Soluzione sistema complesso
Ciao a tutti!
Ho difficoltà a capire come approcciarmi a questo sistema complesso. Che strata mi consigliate di prendere? Io vedendo cubi mi sono buttato sulla forma trigonometrica $\rho e^(i\theta)$ ma non riesco a venirne a capo
idee? (non soluzioni 
)
Sistema:
$\{((z-\pi i)^3 = -\bar z - \pi i),(|e^z|>=1):}$
Ho difficoltà a capire come approcciarmi a questo sistema complesso. Che strata mi consigliate di prendere? Io vedendo cubi mi sono buttato sulla forma trigonometrica $\rho e^(i\theta)$ ma non riesco a venirne a capo
idee? (non soluzioni )Sistema:
$\{((z-\pi i)^3 = -\bar z - \pi i),(|e^z|>=1):}$
Risposte
ho provato ad affrontare i calcoli alla vecchia maniera, chiamando $z=x+iy$ e svolgendo la prima equazione.
non mi fido molto di quel che ho fatto, perché ho scritto tutto in poco spazio e facendo alcune semplificazioni in maniera rocambolesca, ti dico però che cosa ho ottenuto, così vedi se può essere accettabile. solo dalla prima (equazione):
$Re(z)=x=+-sqrt2/2$
$Im(z)=y=(2pi+-sqrt(3pi^2+2))/2$
EDIT: rifacendo i conti, in y non c'è $3pi^2$ sotto radice.
riscrivo sotto:
soluzione banale: ${x=0, y=pi}$
altre quattro soluzioni (x ed y entrambe doppie, abbinate in maniera qualsiasi): ${x=+-sqrt2/2, y=pi+-sqrt2/2}$
non mi fido molto di quel che ho fatto, perché ho scritto tutto in poco spazio e facendo alcune semplificazioni in maniera rocambolesca, ti dico però che cosa ho ottenuto, così vedi se può essere accettabile. solo dalla prima (equazione):
$Re(z)=x=+-sqrt2/2$
$Im(z)=y=(2pi+-sqrt(3pi^2+2))/2$
EDIT: rifacendo i conti, in y non c'è $3pi^2$ sotto radice.
riscrivo sotto:
soluzione banale: ${x=0, y=pi}$
altre quattro soluzioni (x ed y entrambe doppie, abbinate in maniera qualsiasi): ${x=+-sqrt2/2, y=pi+-sqrt2/2}$
purtroppo non ho i risultati
Ma quindi tu hai fatto il cubo del binomio sviluppando z come x+iy???
Ma quindi tu hai fatto il cubo del binomio sviluppando z come x+iy???
sì, considerando anche il resto:
$(x+i(y-pi))^3=-x+i(y-pi)$
anche se così potrebbe venire in mente qualche altra cosa, perché se chiami $w=x+i(y-pi)$ si ha $w^3=-barw$.
non sono molto allenata su queste cose, ma potrebbe almeno semplificare i calcoli.
$(x+i(y-pi))^3=-x+i(y-pi)$
anche se così potrebbe venire in mente qualche altra cosa, perché se chiami $w=x+i(y-pi)$ si ha $w^3=-barw$.
non sono molto allenata su queste cose, ma potrebbe almeno semplificare i calcoli.
grazie per la risposta però non mi riesce continuo a trovarmi ingarbugliato in calcoliastronomici e non riesco a semplificare nulla...
continuo a trovarmi ingarbugliato in calcoliastronomici e non riesco a semplificare nulla...
se vuoi provare a seguire il mio metodo, prova a svolgere il cubo con l'equazione trasformata, lasciando indicato $(y-pi)$ e tenendo conto che $i^2=-1, i^3=-i$.
ti dovresti trovare un sistema di quarto grado, che con due "riduzioni" si trasforma in due equazioni di secondo grado ciascuna in una sola incognita.
prova e facci sapere. ciao.
ti dovresti trovare un sistema di quarto grado, che con due "riduzioni" si trasforma in due equazioni di secondo grado ciascuna in una sola incognita.
prova e facci sapere. ciao.
Ok, vado 1 oretta in supermercato a fare la spesa e a comprare un pò di roba per debellare queste maledette zanzare!
Appena torno provo e faccio sapere
Grazie mille per l'aiuto!!!
Appena torno provo e faccio sapere
Grazie mille per l'aiuto!!!
ok. prego.
io intanto vedo se ritrovo il foglietto dove ho fatto i calcoli...
P.S. ho ritrovato il foglietto ed ho trovato un errore nel calcolo della y, ma non è più complicato, viene addirittura più semplice.
io intanto vedo se ritrovo il foglietto dove ho fatto i calcoli...
P.S. ho ritrovato il foglietto ed ho trovato un errore nel calcolo della y, ma non è più complicato, viene addirittura più semplice.
Comincio a pensare che questo sistema mi odi...
Ti scrivo come ho risolto la prima, ponendo (come mi hai suggerito) $w=a+i(b-\pi)$
La prima (come hai detto) diventa
$w^3 = - \bar w$
ovvero
$\rho^3 e^(i3\theta)=\rho e^(i(-\theta))$
Da cui
$\rho^3=\rho rArr \rho=0,1$
$4\theta=2k\pi rArr \theta=0,\pi/2, \pi, 3/2 \pi$
Ma già così non mi trovo!
Ad esempio la soluzione banale $z=0$ che mi hai detto non c'è, infatti mi trovo
$a+i(b-\pi)=0 rarr z_0=i\pi$!
edit: Ammutolisco ho appena visto che per soluzione banale intendi proprio $z_0=i\pi$ 
Finisco di trovare le altre e faccio sapere. Intanto grazie mille!!!!
Ti scrivo come ho risolto la prima, ponendo (come mi hai suggerito) $w=a+i(b-\pi)$
La prima (come hai detto) diventa
$w^3 = - \bar w$
ovvero
$\rho^3 e^(i3\theta)=\rho e^(i(-\theta))$
Da cui
$\rho^3=\rho rArr \rho=0,1$
$4\theta=2k\pi rArr \theta=0,\pi/2, \pi, 3/2 \pi$
Ma già così non mi trovo!
Ad esempio la soluzione banale $z=0$ che mi hai detto non c'è, infatti mi trovo
$a+i(b-\pi)=0 rarr z_0=i\pi$!
edit: Ammutolisco
ho appena visto che per soluzione banale intendi proprio $z_0=i\pi$ Finisco di trovare le altre e faccio sapere. Intanto grazie mille!!!!
Facendo i conti le altre soluzioni le trovo differenti...
Ho che le soluzioni (oltre a $z_0=i\pi$) sono tutte le
a+i(b-\pi)=1(cos\theta + i sin \theta)$ con $\theta = 0,\pi/2, \pi, 3/2\pi$, quindi come rislutati trovo
$z_1=i(1+\pi)$
$z_2=1+i\pi$
$z_3=i(\pi -1)$
$z_4=-1+i\pi$
Ho che le soluzioni (oltre a $z_0=i\pi$) sono tutte le
a+i(b-\pi)=1(cos\theta + i sin \theta)$ con $\theta = 0,\pi/2, \pi, 3/2\pi$, quindi come rislutati trovo
$z_1=i(1+\pi)$
$z_2=1+i\pi$
$z_3=i(\pi -1)$
$z_4=-1+i\pi$
Non vorrei dire una cavolata, ma da quello che hai scritto enpires dovrebbe venire:
$\rho^3 e^{3i\theta}=\rho e^{-i\theta}\quad\Rightarrow\quad \rho(\rho^2 e^{4i\theta}-1)=0\quad\Leftrightarrow\quad \rho=0,\ \ (\rho e^{2i\theta})^2=1$
da cui trovi le soluzioni.
$\rho^3 e^{3i\theta}=\rho e^{-i\theta}\quad\Rightarrow\quad \rho(\rho^2 e^{4i\theta}-1)=0\quad\Leftrightarrow\quad \rho=0,\ \ (\rho e^{2i\theta})^2=1$
da cui trovi le soluzioni.
scusate, ma, a parte la scritta di empires $rho=0,1$ e la correzione di ciampax, io mi ritrovo con le soluzioni di empires eppure dovrebbe venire $2theta=+-pi/2$ ...
posto l'altro metodo, ma mi piacerebbe vedere il seguito di ciampax.
$(x+i(y-pi))^3=-x+i(y-pi)$
$x^3+3x^2i(y-pi)-3x(y-pi)^2-i(y-pi)^3=-x+i(y-pi)$
${[x^3-3x(y-pi)^2=-x],[3x^2(y-pi)-(y-pi)^3=(y-pi)] :}$
da cui ${x=0,y=pi} vv {[x^2-3y^2+6piy-3pi^2+1=0],[3x^2-y^2+2piy-pi^2-1=0] :}$
dal secondo sistema, moltiplicando la prima equazione per $(-3)$ e sommando alla seconda si ottiene:
$8y^2-16piy+8pi^2-4=0 -> 2y^2-4piy+2pi^2-1=0 -> y=pi+-sqrt2/2$
sempre dal secondo sistema, moltiplicando per $(-3)$ la seconda equazione e sommando alla prima si ottiene:
$-8x^2+4=0 ->2x^2-1=0 -> x=+-sqrt2/2$
ciao. fatemi sapere.
posto l'altro metodo, ma mi piacerebbe vedere il seguito di ciampax.
$(x+i(y-pi))^3=-x+i(y-pi)$
$x^3+3x^2i(y-pi)-3x(y-pi)^2-i(y-pi)^3=-x+i(y-pi)$
${[x^3-3x(y-pi)^2=-x],[3x^2(y-pi)-(y-pi)^3=(y-pi)] :}$
da cui ${x=0,y=pi} vv {[x^2-3y^2+6piy-3pi^2+1=0],[3x^2-y^2+2piy-pi^2-1=0] :}$
dal secondo sistema, moltiplicando la prima equazione per $(-3)$ e sommando alla seconda si ottiene:
$8y^2-16piy+8pi^2-4=0 -> 2y^2-4piy+2pi^2-1=0 -> y=pi+-sqrt2/2$
sempre dal secondo sistema, moltiplicando per $(-3)$ la seconda equazione e sommando alla prima si ottiene:
$-8x^2+4=0 ->2x^2-1=0 -> x=+-sqrt2/2$
ciao. fatemi sapere.
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