Soluzioni di un sistema lineare

[kekkostrada]

Ho dei dubbi sulle seguenti domande, (Vero/Falso)
Siano $X_1$ e $X_2$ soluzioni di un sistema lineare non omogeneo $AX=B$. Stabilire se le seguenti affermazioni sono vere o false:
1) $X_1+X_2$ è soluzione del sistema $AX=2B$
2) $X_1-2X_2 in Ker A $
3)esiste un vettore $ Y in Ker A | X_2 = X_1 +Y$
4) Necessariamente $ X_1 =X_2$

Ragionando per logica secondo me 1 è falsa, 2 vera, 3 vera, 4 falsa.
Però non ho chiaro come arrivarci tramite dei teoremi o comunque qualcosa che mi garantisce che le mie risposte sono giuste.

[billyballo2123]

1) Vera:
$A(X_1+X_2)=AX_1+AX_2=B+B=2B$
2) Falsa (a meno che $B$ sia il vettore nullo):
$A(X_1-2X_2)=AX_1-A(2X_2)=B-2AX_2=B-2B=-B$.
3) Vera:
Ponendo $Y=X_2-X_1$ si ha che $X_2=X_1+Y$ e $AY=A(X_2-X_1)=AX_2-AX_1=B-B=0$, dunque $Y\in Ker(A)$.
4) Falsa (a meno che $Ker(A)=0$):
Se esiste $Y\in Ker(A)$ con $Y\ne 0$, data una soluzione $X_1$, si ha che $X_2=X_1+Y$ è una soluzione diversa da $X_1$, infatti $X_2-X_1=Y\ne 0$ (e dunque $X_1\ne X_2$) e $AX_2=A(X_1+Y)=AX_1+AY=B+0=B$.