Somma di sottospazi vettoriali.....

[kioccolatino90]

Buona sera a tutti, volevo chiede come si fa a sapere se un vettore $omega=(1,2,3,4)$ appartiene a $U+V$????

[squalllionheart]

il sistema è non omogeneo dato che il vettore sono le soluzioni del sistema.

[kioccolatino90]

ok quindi sarà un sistema, ma non è omogeneo... Abbiamo quindi che una base di $U$ è $B_U={(-2,1,0,0),(0,0,0,1),(1,0,1,0)}$ poi il vettore che vogliamo decomporre è $omega=(1,2,3,4)$ dunque metto a matrice e otteniamo:

$((-2,1,0,0),(0,0,0,1),(1,0,1,0),(1,2,3,4))$ riduco la matrice $((-2,1,0,0),(1,2,3,4),(1,0,1,0),(0,0,0,1)) rarr$ $((-2,1,0,0),(0,5/2,3,4),(0,1/2,1,0),(0,0,0,1)) rarr $ $((-2,1,0,0),(0,5/2,3,4),(0,0,2/5,-4/5),(0,0,0,1)) rarr$ $((-2,1,0,0),(0,5,6,8),(0,0,2,-4),(0,0,0,1))$ dunque il sistema è ${(-2x+y=0),(5y+6z+8t=0),(2z-4t=0),(t=0):}$ risolvendo il sistema mi viene ${(x=0),(y=0),(z=0),(t=0):}$ per cui esiste solo la soluzione banale $(x,y,z,t)=(0,0,0,0)$.... è così che si fa vero?

[squalllionheart]

Sicuramente il sistema che hai scritto è sbagliato dato che non hai messo come soluzione $omega$ allora non ho sottomano i tuoi vettori cmq supponiamo che $a,b,c,d$ siano le costant che devi trovarei e $v_1,v_2,v_3,v_4$ siano i vettori della base devi scrivere $av_1+bv_2+cv_3+dv_4=\omega$ i vettori sono vettori colonna quindi viene un sistema, formato dalle combinazione lineare dei vettori della base, che ha come soluzione $\omega$.
Se hai problemi sono qui.

[kioccolatino90]

ho capito quindi si dovrebbe fare così:
abbiamo i vettori linearmente indipendenti che sono una base per il sottospazio vettoriale:
$(-2,1,0,0)=v_1$

$(0,0,0,1)=v_2$

$(1,0,1,0)=v_3$

scrivo questi tre vettori come combinazione degli scalari $a, b, c$:

$omega=(1,2,3,4)=a(-2,1,0,0)+b(0,0,0,1)+c(0,0,0,1)$ vado a fare le operazioni e ottengo: $(-2a, a, 0, b+c)$ ora dovrebbe essere: ${(-2a=1),(a=2),(0),(b+c=4):}$ ma è strano come esce.....mi sa che ancora non ci sono..