Somma di sottospazi vettoriali.....
Buona sera a tutti, volevo chiede come si fa a sapere se un vettore $omega=(1,2,3,4)$ appartiene a $U+V$????
Risposte
Un vettore $\omega$ appartiene a $U+V$ se esistono due vettori, $u\in U, v\in V$ tali che $\omega= u+v$
Ma quindi devo sommare due vettori uno appartenente ad una base di $V$ e uno che appartine ad una base di $U$???
si ad esempio se hai $U$ che è formato da $e_1=(1,0,0,0),e_2=(0,1,0,0)$ e $V$ he è formato da $e_3=(0,0,1,0),e_4=(0,0,0,1)$ allora puoi dire che $\omega$ sta nella somma.
ma devo fare $e_1+e_2+e_3+e_4$, oppure basta che ne sommo due soltanto????perchè comunque $e_1+e_2$ è diverso da tutto quello....
Potresti scrivere come sono fatti i sottospazi U e V del tuo esercizio? Credo sia la cosa migliore da fare 
$\omega=e_1+2_e_2+3e_3+4e_4$ come vedi $e_1$ e $e_2$ stanno in $U$ gli altri in $V$. Forse l'esercizio ti dava dei sottospazi specifici?
ok, scusami 
$U={(x,y,z,t) in RR^4 |x+2y=2t=0}$ e $V=<(1,2,0,1),(2,4,-1,1),(0,0,1,1),(1,2,4,5),(1,-1,0,5)>$, ora non so se la traccia del prof è sbagliata perchè questo $x+2=2t=0$ mi sembra strano, non sembra nemmeno errore di battitura perchè è abbastanza lontano (sulla tastiera) l'uguale dal $+$, $-$, e qualsiasi altro simbolo matematico...
forse si riferisce allo stesso esercizio ma solo che cambia: $U={(x,y,z,t) in RR^4 |x+2y=2t}$ e $V=<...>$ e una volta è: $U={(x,y,z,t) in RR^4 |x+2y=0}$ e $V=<...>$, vabbè ne prendo uno giusto per capire come si fa....
diciamo che l'esercizio è:
$U={(x,y,z,t) in RR^4 |x+2y=0}$ e $V=<(1,2,0,1),(2,4,-1,1),(0,0,1,1),(1,2,4,5),(1,-1,0,5)>$
quindi una base di $B_U= {(-2,1,0,0)}$ e una base di $B_V={(1,2,0,1),(2,4,-1,1),(0,0,1,1),(1,-1,0,5)}$
dunque $V+U=<1,2,0,1),(2,4,-1,1),(0,0,1,1),(1,-1,0,5),(-2,1,0,0)>$ ora devo vedere se il vettore se il vettore $omega=(1,2,3,4)$ appartiene a $V+U$...
$U={(x,y,z,t) in RR^4 |x+2y=2t=0}$ e $V=<(1,2,0,1),(2,4,-1,1),(0,0,1,1),(1,2,4,5),(1,-1,0,5)>$, ora non so se la traccia del prof è sbagliata perchè questo $x+2=2t=0$ mi sembra strano, non sembra nemmeno errore di battitura perchè è abbastanza lontano (sulla tastiera) l'uguale dal $+$, $-$, e qualsiasi altro simbolo matematico...
forse si riferisce allo stesso esercizio ma solo che cambia: $U={(x,y,z,t) in RR^4 |x+2y=2t}$ e $V=<...>$ e una volta è: $U={(x,y,z,t) in RR^4 |x+2y=0}$ e $V=<...>$, vabbè ne prendo uno giusto per capire come si fa....
diciamo che l'esercizio è:
$U={(x,y,z,t) in RR^4 |x+2y=0}$ e $V=<(1,2,0,1),(2,4,-1,1),(0,0,1,1),(1,2,4,5),(1,-1,0,5)>$
quindi una base di $B_U= {(-2,1,0,0)}$ e una base di $B_V={(1,2,0,1),(2,4,-1,1),(0,0,1,1),(1,-1,0,5)}$
dunque $V+U=<1,2,0,1),(2,4,-1,1),(0,0,1,1),(1,-1,0,5),(-2,1,0,0)>$ ora devo vedere se il vettore se il vettore $omega=(1,2,3,4)$ appartiene a $V+U$...
Indipendentemente da $U$, $\omega\in V$ e quindi $\omega\in U+V$. Essendo io una persona molto vagabonda, soprattutto nei conti che sbaglio quasi sempre( 
), prima di procedere a risolvere un esercizio cerco di trovare una strada veloce che mi permetta di giungere al risultato senza fare calcoli.
Visto che in V ci sono i vettori $(1,2,4,5)$ e $(0,0,1,1)$ allora posso scrivere $\omega=(1,2,3,4)$ come $(-1)(0,0,1,1)+(1,2,4,5)$. Ciò implica che $\omega\in V$ perchè in $V$ ci stanno tutte le possibili combinazioni lineari dei generatori. Poichè inoltre $V\subseteq V+U$ allora implica che $\omega\in V+U$.
Notazioni:
$U=\{(x, y, z, t)\in \mathbb{R}^4| x+2y=2t=0\}$ potrebbe (e ripeto potrebbe) significare
$U=\{(x, y, z, t)\in \mathbb{R}^4| x+2y=0, 2t=0\}$
), prima di procedere a risolvere un esercizio cerco di trovare una strada veloce che mi permetta di giungere al risultato senza fare calcoli.Visto che in V ci sono i vettori $(1,2,4,5)$ e $(0,0,1,1)$ allora posso scrivere $\omega=(1,2,3,4)$ come $(-1)(0,0,1,1)+(1,2,4,5)$. Ciò implica che $\omega\in V$ perchè in $V$ ci stanno tutte le possibili combinazioni lineari dei generatori. Poichè inoltre $V\subseteq V+U$ allora implica che $\omega\in V+U$.
Notazioni:
$U=\{(x, y, z, t)\in \mathbb{R}^4| x+2y=2t=0\}$ potrebbe (e ripeto potrebbe) significare
$U=\{(x, y, z, t)\in \mathbb{R}^4| x+2y=0, 2t=0\}$
"domy90":
$U={(x,y,z,t) in RR^4 |x+2y=0}$ e $V=<(1,2,0,1),(2,4,-1,1),(0,0,1,1),(1,2,4,5),(1,-1,0,5)>$
quindi una base di $B_U= {(-2,1,0,0)}$ e una base di $B_V={(1,2,0,1),(2,4,-1,1),(0,0,1,1),(1,-1,0,5)}$
Attenzione $B_U$ è un vettore non una base, in questo caso $U$ è uno spazio a $4$ dimensioni per essere una base ti servono altri $3$ vettori ad esempio $e_3=(0,0,1,0)$ e $e_4(0,0,0,1)$e ad esempio $V=(2,-1,0,0)$
"Mathematico":
Visto che in V ci sono i vettori $(1,2,4,5)$ e $(0,0,1,1)$ allora posso scrivere $\omega=(1,2,3,4)$ come $(-1)(0,0,1,1)+(1,2,4,5)$.
ma quindi alla fine per verificare se un vettore è somma $V+U$ basta sommare due o più vettori di $V$ e cercare di ottenere il vettore desiderato....????
"squalllionheart":
Attenzione $B_U$ è un vettore non una base, in questo caso $U$ è uno spazio a $4$ dimensioni per essere una base ti servono altri $3$ vettori ad esempio $e_3=(0,0,1,0)$ e $e_4(0,0,0,1)$e ad esempio $V=(2,-1,0,0)$
ma se $U$ è uno spazio a $n$ dimensioni allora la base deve essere costituita da $n-1$ vettori??? oppure questo ce lo dice il rango?...
"domy90":
[quote="Mathematico"]
Visto che in V ci sono i vettori $(1,2,4,5)$ e $(0,0,1,1)$ allora posso scrivere $\omega=(1,2,3,4)$ come $(-1)(0,0,1,1)+(1,2,4,5)$.
ma quindi alla fine per verificare se un vettore è somma $V+U$ basta sommare due o più vettori di $V$ e cercare di ottenere il vettore desiderato....????
[/quote]
In quel caso il vettore era direttamente di $V$ quindi come mathematico ha osservato intelligentemente perchè sporcarsi le mani... Io che non sono molto intelligente avrei usato il metodo standard con il sistema...ma calcola avevi 5 equazioni e quattro incognirte..
"squalllionheart":
Attenzione $B_U$ è un vettore non una base, in questo caso $U$ è uno spazio a $4$ dimensioni per essere una base ti servono altri $3$ vettori ad esempio $e_3=(0,0,1,0)$ e $e_4(0,0,0,1)$e ad esempio $V=(2,-1,0,0)$
ma se $U$ è uno spazio a $n$ dimensioni allora la base deve essere costituita da $n-1$ vettori??? oppure questo ce lo dice il rango?...[/quote]
Devi vedere il rango...
Ciao
una penultima domanda, ma visto che $B_U$ è un vettore a me servono altri due vettori che tu hai preso essere $(0,0,0,1)$ e $(2,-1,0,0)$ da dove sono usciti fuori??? li hai presi a caso????
Niente è a caso... Cmq avevo letto male l'equazione e avevo considereto lo spazio generato da $2x+y=0$ è soddisfatta sempre per $(0,0,0,1)$ e $(1,-2,0,0)$ nel tuo caso hai una varizione.
Lo spazio in questione è questo $2x+y=2t$ quindi vanno bene $(0,0,0,1)$ e $(1,0,1,0)$.
P.s.
Se tu dici "a caso" nel senso di arbitrario si nel senso che mi servivano altri due vettori per generare lo spazio...
Lo spazio in questione è questo $2x+y=2t$ quindi vanno bene $(0,0,0,1)$ e $(1,0,1,0)$.
P.s.
Se tu dici "a caso" nel senso di arbitrario si nel senso che mi servivano altri due vettori per generare lo spazio...
cioè dicevo inventati al momento, senza un ragionamento....
il ragionamento hai capito che c'è?
si si era per il tuo P.S. ...
ho capito il ragionamento che hai fatto anche se non avevo capito come faceva ad uscire quei vettori poi ho capito che l'ordine dei componenti era secondo l'ordine alfabetico $(x,y,t,z)$ giusto??? io invece uso questo $(x,y,z,t)$ e mi usciva che i vettori erano: $(1,0,0,1)$ e il vettore $(0,0,1,0)$....
ho capito il ragionamento che hai fatto anche se non avevo capito come faceva ad uscire quei vettori poi ho capito che l'ordine dei componenti era secondo l'ordine alfabetico $(x,y,t,z)$ giusto??? io invece uso questo $(x,y,z,t)$ e mi usciva che i vettori erano: $(1,0,0,1)$ e il vettore $(0,0,1,0)$....
Certo. Bene. E' bello aiutare ogni tanto.
grazie molto gentile!!!! Ora come mia ultima domanda volevo chiedere, adesso che ho capito che il vettore $omega$ appartiene a $U+V$ come faccio a decomporlo nella somma di un vettore di $U$ e di un vettore di $V$, in tutti i modi possibili (a meno di un cambiamento di variabile libera)???
sitema lineare... un pò lungo...
cioè devo mettere a matrice i vettori della base di $U$ con il vettore $(1,2,3,4)$ e trovare così il sistema lineare omogeneo?
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