Somma diretta di coperture lineari.
Ciao a tutti.
Dunque....come da titolo ho un dubbio su un esercizio che richiede di trovare per quali valori del parametro "K" la somma tra le due coperture lineari del testo è diretta.
Vi posto il testo dell'esercizio:
Precisamente, non riesco a capire perchè la somma è diretta per K=0.
Approfitto del post per provi un'altra domanda, evitando di aprire un'altra discussione: se in un esercizio sui sistemi lineari mi viene data la matrice dei coefficienti delle incognite di 4 colonne e 3 righe con i valori che dipendono da K, è il testo mi dice di trovare le soluzioni del sistema AX=0 (quindi omogeneo) per i diversi valori assunti dal parametro K, come procedo? Nel senso...per K=0 trovo che il rango della matrice è uguale a 3, quindi so che le soluzioni sono (numero incognite - rango) = 3 e dipendono da un parametro..sostituisco K=0 e trovo il risultato, e ok, fino a qui nessun problema.
Se poi devo calcolare le soluzioni per K diverso da 0, come procedo? Cioè...impostando il sistema mi esce un sistema di 3 equazioni e 4 incognite che hanno alcuni coefficienti che non sono numeri reali ma ''K''...come procedo? Devo trovare x,y,z e t in funzione di K?
So che probabilmente non mi sono espresso molto bene, quindi mi scuso in anticipo, però se qualcuno avesse capito e fosse così gentile da spiegarmi mi farebbe un gran favore, visto che ho un esame in vista!
Grazie a tutti.
Simone
Dunque....come da titolo ho un dubbio su un esercizio che richiede di trovare per quali valori del parametro "K" la somma tra le due coperture lineari del testo è diretta.
Vi posto il testo dell'esercizio:
Precisamente, non riesco a capire perchè la somma è diretta per K=0.
Approfitto del post per provi un'altra domanda, evitando di aprire un'altra discussione: se in un esercizio sui sistemi lineari mi viene data la matrice dei coefficienti delle incognite di 4 colonne e 3 righe con i valori che dipendono da K, è il testo mi dice di trovare le soluzioni del sistema AX=0 (quindi omogeneo) per i diversi valori assunti dal parametro K, come procedo? Nel senso...per K=0 trovo che il rango della matrice è uguale a 3, quindi so che le soluzioni sono (numero incognite - rango) = 3 e dipendono da un parametro..sostituisco K=0 e trovo il risultato, e ok, fino a qui nessun problema.
Se poi devo calcolare le soluzioni per K diverso da 0, come procedo? Cioè...impostando il sistema mi esce un sistema di 3 equazioni e 4 incognite che hanno alcuni coefficienti che non sono numeri reali ma ''K''...come procedo? Devo trovare x,y,z e t in funzione di K?
So che probabilmente non mi sono espresso molto bene, quindi mi scuso in anticipo, però se qualcuno avesse capito e fosse così gentile da spiegarmi mi farebbe un gran favore, visto che ho un esame in vista!
Grazie a tutti.
Simone
Risposte
La prima:
perchè secondo la formula di Grassman hai che:
$dim(V+W) = dim(V)+dim(W)- dim(V\nnW)$
Ora hai che la dimensione massima di $V+W$ è 4 perchè sei in $RR^4$, per cui con $k\ne 0$ l'intersezione deve essere NON vuota, quindi la somma non è diretta.
Con $k=0$ la somma può essere diretta, ma è da verificare !
perchè secondo la formula di Grassman hai che:
$dim(V+W) = dim(V)+dim(W)- dim(V\nnW)$
Ora hai che la dimensione massima di $V+W$ è 4 perchè sei in $RR^4$, per cui con $k\ne 0$ l'intersezione deve essere NON vuota, quindi la somma non è diretta.
Con $k=0$ la somma può essere diretta, ma è da verificare !
Innanzitutto grazie mille.
Il discorso di R^4 lo avevo presente, solo non capisco perchè per K=0 la somma è diretta visto che nella soluzione del punto precedente mi dice che per K=0 le dimensioni sono 2 e 1, e ovviamente 2+1 non fa 4.
La mia domanda in questo caso è: come faccio a verificare che la somma sia diretta per quel valore?
Il discorso di R^4 lo avevo presente, solo non capisco perchè per K=0 la somma è diretta visto che nella soluzione del punto precedente mi dice che per K=0 le dimensioni sono 2 e 1, e ovviamente 2+1 non fa 4.
La mia domanda in questo caso è: come faccio a verificare che la somma sia diretta per quel valore?
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