Somma diretta, passaggio dimostrativo.
Buongiorno. Ho un dubbio su un passaggio della seguente proposizione, cioè
Proposizione: Siano $W_1, W_2$ sottospazi vettoriali di $W$, per cui ogni vettore di $W_1+W_2$ si esprime in modo unico come somma di un vettore di $W_1$ con uno di $W_2$, allora $W_1 cap W_2={0}$.
Dimostrazione:
Sia $u in W_1capW_2={0}$, dal fatto $ 1) u=u+0=0+u$, segue, per l'unicità della scrittura, $u=0.$
Non ho capito, cosa voglia dire la 1), e perché dalla stessa si ha la tesi.
Proposizione: Siano $W_1, W_2$ sottospazi vettoriali di $W$, per cui ogni vettore di $W_1+W_2$ si esprime in modo unico come somma di un vettore di $W_1$ con uno di $W_2$, allora $W_1 cap W_2={0}$.
Dimostrazione:
Sia $u in W_1capW_2={0}$, dal fatto $ 1) u=u+0=0+u$, segue, per l'unicità della scrittura, $u=0.$
Non ho capito, cosa voglia dire la 1), e perché dalla stessa si ha la tesi.
Risposte
\(u\) si scrive come \((0,u)\) (perché \(u\in W_2\); quello zero è lo zero di \(W_1\le W\)), e come \((u,0)\) (perché \(u\in W_1\); questo secondo zero è lo zero di \(W_2 \le W\)). L'ipotesi di unicità di queste due scritture ti dice che sono la stessa, e l'unico modo in cui \((0,u)=(u,0)\) è che sia \(u=0_{W_2}=0_{W_1}=0_W\).
Forse ho capito, grazie.
Preso $u in W_1 cap W_2 => u in W_1, u in W_2.$ Da questo seguono due casi:
a) $u in W_1$, $0_(W_2) in W_2$ essendo un sottospazio vettoriale, quindi $\qquad u=u+0_(W_2)$.
b) $u in W_2$, $0_(W_1) in W_1$ essendo un sottospazio vettoriale, quindi $\qquad u=0_(W_1)+u$.
Da a) e b) si ha la seguente uguaglianza $u=u+0_(W_2)=0_(W_1)+u$, questa scrittura indica solo che il vettore $u$ è espresso in due modi, ora dall'ipotesi di unicità, segue che questi due modi devono essere uguali e cioè $u=0_(W_1)$ e $u=0_(W_2)$ essendo $0_(W_1)=0_W=0_(W_2)$ si ha $u=0_W.$
Giusto ?
Un altro dubbio, ad esempio in a), l'ordine con cui espando $u$ deve essere rispettato essendo la scrittura unica, cioè potrei scrivere $u=0_(W_2)+u$?
Preso $u in W_1 cap W_2 => u in W_1, u in W_2.$ Da questo seguono due casi:
a) $u in W_1$, $0_(W_2) in W_2$ essendo un sottospazio vettoriale, quindi $\qquad u=u+0_(W_2)$.
b) $u in W_2$, $0_(W_1) in W_1$ essendo un sottospazio vettoriale, quindi $\qquad u=0_(W_1)+u$.
Da a) e b) si ha la seguente uguaglianza $u=u+0_(W_2)=0_(W_1)+u$, questa scrittura indica solo che il vettore $u$ è espresso in due modi, ora dall'ipotesi di unicità, segue che questi due modi devono essere uguali e cioè $u=0_(W_1)$ e $u=0_(W_2)$ essendo $0_(W_1)=0_W=0_(W_2)$ si ha $u=0_W.$
Giusto ?
Un altro dubbio, ad esempio in a), l'ordine con cui espando $u$ deve essere rispettato essendo la scrittura unica, cioè potrei scrivere $u=0_(W_2)+u$?
Ricordati che \(\displaystyle W_1\) e \(\displaystyle W_2\) sono sottospazi vettoriali di un medesimo spazio vettoriale... 
Buongiorno.
@j18eos con questa affermazione vuoi dirmi, ad esempio, che il vettore nullo di $W_2$ è lo stesso di $W_1$ quindi è quello di $W$ ?
@j18eos con questa affermazione vuoi dirmi, ad esempio, che il vettore nullo di $W_2$ è lo stesso di $W_1$ quindi è quello di $W$ ?
Sì, esattamente!
Ciao @j18eos, non voglio dire sciocchezze, ma già l'osservato qui
"Yuyu_13":
essendo $ 0_(W_1)=0_W=0_(W_2) $ si ha $ u=0_W. $
Quello che ho scritto è corretto ?
"Yuyu_13":
Da a) e b) si ha la seguente uguaglianza $ u=u+0_(W_2)=0_(W_1)+u $, questa scrittura indica solo che il vettore $ u $ è espresso in due modi, ora dall'ipotesi di unicità, segue che questi due modi devono essere uguali e cioè $ u=0_(W_1) $ e $ u=0_(W_2) $ essendo $ 0_(W_1)=0_W=0_(W_2) $ si ha $ u=0_W. $
A me sembra tutto un giro inconcludente, dato che parti da una banalità: \(u=u+0\)...
Prova considerare gli unici \(w_1\in W_1,w_2\in W_2\) tali che \(u=w_1+w_2\): cosa potresti affermare?
Prova considerare gli unici \(w_1\in W_1,w_2\in W_2\) tali che \(u=w_1+w_2\): cosa potresti affermare?
"j18eos":è ovvio poiché il vettore nullo è l'elemento neutro per la somma.
A me sembra tutto un giro inconcludente, dato che parti da una banalità: \( u=u+0 \)...
Invece, quello che sto cercando di fare è vedere se ho capito l'idea che ci sta dietro la dimostrazione.
In altri termini con questa discussione
"Yuyu_13":penso di aver dettagliato tutti i passaggi della dimostrazione. Rileggendo, forse i punti a) e b) possono essere anche omessi.
Forse ho capito, grazie.
Preso $ u in W_1 cap W_2 => u in W_1, u in W_2. $ Da questo seguono due casi:
a) $ u in W_1 $, $ 0_(W_2) in W_2 $ essendo un sottospazio vettoriale, quindi $ \qquad u=u+0_(W_2) $.
b) $ u in W_2 $, $ 0_(W_1) in W_1 $ essendo un sottospazio vettoriale, quindi $ \qquad u=0_(W_1)+u $.
Da a) e b) si ha la seguente uguaglianza $ u=u+0_(W_2)=0_(W_1)+u $, questa scrittura indica solo che il vettore $ u $ è espresso in due modi, ora dall'ipotesi di unicità, segue che questi due modi devono essere uguali e cioè $ u=0_(W_1) $ e $ u=0_(W_2) $ essendo $ 0_(W_1)=0_W=0_(W_2) $ si ha $ u=0_W. $
"j18eos":che il vettore $u$ è scritto in modo unico.
Prova considerare gli unici \(w_1\in W_1,w_2\in W_2\) tali che \(u=w_1+w_2\): cosa potresti affermare?
Scusami, ho sbagliato suggerimento!
Sia \(\displaystyle u\in W_1\cap W_2\), allora \(\displaystyle\underline{0}=u+(-u)\) ove si può intendere \(\displaystyle u\in W_1\) e \(\displaystyle-u\in W_2\); per l'unicità di scrittura devono essere \(\displaystyle u=-u=\underline{0}\).
Ti torna?
Sia \(\displaystyle u\in W_1\cap W_2\), allora \(\displaystyle\underline{0}=u+(-u)\) ove si può intendere \(\displaystyle u\in W_1\) e \(\displaystyle-u\in W_2\); per l'unicità di scrittura devono essere \(\displaystyle u=-u=\underline{0}\).
Ti torna?
Figurati.
Cerco di esplicitare al meglio il mio problema.
Prendo $u in W_1 cap W_2$, segue per definizione di intersezione, $u in W_1$ e $u in W_2. $
Posso osservare che se $u in W_2$, allora anche $-u in W_2$, essendo $W_2$ un sottospazio vettoriale.
Dopodiché osservo $u+(-u)=0_W$, questa relazione segue dal fatto che $(W, +)$ è un gruppo abeliano dunque, se sommo un suo elemento con il suo opposto ho l'elemento neutro per l'operazione interna.
Penso che quello che ho scritto fin qui sia corretto. Ora arriva il problema
Mi chiedo perché dalla relazione $u+(-u)=0_W$ e dall'ipotesi di unicità della scrittura deve seguire $u=-u=0_W$?
Non potrei dire che dalla relazione $u+(-u)=0_W$ segue che l'unico vettore che coincide con il suo opposto è proprio il vettore nullo, dunque dall'arbitrarietà di $u$ si ha la tesi?
Cerco di esplicitare al meglio il mio problema.
Prendo $u in W_1 cap W_2$, segue per definizione di intersezione, $u in W_1$ e $u in W_2. $
Posso osservare che se $u in W_2$, allora anche $-u in W_2$, essendo $W_2$ un sottospazio vettoriale.
Dopodiché osservo $u+(-u)=0_W$, questa relazione segue dal fatto che $(W, +)$ è un gruppo abeliano dunque, se sommo un suo elemento con il suo opposto ho l'elemento neutro per l'operazione interna.
Penso che quello che ho scritto fin qui sia corretto. Ora arriva il problema
Mi chiedo perché dalla relazione $u+(-u)=0_W$ e dall'ipotesi di unicità della scrittura deve seguire $u=-u=0_W$?
Non potrei dire che dalla relazione $u+(-u)=0_W$ segue che l'unico vettore che coincide con il suo opposto è proprio il vettore nullo, dunque dall'arbitrarietà di $u$ si ha la tesi?
"Yuyu_13":Te l'ho detto io: perché $u$ si scrive come $(u,0)$ o come $(0,u)$; siccome questa scrittura è unica, $u=0$.
Mi chiedo perché dalla relazione $u+(-u)=0_W$ e dall'ipotesi di unicità della scrittura deve seguire $u=-u=0_W$?
"Yuyu_13":Perché l'unico modo per ottenere \(\displaystyle\underline{0}=\underline{w}_1+\underline{w}_2\) con \(\displaystyle\underline{w}_i\in W_i\) e \(i\in\{1,2\}\) è prendere (per ipotesi) \(\displaystyle\underline{w}_1=\underline{w}_2=\underline{0}\).
[...] perché dalla relazione $u+(-u)=0_W$ e dall'ipotesi di unicità della scrittura deve seguire $u=-u=0_W$? [...]
@megas_archon, hai scritto questo
dopodiché io ho risposto con tutta sta pappardella
@j18eos, devo prendere $w_1, w_2$ per ipotesi uguali al vettore nullo ? Ero convinto che quella fosse la tesi
"megas_archon":
\(u\) si scrive come \((0,u)\) (perché \(u\in W_2\); quello zero è lo zero di \(W_1\le W\)), e come \((u,0)\) (perché \(u\in W_1\); questo secondo zero è lo zero di \(W_2 \le W\)). L'ipotesi di unicità di queste due scritture ti dice che sono la stessa, e l'unico modo in cui \((0,u)=(u,0)\) è che sia \(u=0_{W_2}=0_{W_1}=0_W\).
dopodiché io ho risposto con tutta sta pappardella
"Yuyu_13":E' giusto quello che ho scritto ?
Forse ho capito, grazie.
Preso $u in W_1 cap W_2 => u in W_1, u in W_2.$ Da questo seguono due casi:
a) $u in W_1$, $0_(W_2) in W_2$ essendo un sottospazio vettoriale, quindi $\qquad u=u+0_(W_2)$.
b) $u in W_2$, $0_(W_1) in W_1$ essendo un sottospazio vettoriale, quindi $\qquad u=0_(W_1)+u$.
Da a) e b) si ha la seguente uguaglianza $u=u+0_(W_2)=0_(W_1)+u$, questa scrittura indica solo che il vettore $u$ è espresso in due modi, ora dall'ipotesi di unicità, segue che questi due modi devono essere uguali e cioè $u=0_(W_1)$ e $u=0_(W_2)$ essendo $0_(W_1)=0_W=0_(W_2)$ si ha $u=0_W.$
Giusto ?
@j18eos, devo prendere $w_1, w_2$ per ipotesi uguali al vettore nullo ? Ero convinto che quella fosse la tesi
"Yuyu_13":
Mi chiedo perché dalla relazione $u+(-u)=0_W$ e dall'ipotesi di unicità della scrittura deve seguire $u=-u=0_W$?
Due pagine e siamo al punto iniziale?
Ci provo anch'io...
Date le ipotesi iniziali, prendiamo un vettore $u in W_1capW_2$ (e non come hai scritto tu che è l'insieme che contiene solo il vettore nullo...quella è la tesi da dimostrare).
Tradotto, significa che $u$ appartiene ad entrambi i sottospazi che, ovviamente, contengono ${0}$
Quindi abbiamo che esistono solo due possibili combinazioni lineari:
Se $u in W_1$, allora si combina necessariamente con il vettore nullo di $W_2$, quindi $u+0=u$
Se $u in W_2$, allora si combina necessariamente con il vettore nullo di $W_1$, quindi $0+u=u$
Ma, per ipotesi, esiste un'unica comb. lineare possibile, perciò, affinchè siano vere entrambe, $u={0}$.
E questo vale per qualsiasi vettore appartenente all'intersezione dei due spazi vettoriali, pertanto $W_1capW_2={0}$
"Bokonon":Giusto, perché dove ho scritto questa cosa?
Date le ipotesi iniziali, prendiamo un vettore $u in W_1capW_2$ (e non come hai scritto tu che è l'insieme che contiene solo il vettore nullo...quella è la tesi da dimostrare).
"Bokonon":
Tradotto, significa che $ u $ appartiene ad entrambi i sottospazi che, ovviamente, contengono $ {0} $
"Bokonon":
Quindi abbiamo che esistono solo due possibili combinazioni lineari:
Se $ u in W_1 $, allora si combina necessariamente con il vettore nullo di $ W_2 $, quindi $ u+0=u $
Se $ u in W_2 $, allora si combina necessariamente con il vettore nullo di $ W_1 $, quindi $ 0+u=u $
"Bokonon":Giusto, ho fatto un'osservazione prima di scrivere questo, cioè
Ma, per ipotesi, esiste un'unica comb. lineare possibile, perciò, affinchè siano vere entrambe, $ u={0} $.
.........la seguente uguaglianza $ u=u+0_(W_2)=0_(W_1)+u $, questa scrittura indica solo che il vettore $ u $ è espresso in due modi.
"Bokonon":
Ma, per ipotesi, esiste un'unica comb. lineare possibile, perciò, affinchè siano vere entrambe, $ u={0} $.
$
"Bokonon":
E questo vale per qualsiasi vettore appartenente all'intersezione dei due spazi vettoriali, pertanto $ W_1capW_2={0} $
Dunque il problema sembrerebbe che sia in quella mia osservazione, mi dai conferma ?
"Yuyu_13":
Giusto, perché dove ho scritto questa cosa?
Nel messaggio iniziale
"Yuyu_13":
Dunque il problema sembrerebbe che sia in quella mia osservazione, mi dai conferma ?
Il problema non sussiste. Che tu vada ad eguagliare le due combinazioni (risolvendo il sistema e quanto pare incasinandoti) o che tu fissi intensamente le due comb. lineari e concluda "c'è solo la soluzione banale" è questione di gusti.
Si sono andato a controllare sono un d.... 
"Bokonon":
Il problema non sussiste. Che tu vada ad eguagliare le due combinazioni (risolvendo il sistema e quanto pare incasinandoti) o che tu fissi intensamente le due comb. lineari e concluda "c'è solo la soluzione banale" è questione di gusti.
Comunque grazie a tutti per l'aiuto 
Sinceramente, come j18eos, trovo questo tipo di argomentazione un po' discutibile e confuzionaria: è difficile vedere \(u = 0 +u\) e \(u = u+0\) come due scritture diverse.
Questa scelta è del tutto incomprensibile considerando che esistono, potenzialmente, infiniti modi per rappresentare \(u\) come somma di elementi di \(W_1\) e \(W_2\). Infatti \(u = \alpha u + (1-\alpha)u\) per qualsiasi \(\alpha\in\mathbb{F}\). Lo so che quella è una dimostrazione comune, ma questo non la rende una buona dimostrazione (tanto meno è una dimostrazione istruttiva). Insomma, l'unico caso in cui la scelta \(0 + u\) e \(u+0\) sono le uniche scelte è con \(\mathbb{F} = \mathbb{Z}_2\).
Questa scelta è del tutto incomprensibile considerando che esistono, potenzialmente, infiniti modi per rappresentare \(u\) come somma di elementi di \(W_1\) e \(W_2\). Infatti \(u = \alpha u + (1-\alpha)u\) per qualsiasi \(\alpha\in\mathbb{F}\). Lo so che quella è una dimostrazione comune, ma questo non la rende una buona dimostrazione (tanto meno è una dimostrazione istruttiva). Insomma, l'unico caso in cui la scelta \(0 + u\) e \(u+0\) sono le uniche scelte è con \(\mathbb{F} = \mathbb{Z}_2\).
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