Soluzioni di un sistema indeterminato (?)

[garnak.olegovitc1]

Salve a tutti,
stamani mi trovo bloccato con un sistema, in particolare con quello associato alla seguente equazione matriciale $$\Delta :=\begin{Vmatrix}
2-2 & 2 &1 \\
0& (h+1)-2&(h-1)\\
0&h&h-2
\end{Vmatrix} \cdot \begin{Vmatrix}
x_1\\x_2\\x_3
\end{Vmatrix}=\begin{Vmatrix}
0\\0\\0
\end{Vmatrix}$$ con \( h \neq 1 \wedge h \neq \frac{1}{2} \); il sistema che ottengo è il seguente $$\Sigma :=\begin{cases}
2x_2+x_3=0\\
(h+1-2)x_2+(h-1)x_3=0\\
hx_2+(h-2)x_3=0
\end{cases}$$
il rango del sistema \( \Sigma \) non è \(3 \) essendo una colonna in \( \Delta \) di elementi tutti nulli, allora vedo se esiste un minore di ordine \( 2 \) non nullo, prendo il seguente minore $$\Delta _1:=\begin{Vmatrix}
2 &1 \\
(h+1)-2&(h-1)
\end{Vmatrix}$$ ed il \( \det (\Delta_1) =2(h-1) -(h+1-2)=2h-2-h-1+2=h-1 \) è non nullo se \( h \neq 1 \); quindi per \( h \neq 1 \) la sottomatrice \( \Delta_1 \) ha rango \( 2 \), e quindi \( \infty^{3-2=1} \) soluzioni con \( 1 \) variabile libera, concludo dicendo che il sistema \( \Delta \) è equivalente al seguente sistema $$ \Sigma_1:=\begin{cases}
2x_2+x_3=0\\
(h+1-2)x_2+(h-1)x_3=0\\
\end{cases} $$ ora mi basta fissare una variabile libera, tipo \( x_3 \), ed esplicitare le altre in funzione di questa, ergo ottengo $$\Sigma_1:=\begin{cases}
x_3=-2x_2\\
(h+1-2)x_2-(h-1)2x_2=0\\
\end{cases} ,\Sigma_1:=\begin{cases}
x_3=-2x_2\\
(1-h)x_2=0\\
\end{cases}, \Sigma_1:=\begin{cases}
x_3=-2x_2\\
(1-h)x_2=0\\
\end{cases}$$ ora avendo per ipotesi detto che \( 1-h \neq 0 \) posso moltiplicare ambo i membri della seconda equazione del sistema per \( \frac{1}{1-h} \), ottenendo quindi $$\Sigma_1:=\begin{cases}
x_3=-2x_2\\
x_2=0\\
\end{cases},\Sigma_1:=\begin{cases}
x_3=0\\
x_2=0\\
\end{cases}$$ arrivato sto punto non capisco dove sia la variabile libera(!?) Ma anche, quali sono "le soluzioni" di \(x_1 \)? Ringrazio anticipatamente!

Saluti

[Epimenide93]

Al momento non ho tempo di rivedere i calcoli (ad occhio mi sembrano giusti), ma le soluzioni del sistema
\[
\Sigma_1:=\begin{cases} x_3=0\\ x_2=0\\ \end{cases}
\]
sono tutte quelle del tipo \( (t, 0, 0) \,, \ t \in \mathbb{R} \) (prova a capire perché), in questi termini dovrebbe essere più evidente la risposta alle tue domande.

[garnak.olegovitc1]

@Epimenide93,

"Epimenide93":Al momento non ho tempo di rivedere i calcoli (ad occhio mi sembrano giusti), ma le soluzioni del sistema
\[
\Sigma_1:=\begin{cases} x_3=0\\ x_2=0\\ \end{cases}
\]
sono tutte quelle del tipo \( (t, 0, 0) \,, \ t \in \mathbb{R} \) (prova a capire perché), in questi termini dovrebbe essere più evidente la risposta alle tue domande.

sicuramente perchè la colonna dei coefficienti di \( x_1 \) è nulla... ma avrei un'altra spiegazione, la scelta delle incognite libere non è rigorosa, ovvero non sappiamo chi delle variabili è incognita libera, ma sappiamo quante ve ne sono, in questo caso \( 1\) variabile libera, e avendo scelto \( x_3 \) come variabile libera mi sono ritrovato nei calcoli che ne \( x_2 \) lo è ne \( x_3 \), ma siccome almeno una deve esserlo, allora lo è \( x_1 \)... funziona?!

Thanks della risposta intanto!

Saluti

[Epimenide93]

"garnak.olegovitc":
sicuramente perchè la colonna dei coefficienti di \( x_1 \) è nulla...

Sei stato estremamente più sintetico di quanto lo sarei stato io ed hai centrato in pieno il punto

"garnak.olegovitc":la scelta delle incognite libere non è rigorosa, ovvero non sappiamo chi delle variabili è incognita libera, ma sappiamo quante ve ne sono, in questo caso \( 1\) variabile libera, e avendo scelto \( x_3 \) come variabile libera mi sono ritrovato nei calcoli che ne \( x_2 \) lo è ne \( x_3 \), ma siccome almeno una deve esserlo, allora lo è \( x_1 \)... funziona?!

Non del tutto, scegliere quale sia la variabile libera il più delle volte è un fattore del tutto arbitrario (non è veramente significativo, non esprime una proprietà algebrica o geometrica del sistema), ma se dai calcoli risulta che il valore di una delle variabili è fissato per ogni soluzione, chiaramente non è possibile scegliere quella come "variabile libera" (che, correndo il rischio di ripetermi, è solo un concetto/una scelta comodo/a per un'espressione analitica delle soluzioni del sistema) perché non è su quella componente che si vede dove stanno i gradi di libertà delle soluzioni (qui avevi un grado di libertà e due variabili con soluzioni fisse, quindi la scelta era in un certo senso obbligata). Parlandone in termini di sottospazi affini e giaciture ed esprimendo tutto l'esprimibile in termini di equazioni parametriche diventa tutto più rigoroso e più chiaro, i sistemi e le loro soluzioni non sono esattamente l'ambiente più naturale per comprendere appieno queste cose, è facile che in tale contesto un concetto cada nel nebuloso, almeno dal mio punto di vista.

[garnak.olegovitc1]

@Epimenide93,

"Epimenide93":

Non del tutto, scegliere quale sia la variabile libera il più delle volte è un fattore del tutto arbitrario (non è veramente significativo, non esprime una proprietà algebrica o geometrica del sistema), ma se dai calcoli risulta che il valore di una delle variabili è fissato per ogni soluzione, chiaramente non è possibile scegliere quella come "variabile libera" (che, correndo il rischio di ripetermi, è solo un concetto/una scelta comodo/a per un'espressione analitica delle soluzioni del sistema) perché non è su quella componente che si vede dove stanno i gradi di libertà delle soluzioni (qui avevi un grado di libertà e due variabili con soluzioni fisse, quindi la scelta era in un certo senso obbligata). Parlandone in termini di sottospazi affini e giaciture ed esprimendo tutto l'esprimibile in termini di equazioni parametriche diventa tutto più rigoroso e più chiaro, i sistemi e le loro soluzioni non sono esattamente l'ambiente più naturale per comprendere appieno queste cose, è facile che in tale contesto un concetto cada nel nebuloso, almeno dal mio punto di vista.

thanks, sei stato abbastanza chiaro!

Saluti