Somma di due sottospazi
Salve, sto cercando di risolvere un esercizio ma mi sono bloccata sull'ultimo passaggio, la traccia dell'esercizio è questa:
Determinare la demensione ed una base dei sottospazi $ U $ , $ V $ , $ U+V $, $ U nn V $ di $RR3[x]$ rappresentati nel riferimento naturale dalle equazioni:
$U : { ( x_1 + x_2 - x_3 =0 ), (-x_1 - 2x_2 + 2x_4 =0), (-x_2 - x_3 + 2x_4 =0) $
e
$V: { (x_1 - x_3 =0 ), (x_2+ x_3 - 2x_4 =0 ) $
Sono riuscita a calcolare $ dimU=2 $ e $ B_u = { 2 - x + x^2 , -2 +2x + x^3 } $
ancora ho fatto la $ dimV=2 $ e la $B_v = { 2x + x^3 , 1- x + x^2 } $
e in ultimo $ dim U nn V = 1$ e la $ B_u nn v = { 2 + 2x^2 +x^3 } $
Mi sono bloccata su $ U + V $ perchè non essendo somma diretta non ho idea di come si possa procedere..
So solo che per la formula di Grassman la $dim U+ V = 3 $ ma non so come calcolarmi la base... Mi aiutate?
Determinare la demensione ed una base dei sottospazi $ U $ , $ V $ , $ U+V $, $ U nn V $ di $RR3[x]$ rappresentati nel riferimento naturale dalle equazioni:
$U : { ( x_1 + x_2 - x_3 =0 ), (-x_1 - 2x_2 + 2x_4 =0), (-x_2 - x_3 + 2x_4 =0) $
e
$V: { (x_1 - x_3 =0 ), (x_2+ x_3 - 2x_4 =0 ) $
Sono riuscita a calcolare $ dimU=2 $ e $ B_u = { 2 - x + x^2 , -2 +2x + x^3 } $
ancora ho fatto la $ dimV=2 $ e la $B_v = { 2x + x^3 , 1- x + x^2 } $
e in ultimo $ dim U nn V = 1$ e la $ B_u nn v = { 2 + 2x^2 +x^3 } $
Mi sono bloccata su $ U + V $ perchè non essendo somma diretta non ho idea di come si possa procedere..
So solo che per la formula di Grassman la $dim U+ V = 3 $ ma non so come calcolarmi la base... Mi aiutate?
Risposte
Ti do un primo suggerimento....
Sai che ogni spazio vettoriale puoi vederlo come isomorfo a $RR^n$?
Nel tuo caso, sei in $RR_3 [x]$ puoi vedere lo spazio come isomorfo a $RR^4$?
Ti è chiaro come?
Se non ti è chairo ti faccio gli altri passaggi....
A quel punto lavori dirattemente in $RR^4$ e l'esercizio diventa più semplice...
Sai che ogni spazio vettoriale puoi vederlo come isomorfo a $RR^n$?
Nel tuo caso, sei in $RR_3 [x]$ puoi vedere lo spazio come isomorfo a $RR^4$?
Ti è chiaro come?
Se non ti è chairo ti faccio gli altri passaggi....
A quel punto lavori dirattemente in $RR^4$ e l'esercizio diventa più semplice...
vada per altri passaggi 
Richiamo di teoria
Consideriamo $V$ uno spazio vettoriale di dimensione $n$, sia ${v_1,...,v_n}$ una base di tale spazio. Allora $V$ è isomorfo a $RR^n$ con l'isomorfismo seguente
$V->R^n$
$v_i->e_i$
dove $e_i=(0,...,0,1,0,...,0)$ ha tutte le componenti nulle tranne l'i-esima.
Esempio (il tuo caso)
Siamo nello spazio $RR_3[x]$, una base naturale è ${1,x,x^2,x^3}$, quindi l'isomorfismo con $RR^4$ è quello che
$1->(1,0,0,0)$
$x->(0,1,0,0)$
$x^2->(0,0,1,0)$
$x^3->(0,0,0,1)$
Quindi ad esempio il polinomio $p(x)=2x^3-x+5$ lo scrivi in queste coordinate come $(5,-1,0,2)$.
Quindi ora puoi ragionare dirattamente su $RR^3$
Prova un po adesso, se non riesci ad andare avanti chiedi pure, ma provaci.
Consideriamo $V$ uno spazio vettoriale di dimensione $n$, sia ${v_1,...,v_n}$ una base di tale spazio. Allora $V$ è isomorfo a $RR^n$ con l'isomorfismo seguente
$V->R^n$
$v_i->e_i$
dove $e_i=(0,...,0,1,0,...,0)$ ha tutte le componenti nulle tranne l'i-esima.
Esempio (il tuo caso)
Siamo nello spazio $RR_3[x]$, una base naturale è ${1,x,x^2,x^3}$, quindi l'isomorfismo con $RR^4$ è quello che
$1->(1,0,0,0)$
$x->(0,1,0,0)$
$x^2->(0,0,1,0)$
$x^3->(0,0,0,1)$
Quindi ad esempio il polinomio $p(x)=2x^3-x+5$ lo scrivi in queste coordinate come $(5,-1,0,2)$.
Quindi ora puoi ragionare dirattamente su $RR^3$
Prova un po adesso, se non riesci ad andare avanti chiedi pure, ma provaci.
niente mi blocco... me lo puoi spiegare man mano, non ci sto capendo niente più :S
quello che ho scritto fin ora ti è chiaro?
Se si vado avanti di qui...
Se si vado avanti di qui...
si ho capito il concetto ma non ho idea di come procedere...
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