto terminare l'esercizio...quale mai sarà l'intersezione fra due insiemi identici?
P.S.3 Mi era totalmente sfuggito il tuo nuovo post: per favore apri un nuovo thread per ogni esercizio.
Sostanzialmente, porrò un problema geometrico e come usare l'eliminazione di Gauss per risolverlo.
Presa qualsiasi coppia di vettori n-dimensionali (non paralleli) rispetto ad un sistema di riferimento (per esempio quello canonico), esiste un piano su cui giacciono entrambi...che è anche quello che generano. Quindi qualsiasi combinazione lineare dei due vettori giacerà sul medesimo piano. Il vettore ottenuto + uno dei due vettori di partenza è ancora una base del medesimo piano. Lapalissiano.
Dati i vettori $a^T=(1,2,3,4)$ e $b^T=(5,6,7,8)$, rispetto al sistema di riferimento dato, posso sempre quindi tenere il primo vettore e trovare un vettore $c$ (che rimpiazzi $b$) e che abbia la prima componente pari a zero. $c^T=-5a^T+b^T=-5*(1,2,3,4)+(5,6,7,8)=(0,-4,-8,-12)$. Ora, anche se gli cambio verso e lo restringo/allargo è ancora la medesima direzione, pertanto lo riscrivo come $c^T=(0,1,2,3)$. Adesso la mia base del piano è ${a,c}$. (Notare che se i due vettori $a$ e $b$ fossero stati paralleli, allora questa operazione avrebbe restituito il vettore nullo; pertanto il primo genera l'altro e viceversa...ovvero stanno su una retta)
Cosa ho fatto? Ho semplicemente ruotato e riscalato il vettore $b$ sul piano in modo tale da azzerarne la componente X rispetto al dato di sistema di riferimento.
Ora mi viene dato un terzo vettore $d^T=(9,10,11,12)$ e mi pongo la domanda:sta sul medesimo piano o no?
Beh, ci penso su e mi dico che se ripeto la medesima operazione rimpiazzando $d$ con $e=-9*a+d$ e poi lo confronto con $c$ possono accadere solo due cose:
1) $e$ è parallelo a $c$ (quindi è lo stesso vettore a meno di una costante di proporzionalità) e quindi $e$ sta sul medesimo piano e non ho bisogno di lui per generare il medesimo piano quando ho già $c$.
2) $e$ non è sul piano e quindi posso ripetere il medesimo giochino sul piano generato da ${c,e}$ rimpiazzando $e$ con un vettore $f$ tale che abbia le componenti X e Y pari a zero.
Nel nostro caso sappiamo già che accade la 1) ma supponiamo che accada la 2).
Adesso sappiamo che i tre vettori originari dati sono indipendenti e generano quindi un iperspazio tridimensionale. Mi arriva un quarto vettore e ripeto il giochino delle rotazioni e stretching lungo, nell'ordine, i piani generati da ${a,c}$ e ${c,f}$ e poi lo confronto con $f$ e vedo se sta nell'iperpiano. Etc etc.
L'eliminazione di Gauss fa esattamente questo. Quindi se mi chiedono di trovare una base da un sistema di generatori, uso Gauss per evidenziare chi è necessario e chi è ridondante. Nel nostro esercizio salta fuori che i due sottospazi bidimensionali (=piani) di $RR^4$ sono il medesimo piano ma con basi diverse. Tout court.
(Essendo spazi vettoriali passano entrambi per l'origine, quindi non sono piani paralleli ma proprio il medesimo piano). Ergo lo spazio somma è generato sicuramente da ${(1,2,3,4)^T,(5,6,7,8)^T}$.
Ma abbiamo visto che anche il terzo e il quarto vettore aggiungono la medesima informazione di $(5,6,7,8)$ quindi possiamo benissimo sostituirlo con uno degli altri due e ottenere altre due basi. Ovviamente anche il terzo e il quarto vettore sono una base del medesimo spazio somma.
In questo post stiamo restringendo l'utilizzo dell'eliminazione di Gauss, magari dopo parleremo di come utilizzarlo per trovare lo spazio intersezione (ovvero risolvere dei sistemi omogenei), oppure per invertire una matrice, oppure per la decomposizione $M=LU$, etc etc.
Riassumendo, dati n vettori (sistema di generatori) non è possibile stabilire ad occhio quali sottoinsiemi tenere (una base): abbiamo bisogno di un algoritmo semplice, logico e che costi pure poco in termini di tempo (se applicato ad un PC...o ad un esame
). Gauss fa proprio questo: prima mi confronta la prima riga con la seconda e vede se appartengono alla medesima retta. Poi confronta la prima con la terza e infine il risultato con la seconda per vedere se il terzo appartiene al piano generato dalle prima due righe. E via così. Se le righe si azzerano, sai cosa significa e perchè.Ho scritto troppo per oggi, magari riprendiamo da qua per il resto.
P.S. Si, hai di nuovo fatto il medesimo errore dell'altra volta e fai passaggi in più che non sono necessari.
E' vero che anche i due vettori "trasformati" generano il medesimo spazio vettoriale ma ti chiedono di scegliere la base fra i vettori forniti dal testo! Quindi stai usando Gauss solo per determinare in modo "automatico" quali righe=vettori originari tenere e quali no. Prendi quindi i vettori delle righe della prima matrice che crei che non abbiano una corrispondente riga nulla nella matrice trasformata. Sic et simpliciter. Se ti "attacchi" a questo metodo, non puoi mai sbagliare...esattamente come un PC: troverai sempre una delle soluzioni possibile.
Le altre dipendono dall'ordine in cui inserisci i vettori nelle righe o da come sai leggere la matrice risultante e i passaggi fatti (come ho mostrato sopra).
In un altro thread ti ho detto che non è importante che sia proprio a scalini. Per esempio, supponiamo che la seconda riga si azzeri dopo il primo passaggio. Al secondo passaggio ripeti il medesimo step confrontando la prima con la terza riga annullando sempre la componente X...e, tragedia!, trovi un pivot che non sta sulla diagonale. Puoi fare due cose: continuare perchè capisci che anche quello è un pivot e significa solo che la prima e la terza riga non stanno sulla medesima retta. Oppure preso da meticolosità ossessivo compulsiva, ti dici Però, avrei potuto benissimo piazzare i vettori in un ordine di righe diverse e quindi sposti la riga nulla in fondo ripristinando la bellissima diagonale
P.S.2 Giusto terminare l'esercizio...quale mai sarà l'intersezione fra due insiemi identici?
P.S.3 Mi era totalmente sfuggito il tuo nuovo post: per favore apri un nuovo thread per ogni esercizio.
Ciao Bokonon, grazie davvero tante per la risposta molto chiara ed esaustiva, ora credo di aver capito questo procedimento, una specie di crivello di Eratostene mi ricorda, credo che venga chiamato metodo degli scarti successivi, mi sbaglio?
Si, effettivamente mi scivola un po' la mano nel ridurre (anzi, super-ridurre) queste benedette matrici, essendo più abituato a risolvere sistemi lineari che altro penso sempre a far comparire più entrate nulle possibili, anche quando non è necessario... In effetti in questi casi permutare le righe non serve proprio a niente, anzi confonde soltanto l'ordine dei vettori... Dunque in questi casi, se l'esercizio non specifica diversamente, come base devo scegliere tra i generatori forniti dalla traccia necessariamente?
P.S. 2: Mi sembra abbastanza ovvio che sia o uno o l'altro insieme, coincidono
P.S. 3: Pardon, fatto. (Rimuovo il messaggio anche?)
Si, effettivamente mi scivola un po' la mano nel ridurre (anzi, super-ridurre) queste benedette matrici, essendo più abituato a risolvere sistemi lineari che altro penso sempre a far comparire più entrate nulle possibili, anche quando non è necessario... In effetti in questi casi permutare le righe non serve proprio a niente, anzi confonde soltanto l'ordine dei vettori... Dunque in questi casi, se l'esercizio non specifica diversamente, come base devo scegliere tra i generatori forniti dalla traccia necessariamente?
P.S. 2: Mi sembra abbastanza ovvio che sia o uno o l'altro insieme, coincidono
P.S. 3: Pardon, fatto. (Rimuovo il messaggio anche?)
Il crivello me lo ricordo diverso...
L'algoritmo non fa altro che rendere i confronti successivi semplici, determinando di volta in volta se la i-esima riga è un vettore appartenente allo spazio vettoriale generato dalle prime $i-1$ righe.
Il test è semplice...se la i-esima riga si annulla, allora è nel medesimo spazio e possiamo eliminare il corrispondente generatore dall'insieme. Chi sopravvive, vince.
Ma certo che devi scegliere fra i generatori che ti sono stati dati. Non complicarti la vita e non complicarla al prof. che deve correggere!
Se ti permette ancora di cancellare il messaggio, fallo. Sennò amen.
L'algoritmo non fa altro che rendere i confronti successivi semplici, determinando di volta in volta se la i-esima riga è un vettore appartenente allo spazio vettoriale generato dalle prime $i-1$ righe.
Il test è semplice...se la i-esima riga si annulla, allora è nel medesimo spazio e possiamo eliminare il corrispondente generatore dall'insieme. Chi sopravvive, vince.
Ma certo che devi scegliere fra i generatori che ti sono stati dati. Non complicarti la vita e non complicarla al prof. che deve correggere!
Se ti permette ancora di cancellare il messaggio, fallo. Sennò amen.
Purtroppo non me lo fa più cancellare, pensavo si potesse fare in qualunque momento. Ad ogni modo ho detto che mi ricordava il crivello perché sostanzialmente quello che facciamo è prendere il primo vettore ed eliminare i suoi multipli, poi prendiamo la coppia dei primi rimasti ed eliminiamo le loro combinazioni lineari, poi la terna e così via... Sembra funzionare anche in questo modo, anzi, mi sembra piuttosto simile... Ad ogni modo ho capito quali sono i passaggi da fare, senza andare a ridurre come un calcolatore senza pensare a quello che faccio.
Grazie tante dell'aiuto, non so come farei senza questo forum! A volte ho la sensazione che i miei messaggi siano troppo banali e per questo ho paura di scrivere troppe cose scontate che non catturano l'interesse di altri... Spero non sia un problema la quantità e la qualità delle cose che sto chiedendo, non so bene come funzioni ancora, sono iscritto da meno di un mese al forum...
Grazie ancora!
Grazie tante dell'aiuto, non so come farei senza questo forum! A volte ho la sensazione che i miei messaggi siano troppo banali e per questo ho paura di scrivere troppe cose scontate che non catturano l'interesse di altri... Spero non sia un problema la quantità e la qualità delle cose che sto chiedendo, non so bene come funzioni ancora, sono iscritto da meno di un mese al forum...
Grazie ancora!
"LogicalCake":
A volte ho la sensazione che i miei messaggi siano troppo banali
Ma figurati...ci siamo passati tutti!
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